Erotettava tila
Erotettava avaruus ( latinan sanasta separabilis - separable) on topologinen avaruus , josta voidaan erottaa kaikkialla laskettava tiheä osajoukko [1] .
Monet laskennassa ja geometriassa syntyvät avaruudet ovat erotettavissa. Erotettavissa olevilla avaruuksilla on joitain matemaatikoille houkuttelevia ominaisuuksia, jotka johtuvat kyvystä esittää jokainen avaruuden elementti laskettavan joukon elementtisarjan rajana , aivan kuten mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää sekvenssin rajana. rationaaliset luvut .
Monet lauseet voidaan todistaa konstruktiivisesti vain erotettaville avaruuksille. Tyypillinen esimerkki tällaisesta lauseesta on Hahn-Banachin lause , joka voidaan todistaa konstruktiivisesti erotettavissa olevien tilojen tapauksessa, mutta joka muuten käyttää sen todistamiseen valintaaksioomaa .
Ominaisuudet
- Jatkuva kuva erotettavasta tilasta on erotettavissa.
- Separoitavan avaruuden jokainen avoin topologinen aliavaruus on erotettavissa.
- Korkeintaan erotettavien tilojen laskettava tulo on erotettavissa. (Lisäksi mielivaltaisen määrän erotettavia välilyöntejä ei enää tarvitse olla erotettavissa).
- Kaikkien reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden joukolla erotettavassa avaruudessa on kardinaalisuus korkeintaan jatkumo (koska jatkuva funktio on yksilöllisesti määritelty sen arvoilla tiheässä osajoukossa).
- Erotettavuus metriavaruuden tapauksessa vastaa topologian laskettavaa kantaa. Kompakti metritila on erotettavissa.
- Jos metriavaruudessa on lukematon määrä elementtejä, joiden välinen pareittainen etäisyys on suurempi kuin jokin positiivinen vakio, avaruus ei ole erotettavissa.
Esimerkkejä
- Diskreetti topologinen avaruus on erotettavissa silloin ja vain, jos se on korkeintaan laskettavissa.
- Reaalilukujen avaruus on erotettavissa: tässä rationaaliset luvut ovat kaikkialla laskettavissa oleva tiheä joukko . Yleisemmin tilat ja ovat erotettavissa.
- Jatkuvien funktioiden avaruus segmentillä , jolla on tasaisen konvergenssin metriikka (eli avaruus ) on erotettavissa. Weierstrassin approksimaatiolauseen mukaan polynomien avaruus, joilla on rationaaliset kertoimet samalla välillä, on sen laskettavissa kaikkialla tiheässä aliavaruudessa. Banach-Mazur- lause sanoo, että mikä tahansa erotettava Banach-avaruus on isomorfinen jonkin suljetun aliavaruuden kanssa .
- Hilbert-avaruus on erotettavissa silloin ja vain, jos sillä on laskettava ortonormaalikanta .
- Avaruus ei ole erotettavissa, koska se sisältää lukemattoman joukon, jonka parittaiset etäisyydet ovat yhtä suuria kuin yksi (kaikkien nollien ja ykkösten sekvenssien joukko).
- Hölder-tilat eivät ole erotettavissa. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Muistiinpanot
- ↑ J. Kelly Yleinen topologia. - M .: Nauka, 1968 - s. 75
- ↑ Jatkuvien funktioiden avaruudet, joiden sileysindeksi on murto-osa. . Haettu 26. maaliskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 23. maaliskuuta 2017.