Skolemin paradoksi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. helmikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Skolemin paradoksi on kiistanalainen päättely, jonka ensimmäisenä kuvasi norjalainen matemaatikko Turalf Skolem , joka liittyy Löwenheim -Skolem-lauseen käyttöön aksiomaattisessa joukkoteoriassa .

Toisin kuin Russellin paradoksi, Cantorin paradoksi, Burali-Fortin paradoksi , jossa loogisesti oikeiden johtopäätösten avulla paljastetaan alkupremissioihin ” naamioitu ” ristiriita, Skolemin paradoksien ”ristiriita” syntyy virheestä perustelut ja asian huolellinen tarkastelu osoittaa, että tämä on vain kuvitteellinen paradoksi . Silti Skolemin paradoksien tarkastelulla on suuri didaktinen arvo.

Sanamuoto

Jos minkä tahansa aksiomaattisen joukkoteorian aksioomajärjestelmä on johdonmukainen, niin sillä on Gödelin ja Löwenheim-Skolem-lauseiden perusteella malli ja lisäksi tämä malli voidaan rakentaa luonnollisille luvuille . Toisin sanoen vain laskettava objektijoukko ( joista jokainen vastaa yksilöllistä joukkoa ) tarvitaan, jotta jokaiselle objektiparille voidaan valita predikaattiarvo , joka täyttää täysin tämän teorian aksioomit (esimerkiksi tai - olettaen, että ne ovat johdonmukaisuus , katso joukkoteorian aksiomatiikka ). Tällaisessa tilanteessa relaatioon voidaan sisällyttää mallin jokaiselle objektille vain äärellinen tai laskettava määrä objekteja (aihealueella ei yksinkertaisesti ole enempää) . Korjaamme tällaisen mallin aihealueeksi laskettavalla . $M$ $x\in y$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZFC}$ $y$ $\ldots \in y$ ${\mathfrak {M}}$ $M$

Lauseiden perusteella siinä hyväksytystä mallista riippumatta on pääteltävissä esimerkiksi sellaisen termin olemassaolo, jonka kardinaalisuus on lukematon. Mutta laskettavassa mallissa mikä tahansa joukko on pakotettu olemaan vain laskettava - ristiriita? $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$

Resoluutio

Keskustellaan huolella. Fakta tarkoittaa, että on olemassa sellainen objekti , että lauseketta vastaava ensimmäisen kertaluvun kaava on tosi arviossa olevassa mallissa , jossa yksittäinen muuttuja liittyy objektiin . Cantorin lause sanoo, että se on lukematon, mikä määritelmän mukaan tarkoittaa $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ $c\in M$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak {M}}$ $x$ $c$ $x$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f

— bijektio ja — bijektio ja välillä

{\mathcal {P}}(\omega )

\omega )\land \exists f(f

\omega

\omega \cup {\omega }),

jossa " on bijektio ja välillä " tarkoittaa , missä on mikä tahansa järjestettyjen parien koodaus , esimerkiksi . $f$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\))$

Mutta tämä tarkoittaa vain sitä, että elementtien $M$ joukossa ei ole sellaista , joka mallissa täyttäisi ja välisen bijektion ominaisuudet . Samalla ei ole tärkeää, että jäsensuhde termiä vastaavan objektin kanssa voi sisältää enintään laskettavan määrän objekteja kohteesta - tärkeintä on, että objektien joukossa ei ole olemassa , joka toteuttaa tarvittavan bijektion . $f$ ${\mathfrak {M}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $\omega$ $M$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $M$ $M$ $f$

Päättely "jos malli on laskettava, niin vain lukematon määrä esineitä voi astua suhteeseen minkä tahansa kohteen kanssa" on tutkittavan aksiomaattisen teorian ulkopuolinen päättely, eikä se vastaa mitään tämän teorian kaavaa. Ulkoisesta näkökulmasta teorian " kaikkien joukkojen joukko " (toisella kerralla sana "joukko" tarkoittaa tässä vain jotakin aihealueen objektia ) voi olla olemassa ja jopa laskettavissa, mikä ei ole millään tavalla yhteydessä (ja ei siksi voi olla ristiriidassa) johdettujen kaavojen kanssa. $\sisään$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matemaattinen logiikka. — M.: URSS, 2005. — 240 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Joukkoteorian perusteet. - M.: Mir, 1966. - 556 s.