Brunn-Minkowskin epätasa-arvo

Brunn-Minkowskin teoreema on konveksin geometrian klassinen lause:

Sanamuoto

Olkoon ja ollaan kompakteja kupera kappaleita n - ulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Harkitse Minkowskin summaa , Eli joukko pisteitä jakamalla segmentit päättyy missä tahansa sarjojen kohdissa ja suhteessa . Sitten toiminto $K_{0}$ $K_1$ $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}$ $\lambda \in[0,1]$ $K_{0}$ $K_1$ $\lambda$ $(1-\lambda)$

f(\lambda )={\sqrt[ {n}]({\mathop {{\rm {vol))))K_{\lambda }}}

on kovera funktio . $\lambda$

Lisäksi funktio on lineaarinen silloin ja vain jos ja ovat homoteettisia. $f(\lambda)$ $K_{0}$ $K_1$

Muistiinpanot

Epätasa-arvo on helposti pääteltävissä sen erikoistapauksesta ${\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)) (A+B)))\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)) A} }+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}$

mille tahansa kompaktille kuperalle kappaleelle ja n- ulotteisessa avaruudessa.

A

B

Seuraukset

Isodiometrinen epäyhtälö : Euklidisessa avaruudessa, kaikista tietyn halkaisijan omaavista kappaleista , pallolla on suurin tilavuus . Lauseen todistamiseksi riittää soveltaa Brunn-Minkowskin epäyhtälöä annettuun kappaleeseenja sen keskussymmetriseen kopioon. $W$ $W'$
Lindelöfin monitahoteoreema : Kaikista kolmiulotteisen euklidisen avaruuden kuperista monitahoista, joilla on tietyt pintasuunnat ja määrätty tilavuus, pallon ympärillä kuvatulla polyhedrillä on pienin pinta-ala.

Historia

Lauseen laati Brunn vuonna 1887, jalosti ja täydensi Minkowski [1] , Lyusternik yleisti mielivaltaisten kompaktien kappaleiden tapaukseen [2] .

Blaschken antama melko yksinkertainen todistus käyttää Steinerin symmetrisaatiota . Toisen lyhyen ja yksinkertaisen todisteen löysivät G. Hadwiger ja D. Oman. [3] Siinä epäyhtälö todistetaan ensin suuntaissärmiöiden parille, joilla on yhdensuuntaiset pinnat - tämä osa vastaa geometrisen keskiarvon ja aritmeettisen keskiarvon välistä epäyhtälöä . Lisäksi se osoitetaan induktiolla tällaisten suuntaissärmiöiden äärellisille liitoksille. Tästä seuraa epätasa-arvo, koska mikä tahansa kappale voidaan approksimoida sellaisella liitolla.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Aleksandrov-Fenchel-epäyhtälö on sekavolyymin epäyhtälö , mikä tarkoittaa Brunn-Minkowskin epäyhtälöä.

Kirjallisuus

↑ Minkowski, Hermann . Geometrie der Zahlen (uuspr.) . - Leipzig: Teubner, 1896.
↑ Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (saksa) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : lehti. - 1935. - Bd. III . - S. 55-58 .
↑ H. Hadwiger ja D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1-8

V. Blaschke , Ympyrä ja pallo. M .: Nauka, 1967.
Burago Yu.D. , Zalgaller V.A. Geometriset epäyhtälöt. - Tiede, 1980.
Federer G. Geometrinen mittateoria. - 1987. - 760 s.