Gegenbauerin polynomit

Gegenbauerin polynomit
yleistä tietoa
Kaava	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\ alfa )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
Skalaarituote	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Verkkotunnus	$[-1,1]$
lisäominaisuuksia
Differentiaaliyhtälö	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alpha )f=0$
Normi	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha ) }{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}$
Nimetty	Leopold Gegenbauer

Gegenbauer-polynomit tai ultrapallopolynomit matematiikassa ovat polynomeja , jotka ovat ortogonaalisia välillä [−1,1] painofunktiolla . Ne voidaan nimenomaisesti esittää ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

missä on gammafunktio ja ilmaisee luvun n/2 kokonaislukuosaa . $\Gamma (s)$ $\lfloor n/2\rfloor$

Gegenbauer-polynomit ovat yleistys Legendren ja Chebyshev-polynomeista ja ovat Jacobin polynomien erikoistapaus . Myös Gegenbauer-polynomit liittyvät erityisen ortogonaaliryhmän esitykseen [1] . Ne on nimetty itävaltalaisen matemaatikon Leopold Gegenbauerin (1849-1903) mukaan. $SO(n)$

Luodaan argumentin funktio ja osittaiset arvot

Gegenbauerin polynomit voidaan määritellä generoivan funktion [2] avulla :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Koska generointifunktio ei muutu, kun , , korvataan samanaikaisesti , niin $z\to -z$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

josta seuraa, että parilliselle n : lle Gegenbauer-polynomit sisältävät vain z :n parittomat asteet ja parittomille n :lle vain parittomat z :n asteet .

Generointifunktion avulla voidaan saada Gegenbauer-polynomien arvot kohdissa z=1 ja z=0 laajennuskertoimina ja vastaavasti: ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha ))$ ${\näyttötyyli (1+t^{2})^{-\alpha }}$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(parilliselle n ), (parittoiselle n ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

jossa käytetään Pochhammer -symbolin vakiomerkintää ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Toistuva suhde ja erikoistapaukset

Gegenbauer-polynomit täyttävät seuraavan toistuvuusrelaation , jota voidaan käyttää polynomien rakentamiseen : $n\geq 2$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].

Erityisesti [3] ,

{\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{tasattu}}

ja niin edelleen.

Differentiaaliyhtälö ja suhde muihin funktioihin

Gegenbauer-polynomit täyttävät Gegenbauerin differentiaaliyhtälön [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

Kun tämä yhtälö pelkistetään Legendren differentiaaliyhtälöön ja vastaavasti, Gegenbauerin polynomit pelkistetään Legendren polynomeiksi . $\alpha ={\tfrac {1}{2))$

Gegenbauerin polynomit voidaan ilmaista äärellisenä hypergeometrisenä sarjana

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\oikea).

Gegenbauer-polynomit ovat Jacobi-polynomien c erikoistapaus : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).

Gegenbauer-polynomin derivaatta ilmaistaan polynomina, jonka indeksit ovat siirtyneet

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alpha +1)}(z).

Ne voidaan ilmaista Rodriguesin kaavalla

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\vasen[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\oikea ] .

Ortogonaalisuus ja normalisointi

Tiedolla Gegenbauerin polynomit ovat ortogonaalisia välillä [−1,1] painofunktion kanssa , eli (jos n ≠ m ) [5] , $\alpha$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

Ne on normalisoitu [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alfa -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.

Monimutkainen argumenttitapaus

Jos , missä ja ovat todellisia muuttujia (ja on myös reaali), niin Gegenbauerin polynomien reaali- ja imaginaariosat voidaan ilmaista seuraavasti: $z=x+{\rm {i}}y$ $x$ $y$ $\alpha$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vilenkin, 1991 , s. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , s. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , s. 441.

Kirjallisuus

Suetin PK Klassiset ortogonaaliset polynomit . - M .: Fizmatlit, 2007. - 480 s. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Erikoisfunktiot ja ryhmäesitysteoria / Ch. toim. Fys.-Math. palaa. - 2. painos, korjattu. - M .: Nauka, 1991. - 576 s. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Katso luku 22

Linkit

Gegenbauer Function , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Gegenbauer-polynomi , MathWorld - mathworld.wolfram.com

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit