Hilbertin seitsemäs ongelma

Hilbertin seitsemäs ongelma  on yksi niistä 23 ongelmasta , jotka David Hilbert ehdotti 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa . Ongelma liittyy joidenkin lukujen transsendenttisuuden ja irrationaalisuuden todistamiseen ja tutkimiseen.

Ongelman selvitys

Alla on ote Hilbertin raportista [1] , joka on omistettu seitsemännelle ongelmalle.

Hermiten aritmeettiset eksponentiaaliset funktiolauseet ja niiden Lindemannin kehittämä kehitys jää epäilemättä hämmästyttäviksi kaikkien sukupolvien matemaatikoille. Mutta nyt syntyy ongelma - mennä pidemmälle päällystettyä polkua pitkin, kuten Hurwitz jo teki kahdessa mielenkiintoisessa tutkimuksessaan "Tiettyjen transsendenttisten funktioiden aritmeettisista ominaisuuksista" [2] . Siksi haluan tuoda esiin ne ongelmat, joita minun mielestäni tulisi pitää lähimpänä tähän suuntaan. Kun opimme, että tietyt erityiset transsendentaaliset funktiot , joilla on olennainen rooli analyysissä , ottavat algebrallisia arvoja tietyille argumentin algebrallisille arvoille, tämä seikka näyttää meistä erityisen yllättävältä ja lisätutkimuksen arvoiselta. Odotamme aina, että transsendentaaliset funktiot ottavat yleisesti ottaen transsendentaalisia arvoja argumenttien algebrallisille arvoille, ja vaikka tiedämme hyvin, että on olemassa jopa sellaisia ​​kokonaisia ​​transsendentaalisia toimintoja, jotka ottavat rationaalisia arvoja kaikille algebrallisille arvoille. argumentista pidämme edelleen erittäin todennäköisenä, että sellainen funktio kuin esimerkiksi eksponentiaalinen funktio , joka luonnollisesti argumentin kaikille rationaalisille arvoille ottaa algebralliset arvot, toisaalta ottaa aina transsendentaalisia arvoja . kaikille algebrallisille irrationaalisille arvoille . Tälle lauseelle voidaan antaa myös geometrinen muoto seuraavasti. Jos tasakylkisessä kolmiossa kannan kulman suhde kärjen kulmaan on algebrallinen mutta ei rationaalinen luku, niin kannan suhde sivuun on transsendentaalinen luku . Huolimatta tämän väitteen yksinkertaisuudesta ja sen samankaltaisuudesta Hermiten ja Lindemannin ratkaisemien ongelmien kanssa, sen todistaminen vaikuttaa minusta erittäin vaikealta, samoin kuin todiste siitä , että algebrallisen kantaluvun ja algebrallisen irrationaalisen eksponentin aste  - kuten numero tai  - aina on joko transsendenttinen luku tai ainakin irrationaalinen luku. Voidaan olla varmoja, että tämän ja vastaavien ongelmien ratkaisu johtaa meidät uusiin näkökulmiin erityisten irrationaalisten ja transsendenttisten lukujen olemuksesta [3] .

Ratkaisu

Hilbert itse piti seitsemättä ongelmaa erittäin vaikeana. Karl Siegel lainaa Hilbertiä [4] , jossa hän antaa seitsemännen ongelman ratkaisemisen ajan paljon pidemmälle kuin Riemannin hypoteesin ja Fermatin lauseen todistamisen .

A. O. Gelfond sai kuitenkin osittaisen ratkaisun, joka liittyy tasakylkisen kolmion kannan ja sivusivun suhteen ylittämiseen jo vuonna 1929 [5] , ja luvun ylityksen todisti R. O. Kuzmin vuonna 1930 [6] ] . Vuonna 1934 Gelfond sai lopullisen ratkaisun ongelmaan [7] : hän osoitti, että luku, jonka muoto on  muu kuin algebrallinen luku ja a  on irrationaalinen algebrallinen luku, on aina transsendenttinen [8] (luku sai myöhemmin jopa Gelfondin vakion nimi ). Hieman myöhemmin ratkaisun sai myös Theodor Schneider [9] .

Muistiinpanot

1. ↑ Hilbert, David .   Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (saksa)  (linkki, jota ei voi käyttää) . — Raportin teksti, jonka Hilbert luki 8. elokuuta 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa. Haettu 27. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 8. huhtikuuta 2012.
2. ↑ Hurwitz, Adolf .  Über arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenten Functionen  (saksa)  // Mathematische Annalen . - Berliini: Springer, 1883. - Bd. 22 , ei. 2 . - S. 211-229 .  (linkki ei saatavilla)
3. ↑ Käännös Hilbertin raportista saksasta - M. G. Shestopal ja A. V. Dorofeev , julkaistu kirjassa Hilbert's Problems / Ed. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 36-37. – 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu 17. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
4. ↑  Siegel C.L. Transsendenttiset numerot . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - Voi. 16. - 102 s. - (Matematiikan opintojen lehdet). — ISBN 0-691-09575-2 . Arkistoitu 12. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa  - P. 84.
5. ↑ Gelfond A.  Sur les nombres transcendants  (ranska)  // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - Pariisi, 1929. - Voi. 189 . - s. 1224-1228 .
6. ↑ Kuzmin R. O.  Uudesta transsendenttisten lukujen luokasta  // Neuvostoliiton tiedeakatemian tiedote. VII sarja. Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden laitos. - 1930. - Nro 6 . - S. 585-597 .
7. ↑ Gelfond A. O.  Hilbertin seitsemännestä ongelmasta // Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
8. ↑ Rybnikov K. A.  . Matematiikan historia. 2. painos - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 1974. - 455 s.  - S. 304.
9. ↑ Schneider T.  Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen  (saksa)  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Kirjallisuus

• Gelfond A. O.  . Hilbertin seitsemännestä ongelmasta // Hilbertin ongelmat / toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - 240 s. — 10 700 kappaletta. Arkistoitu17. lokakuuta 2011Wayback Machinessa - s. 121-127.
• Feldman N. I. . Hilbertin seitsemäs ongelma. - M. : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1982. - 312 s.
• Bolibrukh A. A.  . Hilbertin seitsemäs tehtävä: Irrationaaliset luvut // Hilbertin tehtävät (100 vuotta myöhemmin) . - M .: MTSNMO , 1999. - 24 s. - ( Kirjasto "Mathematical Education" , numero 2). - 3000 kappaletta.
• Tikhomirov V. M. , Uspensky V. V.  Neuvostoliiton 30-luvun matematiikka (II): A. O. Gelfond ja L. G. Shnirelman, osa "Aleksander Osipovich Gelfond ja Hilbertin seitsemäs ongelma"  // Matemaattinen koulutus , sarja nro 3. - Issue. - 2000. 4 . - S. 33-48 .