Morsen jälleenrakennus

Kirurgia tai Morse-uudelleenjärjestely on sileiden monisarjojen muunnos, jonka sileän toiminnon tasoinen monisto käy läpi kulkiessaan rappeutumattoman kriittisen pisteen läpi ; tärkein rakenne differentiaalitopologiassa .

Kirurgian tärkeä rooli jakoputkien topologiassa selittyy sillä, että niiden avulla voidaan "herkästi" (josta tai toista jakoputken ominaisuutta loukkaamatta) tuhota "ylimääräiset" homotopiaryhmät (operaatio "solun liimaus", yleensä käytetään tähän tarkoitukseen homotopiateoriassa, johtaa välittömästi pois monistojen luokasta) . Melkein kaikki monistorakenteiden luokittelulauseet perustuvat sen kysymyksen tutkimiseen, milloin suljetun moniston kuvaamiseksi soluavaruuteen on olemassa sellainen bordismi ja sellainen kartoitus , että , ja on homotoopiaekvivalenssi . Luonnollinen tapa ratkaista tämä ongelma on tuhota homomorfismien ytimet sarjalla leikkauksia $f:M\to X$ $M$ $X$ ${\näyttötyyli (L;M,N)}$ $F:W\to X$ $F|_{M}=f$ $F|_{N}:\to X$ $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ (missä ovat homotopiaryhmät ). Jos tämä onnistuu, tuloksena oleva kartoitus on homotoopiaekvivalenssi. Vastaavien esteiden (jotka ovat ns. Wall-ryhmissä ) tutkiminen oli yksi algebrallisen L-teorian kehityksen tärkeimmistä ärsykkeistä . $\pi _{k}$

Rakentaminen

Olkoon tasainen -ulotteinen monisto (ilman rajaa), johon -ulotteinen pallo on (tasaisesti) upotettu . Oletetaan, että monistossa olevan pallon normaali nippu on triviaali, toisin sanoen, että B: ssä olevan pallon suljettu putkimainen ympäristö hajoaa suoraksi tuotteeksi , jossa on mittalevy . Valitsemalla tällaisen hajoamisen leikkaamme naapuruston sisätilat . Saadaan jakoputkisto, jonka raja hajotetaan pallojen tuotteeksi. Täsmälleen samalla rajalla on jakoputki . Tunnistamalla näiden jakoputkien reunat diffeomorfismilla , joka säilyttää suoran tuotteen rakenteen , saadaan jälleen rajaton jako , jota kutsutaan palloa pitkin suoritetun moniputkileikkauksen tulokseksi . $V$ $n$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ $n-k+1$ $V$ $T$ $S^{k-1}\times S^{nk}$ ${\displaystyle D^{k}\times S^{nk))$ $V'$ $V$ ${\displaystyle S^{k-1))$

Leikkauksen suorittamiseksi on tarpeen asettaa pallon ympäristön hajoaminen suoraksi tuotteeksi, toisin sanoen jakoputkessa olevan pallon normaalin nipun trivialisointi, kun taas erilaiset trivialisaatiot (takila) voivat antaa merkittävästi erilaisia (jopa homotopy) jakoputket . $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $V'$

Numeroa kutsutaan leikkausindeksiksi ja paria kutsutaan leikkaustyypiksi . Jos se saadaan leikkauksen tyypistä , se saadaan leikkauksen tyypistä . Sillä , Jakotukki on jakotukin (joka voi olla tyhjä tässä tapauksessa) ja pallon epäyhtenäinen liitto . $k$ ${\näyttötyyli (k,n-k+1)}$ $V'$ $V$ $(i, j)$ $V$ $V'$ ${\näyttötyyli (j,i)}$ $k = 0$ $V'$ $V$ $S^{n}$

Esimerkkejä

Leikkauksella ja sen seurauksena saadaan kahden pallon disjunktiivinen liitto ja - toruksen kanssa . $V=S^{2}$ $k = 2$ $k = 1$
Sillä ja tuote saadaan . $V=S^{3}$ $k=2$ $S^{1}\times S^{2}$
Tapaus on vielä monimutkaisempi: jos pallo on upotettu normaalilla tavalla (suuri ympyrä), niin sen valinnasta riippuen normaalin nipun trivialisaatiosta saadaan linssitilat ; jos sallimme pallon solmimisen , saamme vielä suuremman joukon kolmiulotteisia jakoputkia. $V=S^{3}$ $k = 1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Ominaisuudet

Jos on -ulotteisen jakotukin raja , niin se on indeksikahvan liimaamisesta saadun jakotukin raja . $V$ $(n+1)$ $M$ $V'$ $M'$ $M$ $k$
- Erityisesti, jos on sileä funktio jakosarjassa ja ne ovat sellaisia lukuja, että joukko on kompakti ja sisältää yhden kriittisen pisteen , joka ei ole rappeutunut, niin jakosarja saadaan jakosarjasta leikkauksella indeksillä , jossa on Kriittisen pisteen morseindeksi . $f$ $M$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $s$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $s$
- Yleisemmin mikä tahansa indeksisarjan uudelleenjärjestely määrittelee jonkin verran bordismia , ja kolmiossa on olemassa $V'$ $V$ $k$ ${\näyttötyyli (W;V,V')}$ ${\näyttötyyli (W;V,V')}$
Morse-funktio , jolla on yksi kriittinen indeksipiste , ja mikä tahansa bordismi , jolla tällainen Morse-funktio on olemassa, saadaan tällä tavalla. $k$ ${\näyttötyyli (W;V,V')}$
- Tästä (ja Morse-funktioiden olemassaolosta triadeissa) seuraa, että kaksi monistoa ovat rajallisia silloin ja vain, jos toinen niistä saadaan toiselta rajallisella leikkaussarjalla.
Tietyillä varotoimilla suuntausten käsittelyssä suuntautetun jakoputken leikkauksen tulos on jälleen suunnattu jakoputki.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kirurgian rakentaminen voidaan tehdä myös kappaleittain lineaarisille ja topologisille jakoputkille.