Raja sykli

Rajasykli on yksi dynaamisten järjestelmien ja differentiaaliyhtälöiden teoriassa järjestelmän stationaarisen tilan mahdollisista vaihtoehdoista ; vektorikentän rajasykli vaihetasolla tai yleisemmin jossain kaksiulotteisessa monistossa on tämän vektorikentän suljettu (jaksollinen) liikerata , jonka läheisyydessä ei ole muita jaksollisia liikeratoja. Ekvivalentti on väite, että mikä tahansa liikerata, joka on tarpeeksi lähellä rajasykliä, pyrkii siihen joko suorassa tai käänteisessä ajassa.

Poincare-Bendixonin ja Andronov - Pontryaginin lauseet väittävät, että tyypillinen järjestelmä, jossa on jatkuva aika tasossa (fyysisesti sanottuna jonka tilan ilmaisee kaksi todellista parametria, esimerkiksi jännite ja virta tai pisteen sijainti ja nopeus suoralla viiva) voi pyrkiä vain tasapainoasentoon tai rajasykliin.

Dynamiikka rajasyklin läheisyydessä

Kuten määritelmästä seuraa, molemmin puolin rajasykli on joko vastenmielinen tai houkutteleva. Jos käyttäytyminen on sama molemmilla puolilla, sykliä kutsutaan vastenmieliseksi tai houkuttelevaksi . Jos toisaalta on vetovoimaa ja toisaalta hylkimistä, he puhuvat puolivakaasta syklistä.

Rajasyklin lähellä olevien lentoratojen käyttäytyminen kuvataan Poincarén mappauksella syklin poikittaisessa segmentissä – tässä kartoituksessa sykliä vastaava piste on kiinteä. Siten sykli on houkutteleva tai vastenmielinen silloin ja vain, jos tämä piste on vastaavasti houkutteleva tai vastenmielinen. Sykliä kutsutaan hyperboliseksi , jos vastaava kiinteä piste on hyperbolinen - eli sillä on eri derivaatta kuin . Tässä tapauksessa, jos moduloderivaata on suurempi kuin 1, sykli on epästabiili, jos pienempi, se on stabiili.

On syytä huomata, että yleensä - erityisesti dynamiikassa tasossa tai pallolla (yleensä, poissulkien vain ei-orientoituvan monikanavan dynamiikka) - Poincarén kartta säilyttää orientaation, joten usein puhutaan yksinkertaisesti derivaatta. Poincarén kartasta, ilman että sen moduulia otettaisiin erikseen.

Pienet häiriöt eivät tuhoa hyperbolisia rajajaksoja - jos alkuperäisellä vektorikentällä oli hyperbolinen rajasykli, niin millä tahansa sitä lähellä olevalla kentällä on myös hyperbolinen rajasykli, joka on lähellä alkuperäistä.

Bifurkaatiot

Satulasolmun bifurkaatio

Yksinkertaisin rajasykleihin liittyvä bifurkaatio on satulasolmun bifurkaatio : kaksi hyperbolista rajasykliä, vastenmielinen ja houkutteleva, lähestyvät toisiaan. Bifurkaatiohetkellä ne sulautuvat yhteen muodostaen yhden puolistabiilin syklin, joka katoaa parametrin lisämuutoksen myötä.

Kompleksoitumisen kannalta (analyyttisen vektorikentän tapauksessa) tätä bifurkaatiota voidaan pitää rajasyklin poikkeuksena kompleksialueelle .

Sinisen taivaan katastrofi

Kuitenkin Klein-pullossa tai kun harkitaan monimutkaisia ​​rajasyklejä, monimutkaisempi bifurkaatio on myös mahdollinen - niin sanottu sinisen taivaan katastrofi . Nimittäin kun parametri pyrkii kriittiseen arvoon, (yksi!) rajasyklin pituus alkaa kasvaa, suuntautuen äärettömyyteen, eikä siksi jatketa ​​itse bifurkaatiohetkeen.

Fyysinen esimerkki: Van der Pol oskillaattori

Hilbertin 16. ongelma

Hilbertin 16. tehtävän toinen osa koskee polynomivektorikenttien rajasyklien mahdollista määrää ja järjestelyä tasossa. Toisin kuin ensimmäisessä, algebrallisessa osassa, joka edellyttää tietyn asteen algebrallisen käyrän soikioiden järjestelyn kuvaamista, jopa neliövektorikentillä, rajasyklien lukumäärän yhtenäisen ylärajan olemassaoloa ei tunneta.

Katso myös

Kirjallisuus