Tilaussuhde

Järjestysrelaatio on tietyn joukon alkioiden välinen binäärisuhde (jäljempänä tai ), joka on ominaisuuksiltaan samanlainen kuin epäyhtälösuhteen ominaisuudet . $\preccurlyeq$ $\prec$

Joukkoa, jonka kaikki alkiot ovat vertailukelpoisia tietyllä järjestyssuhteella (eli jommallakummalla , tai ), kutsutaan lineaarisesti järjestetyksi , ja järjestyssuhdetta kutsutaan lineaariseksi järjestykseksi . Jos kaikki eri elementit eivät ole vertailukelpoisia, järjestystä kutsutaan osittaiseksi ja joukkoa kutsutaan osittain järjestetyksi . On myös tiukka järjestys , jossa se on mahdotonta, ja ei-tiukka muuten [1] . $a\neq b$ $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\prec$ $a\prec a$ $\preccurlyeq$

Esimerkit [1] .

Reaalilukujen relaatio määrittää niille ei-tiukan lineaarisen järjestyksen. $\leqslant$
Reaalilukujen suhde määrittelee niille tiukan lineaarisen järjestyksen. $<$
Luonnollisten lukujen joukon jakosuhde : if on jakaja Tämä on ei-tiukka osajärjestys, koska kaikki luonnolliset luvut eivät ole keskenään jaollisia ilman jäännöstä. $a|b,$ $a$ $b.$
Inkluusiorelaatio tietyn joukon osajoukkojen joukossa määrittää myös ei-tiukan osittaisen järjestyksen .
Suhde (esi-isä, jälkeläinen) eläinpopulaatiossa on tiukka osajärjestys.

Määritelmät

Ei-tiukka (refleksiivinen) osittaisjärjestyssuhde ( ) joukossa on binäärirelaatio , jolle seuraavat ehdot täyttyvät jollekin niistä [2] : $\preccurlyeq$ $X$ $a,b,c$ $X$

Heijastuskyky : . $a\preccurlyeq a$
Antisymmetria : jos ja , niin sitten . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Transitiivisuus : jos ja , niin sitten . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\preccurlyeq c$

On myös kätevää määritellä lisäksi tiukka (antirefleksiivinen) järjestysrelaatio ( ) samalle joukolle [1] : $\preccurlyeq$ $\prec$

a \prec b

, jos ja samaan aikaan

a\preccurlyeq b

a\neq b.

Tiukan suhteen ominaisuudet eroavat ei-tiukan suhteen ominaisuuksista:

Antireflexiivisyys : ; $a\not \prec a$
Epäsymmetria : jos , niin ; $a\prec b$ $b\not \prec a$
Transitiivisuus : jos ja , niin sitten . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

2. ominaisuus ei ole itsenäinen, se seuraa antirefleksiivisyydestä ja transitiivisuudesta. Siksi relaatio on tiukan järjestyksen suhde, jos ja vain jos se on antirefleksiivinen ja transitiivinen.

Joukkoa , johon on otettu käyttöön tiukka tai ei-tiukka järjestyssuhde, kutsutaan osittain järjestetyksi . Jos lisäksi jollekin elementille yksi ehdoista täyttyy: tai järjestystä kutsutaan lineaariseksi ja joukko on lineaarisesti järjestetty [2] . $X$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Historia

Merkkejä ehdotti englantilainen tiedemies Thomas Harriot työssään, joka julkaistiin postuumisti vuonna 1631 [ 3] . $<$ $>$

Osittain järjestetyn joukon määritelmän muotoili ensin eksplisiittisesti F. Hausdorff [4] , vaikka G. Leibniz tarkasteli samanlaisia järjestysaksioomia vuoden 1690 tienoilla. Lineaarisesti järjestetyn ja täysin järjestetyn joukon määritelmän antoi ensimmäisenä G. Kantor [5] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos järjestetty joukko muodostaa jonkinlaisen algebrallisen rakenteen, niin yleensä vaaditaan, että järjestys tässä rakenteessa on yhdenmukainen algebrallisten operaatioiden kanssa. Katso artikkelit aiheesta:

Joskus on hyödyllistä tarkastella suhteita, joille vain ensimmäinen ja kolmas aksiooma pätevät (reflexiivisyys ja transitiivisuus); tällaisia suhteita kutsutaan preorderiksi tai kvasiorderiksi . Jos on kvasijärjestys, niin kaavan [6] antama relaatio : $\prec$

a\equiv b,

jos ja

a \prec b

b\prec a,

tulee olemaan ekvivalenssisuhde . Osamääräjoukolla tämän ekvivalenssin perusteella ei-tiukka järjestys voidaan määrittää seuraavasti [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

jos

a\prec b,

missä on elementin sisältävä ekvivalenssiluokka $[x]$ $x.$

Katso myös

Spielrainin lause

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , s. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , s. 78.
↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja . - 3. painos - Pietari. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Osittain tilattu sarja // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 s.
↑ 1 2 Tilaa // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 s.

Kirjallisuus

Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - 2. painos - M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Numeeriset järjestelmät. - M . : Koulutus, 1975. - 199 s.