Jacobin kenttä

Jacobi-kenttä on vektorikenttä geodeettista kenttää pitkin Riemannin monissa, joka kuvaa eroa tämän geodeettisen ja sitä "äärettömän lähellä" olevan geodeettisen välillä. Voidaan sanoa, että kaikki geodeettisen alueen Jacobi-kentät muodostavat sille tangenttitilan kaikkien geodeettisten aineiden avaruudessa . $\gamma$

Nimetty Carl Gustaf Jacob Jacobin mukaan .

Määritelmä

Olkoon tasainen yhden parametrin geodeettinen perhe, jossa on , sitten kenttä $\gamma _{\tau }$ $\gamma _{0}=\gamma$

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

kutsutaan Jacobi-kentällä.

Ominaisuudet

Jacobi-kenttä J täyttää Jacobi-yhtälön : ${\näyttötyyli J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,}$

jossa on kovariantti derivaatta suhteessa Levi-Civita-yhteyteen , on kaarevuustensori ja on tangenttivektori .

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma (t)/dt

\gamma

Täydellisillä Riemannin moninaisilla kentillä mikä tahansa Jacobi-yhtälön täyttävä kenttä on Jacobi-kenttä, eli sillä on määritelmän mukaan kyseiseen kenttään liittyvä geodeettinen perhe. $\gamma _{\tau }$

Jacobin yhtälö on toisen asteen lineaarinen tavallinen differentiaaliyhtälö .
- Erityisesti ja jossain vaiheessa määrittelevät yksilöllisesti Jacobi-kentän. $J$ ${\frac {D}{dt}}J$ $\gamma$
- Lisäksi geodeettinen Jacobi-kenttien joukko muodostaa todellisen vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on kaksi kertaa moniston ulottuvuus.

Mikä tahansa Jacobi-kenttä voidaan esittää yksilöllisesti summana , jossa on triviaalien Jacobi-kenttien lineaarinen yhdistelmä ja ortogonaalisesti kaikille . $J$ $T+I$ $T=a{\piste {\gamma }}(t)+bt{\piste {\gamma }}(t)$ $Se)$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ $t$
- Tässä tapauksessa kenttä vastaa samaa geodetiikkaperhettä, vain modifioidulla parametrisoinnilla. $minä$

Kaikille kahdelle Jacobi -kentälle ja määrälle $Se)$ $J(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

ei riipu .

t

Esimerkki

Pallolla pohjoisnavan läpi kulkevat geodetiikka ovat suuria ympyröitä . Tarkastellaan kahta tällaista geodeettista luonnonparametrisointia kulmalla erotettuina . Geodeettinen etäisyys on $\gamma _{0}$ $\gamma _{\tau }$ $t\in [0,\pi ]$ $\tau$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operaattorinimi {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\operaattorin nimi {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg )}.

Tämän lausekkeen saamiseksi sinun on tunnettava geodetiikka. Mielenkiintoisin tulos on tämä:

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0

mille tahansa .

\tau

Sen sijaan voimme tarkastella johdannaisia suhteessa : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t ))=|J(t)|=\sin t.

Saamme jälleen geodesiikan leikkauspisteen kohdassa . Huomaa kuitenkin, että tämän derivaatan laskemiseksi ei ole välttämätöntä tietää ; sinun tarvitsee vain ratkaista yhtälö $t=\pi$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

y''+y=0

joillekin tietyille alkuolosuhteille.

Jacobi - kentät antavat luonnollisen yleistyksen tästä ilmiöstä mielivaltaisille Riemannin monille .

Jacobin yhtälön ratkaisu

Anna ; lisää tähän vektoriin muita saadaksesi ortonormaalin perustan . Siirretään sitä rinnakkaiskäännöksellä saadaksesi perustan mihin tahansa kohtaan . Tämä antaa ortonormaalin perustan . Jacobi-kenttä voidaan kirjoittaa tähän perustaan liittyviin koordinaatteihin: , mistä: $e_{1}(0)={\piste {\gamma }}(0)/|{\piste {\gamma }}(0)|$ ${\big \{}e_{i}(0){\big \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gamma$ $e_{1}(t)={\piste {\gamma }}(t)/|{\piste {\gamma }}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\summa _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

ja Jacobin yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen järjestelmäksi

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\piste {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

kaikille . Siten saamme lineaarisia tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Koska yhtälöllä on tasaiset kertoimet , meillä on, että ratkaisut ovat olemassa kaikille ja ovat ainutlaatuisia, jos ne ovat kaikille annettuja . $k$ $t$ $y^{k}(0)$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Esimerkkejä

Harkitse geodetiikkaa , jossa on yhdensuuntainen ortonormaali kehys , joka on rakennettu edellä kuvatulla tavalla. $\gamma (t)$ $e_{i}(t)$ $e_{1}(t)={\piste {\gamma }}(t)/|{\piste {\gamma }}|$

Vektorikentät pitkin , jonka ja , ovat Jacobi-kenttiä. $\gamma$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ ${\näyttötyyli t{\piste {\gamma }}(t)}$
Euklidisessa avaruudessa (ja myös tiloissa, joissa poikkileikkauskaarevuus on vakio nolla) Jacobi-kentät ovat kenttiä, jotka ovat lineaarisia . $t$
Riemannin monisille, joilla on jatkuva negatiivinen poikkileikkauskaarevuus , mikä tahansa Jacobi-kenttä on lineaarinen yhdistelmä , ja missä . ${\displaystyle -k^{2))$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ ${\näyttötyyli t{\piste {\gamma }}(t)}$ $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Riemannin monisille, joilla on vakio positiivinen poikkileikkauskaarevuus , mikä tahansa Jacobi-kenttä on lineaarinen yhdistelmä , , ja missä . $k^{2}$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ ${\näyttötyyli t{\piste {\gamma }}(t)}$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ $\cos(kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Killing - kentän rajoitus geodeettiseen on Jacobi-kenttä missä tahansa Riemannin monissa.
Jacobi-kentät vastaavat tangenttikipun geodetiikkaa (suhteessa metriikan indusoimaan metriikkaan ). $TM$ $M$

Katso myös

Kirjallisuus

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannilainen geometria yleisesti, Mir, 1971, s. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Johdatus Riemannin geometriaan. - Pietari: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .