Chebyshev-polynomit

Ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomit
yleistä tietoa
Kaava	$T_{n}(x)=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
Skalaarituote	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Verkkotunnus	$[-1,1]$
lisäominaisuuksia
Nimetty	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Toisen tyypin Chebyshev-polynomit
yleistä tietoa
Kaava	$U_{n}(x)=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
Skalaarituote	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Verkkotunnus	$[-1,1]$
lisäominaisuuksia
Nimetty	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Chebyshev-polynomit - kaksi ortogonaalisten polynomien sekvenssiä, jotka on nimetty Pafnuty Lvovich Chebyshev'in mukaan : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\pisteet \},$

Ensimmäisen tyyppistä Chebyshev-polynomia luonnehditaan korkeimman kertoimen omaavana astepolynomina , joka poikkeaa vähiten välin nollasta . Tšebyshev itse harkitsi ensin. $T_{n}(x)$ $n$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

Toisen tyyppistä Chebyshev-polynomia luonnehditaan korkeimman kertoimen omaavana astepolynomina , jonka itseisarvon integraali segmentillä saa pienimmän mahdollisen arvon. Ensimmäistä kertaa harkittiin kahden Chebyshev- Korkinin ja Zolotarevin opiskelijan yhteisessä työssä . $U_{n}(x)$ $n$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Chebyshev-polynomeilla on tärkeä rooli approksimaatioteoriassa , koska ensimmäisen tyyppisten Chebyshev-polynomien juuria käytetään solmuina interpoloinnissa algebrallisten polynomien avulla .

Määritelmät

Toistuvat kaavat

Ensimmäisen tyyppiset Chebyshev-polynomit voidaan määritellä käyttämällä rekursiivista relaatiota : $T_{n}(x)$

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Toisen tyyppiset Chebyshev-polynomit voidaan määrittää käyttämällä rekursiivista relaatiota: $U_{n}(x)$

U_{0}(x)=1

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Eksplisiittiset kaavat

Chebyshev-polynomit ovat ratkaisuja Pellin yhtälöön :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

polynomien renkaassa todellisilla kertoimilla ja täyttävät identiteetin:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^ {n}.

Viimeinen identiteetti edellyttää myös eksplisiittisiä kaavoja:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\ rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Suhteet

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

nuo. Ensimmäisen tyyppiset Chebyshev-polynomit muodostavat kertosäännön kanssa puoliryhmän , joka on isomorfinen ei-negatiivisten kokonaislukujen kertovan puoliryhmän kanssa. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\times T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Trigonometrinen määritelmä

Ensimmäisen tyyppiset Chebyshev-polynomit voidaan myös määritellä yhtälön avulla $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

tai lähes vastaavasti

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Myös toisen tyyppiset Chebyshev-polynomit voidaan määritellä yhtälön avulla $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Esimerkkejä

Useita ensimmäisen tyyppisiä Chebyshev-polynomeja

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Useita ensimmäisiä toisen tyyppisiä Chebyshev-polynomeja

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Ominaisuudet

Chebyshev-polynomeilla on seuraavat ominaisuudet:

Parillisen asteen polynomit ovat parillisia funktioita , parittomat-parittomat funktiot.
Ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomien kertoimien summa on 1 ja toisen tyyppisten polynomien kertoimien summa on . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonaalisuus suhteessa vastaavaan sisätuloon ( ensimmäisen tyypin polynomien ja toisen tyypin polynomien painolla). ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2))))$ ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2))))$
Kaikista polynomeista, joiden arvot välissä eivät ylitä 1:tä absoluuttisessa arvossa, Chebyshev-polynomilla on: $[-1,1]$
- suurin seniorikerroin,
- suurin arvo missään kohdassa ulkopuolella , $[-1,1]$
- jos , niin , jossa on ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomin kerroin, on minkä tahansa tarkastellun polynomin kerroin. $n\equiv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $t_k$ $a_{k}$
Chebyshev-polynomien nollat ovat optimaalisia solmuja erilaisissa interpolointimenetelmissä. Esimerkiksi diskreettien ominaisuuksien menetelmässä, jota käytetään usein sähködynamiikan ja aerodynamiikan integraaliyhtälöiden tutkimuksessa.
Jakson päissä ja keskellä seuraavat suhteet ovat voimassa: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{tasattu}}$
Ensimmäisen luokan N Chebyshev-polynomi on Lissajous-kuvioiden erikoistapaus , jonka taajuussuhde on yhtä suuri kuin N ja molempien signaalien amplitudi on 1.
Ensimmäisen ja toisen tyypin Chebyshev-polynomit vastaavat paria Lucas-sekvenssejä ja parametreja : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ ${\näyttötyyli (P,Q)=(2x,1)}$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
Ensimmäisen asteen Tšebyševin polynomilla on suurin kaaren pituus segmentissä kaikkien astepolynomien luokassa enintään siten, että niiden moduulin maksimi tällä segmentillä ei ylitä eikä ole identtisesti yhtä suuri kuin vakio [1 ] $n$ $[-1,1]$ $n$ $yksi$

