Hilbertin seitsemästoista ongelma

Hilbertin seitsemästoista ongelma on yksi 23 Hilbertin ongelmasta , jotka David Hilbert esitti vuonna 1900 II kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Pariisissa ja joilla oli poikkeuksellinen vaikutus matematiikan kehitykseen 1900-luvulla. Hilbertin ongelman muotoilu on seuraava:

Olkoon muuttujien rationaalinen funktio todellisilla kertoimilla, joka saa ei-negatiivisia arvoja kaikissa reaalipisteissä, joissa se on määritelty. Onko mahdollista esittää sitä rationaalisten funktioiden neliöiden summana, joiden kaikki kertoimet ovat todellisia? $n$

Emil Artin antoi asiaan myönteisen ratkaisun vuonna 1927 , mutta hänen ratkaisunsa ei ollut rakentava. Charles Delzell löysi algoritmisen ratkaisun vuonna 1984 .

Muunnelmia ja yleistyksiä

On polynomeja , jotka eivät ole negatiivisia kaikille argumenttien todellisille arvoille, mutta joita ei voida esittää muiden polynomien neliöiden summana. Hilbert todisti tällaisten esimerkkien olemassaolon. [1] esimerkkejä tällaisista polynomeista Motzkin vuonna 1967
- Esimerkiksi polynomit $f(x,y)=x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-3)+1,$ $g(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2} z^{2}$
ei voida esittää reaalikertoimien polynomien neliöiden summana. Mutta ne voidaan esittää rationaalisten funktioiden neliöiden summana, esim. $f(x,y)=\left({\tfrac {x^{2}y(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2 ))}\oikea)^{2}+\vasen({\tfrac {xy^{2}(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2 ))}\oikea)^{2}+\vasen({\tfrac {xy(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2))}\ oikea)^{2}+\vasen({\tfrac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\oikea)^{2}.$
Tiedetään eksplisiittiset tarpeelliset ja riittävät ehdot, jotta polynomi on muiden polynomien neliöiden summa. [2]
1950-luvulta lähtien on tiedetty , että kyky esittää polynomi polynomien neliöiden summana liittyy moniulotteisen potenssimomenttiongelman ratkaisemiseen.
Tiedetään, että jokainen ei-negatiivinen polynomi voidaan approksimoida (sen kertoimien vektorin -normissa) niin tarkasti kuin halutaan polynomeilla, jotka ovat polynomien neliöiden summa. [3] $l_{1}$

Muistiinpanot

↑ Hilbert, D. Yber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. matematiikka. Annalen Bd 32, S. 342-350 (1888); katso myös Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, invarianttiteoria, geometria. (saksa) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 s.
↑ V. Powers, T. Wormann. Algoritmi todellisten polynomien neliösummalle (englanniksi) // Journal of pure and Applied algebra : Journal. - 1998. - Voi. 127 , nro. 1 . - s. 99-104 . - doi : 10.1016/S0022-4049(97)83827-3 . Arkistoitu alkuperäisestä 16. kesäkuuta 2010.
↑ Jean B. Lasserre. Ei-negatiivisten polynomien neliösumman likiarvo // SIAM Rev. : päiväkirja. - 2007. - Voi. 49 , ei. 4 . - s. 651-669 . - doi : 10.1137/070693709 . Arkistoitu alkuperäisestä 18. huhtikuuta 2007.

Kirjallisuus

Hilbertin ongelmat / Kokoelma, toim. P.S. Aleksandrova . - M .: Nauka, 1969. - 240 s.
V. V. Prasolov . Polynomit . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
CN Delzell. Jatkuva, rakentava ratkaisu Hilbertin 17. ongelmaan // Invent . Matematiikka. : päiväkirja. - 1984. - Voi. 76 , nro. 3 . - s. 365-384 . - doi : 10.1007/BF01388465 .

Hilbertin ongelmia
yksi 2 3 neljä 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16 17 kahdeksantoista 19 kaksikymmentä 21 22 23 ( 24 )