Sovellukset

Approksimaatioteoria

Ensimmäisen tyyppisiä Chebyshev-polynomeja käytetään funktion approksimaatioon (Chebyshev-sarja), jos muut funktion laskentamenetelmät ovat aikaa vieviä tai sen analyyttistä muotoa ei tunneta (esim. jos funktio on annettu funktiolle koottu taulukko kokeellisten tietojen perusteella). Tätä varten approksimoidun funktion määritelmäalue on oltava melko yksinkertaisella tavalla, esimerkiksi lineaarisesti kartoitettu approksimoivien polynomien ortogonaalisuusväliin, tässä tapauksessa se on . Esimerkiksi taulukon määrittämä funktio: $[-1,1]$

l\colon X_{i}\to [-1,1],

jossa on lineaarinen kartoitus, on pisteiden määrittelyalue. $l$ $X_{i}$

Jatkuvasti annettujen funktioiden approksimaatio saadaan hylkäämällä Chebyshev-sarjan ehdot, joiden arvo on pienempi kuin tuloksen haluttu virhe. Approksimoiva funktio voidaan kirjoittaa myös polynomiksi . Toisin kuin muilla potenssisarjoilla saadut approksimaatiot, tämä approksimaatio minimoi termien lukumäärän, joka tarvitaan funktion approksimointiin polynomilla tietyllä tarkkuudella. Tähän liittyy myös se ominaisuus, että Chebyshev-sarjaan perustuva approksimaatio osoittautuu melko lähellä parasta yhtenäistä approksimaatiota (saman asteen polynomien joukossa), mutta se on helpompi löytää. $x$

Esimerkki kartoituksesta , joka kartoittaa tietyn intervallin polynomien ortogonaalisuuden alueelle, $l$

l\colon [x_{\text{min)),x_{\text{max))]\to [-1,1],

voisi olla toiminto

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min }}}}.

Antenniryhmien laskenta

Antenniryhmän laskemiseen käytetään Chebyshev-polynomeja . Kunkin antennin säteilyteho lasketaan käyttämällä Chebyshev-polynomeja. Tämän avulla voit hallita säteilykuvion muotoa tai pikemminkin pää- ja sivukeilan amplitudin suhdetta.

Sovellukset suodatusteoriassa

Chebyshev-polynomeja käytetään myös suodattimien teoreettisessa rakentamisessa . Yleisessä kaavassa amplitudi-taajuusominaiskäyrälle

$\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\oikea)}}}$

muodon lausekkeena tai on substituoitu , jossa on aaltoiluindeksi, joka saa vastaavasti I- tai II-luokan Chebyshev-suodattimien taajuusvasteen . $f(x)$ $\varepsilon T_{n}(x)$ $\left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1}$ $\varepsilon$ $n$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kysymystä vähimmäisnormin polynomeista, joissa on kiinteät kertoimet kahdessa korkeammassa asteessa, pohdittiin myöhemmin Zolotarevissa , hänen löytämiään polynomeja kutsutaan Zolotarevin polynomeiksi .
Faber-polynomit

Muistiinpanot

↑ Bakan A. Yhdestä Chebyshev-polynomien äärimmäisestä ominaisuudesta // Matematiikka tänään. Tieteellinen kokoelma / Toim. prof. A. Ya. Dorogovtseva . - Kiova, Vishcha-koulu, 1982. - S. 167-172.

Kirjallisuus

Vasil'ev, N. Chebyshev polynomit ja toistuvat suhteet / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - Nro 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Matemaattisen fysiikan funktiot / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et ai. ] . - M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Chebyshev polynomit ja niiden inversiot // Mathematical Education . - 2013. - Ongelma. 17. - S. 93-106.
Luento 7 julkaisussa Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Mathematical divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit