Spinori ryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. maaliskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Spinoriryhmä on Clifford-algebran elementtien osajoukko ( skalaaritulolla ), joka koostuu muodon elementeistä , joissa ovat yksikkövektorit . Spinoriryhmän operaatio on kertolasku Clifford-algebrassa. $V$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$ $q_{i}\in V$

Euklidisen avaruuden yläpuolella olevaa spinoriryhmää merkitään yleensä symbolilla . Siinä on lyhyt tarkka sekvenssi $\mathbb {R} ^{n}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Spin} (n)}$

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Siten spinoriryhmä on erikoisen ortogonaalisen ryhmän kaksilevyinen päällyste . Homomorfismi voidaan rakentaa seuraavasti: Jokainen yksikkövektori q voidaan liittää heijastukseen suhteessa hypertasoon , joka on kohtisuorassa q :n suhteen . Siten spinoriryhmän elementti voidaan yhdistää heijastusten koostumukseen ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {SO} (n)}$ $\operaattorin nimi {Spin} (n)\to \operaattorin nimi {SO} (n)$ ${\displaystyle R_{q))$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n))

joka kuuluu ryhmään . Katetun ryhmän projektitiiviset esitykset ovat yksitellen vastaamassa sen peitteen esityksiä . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {SO} (n)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {SO} (n)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Spin} (n)}$

Ensimmäisten spinoriryhmien rakenne

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operaattorin nimi {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\simeq \operaattorin nimi {Sp} (1)\simeq \operaattorin nimi {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3))

{\displaystyle \operaattorinnimi {Spin} (4)\simeq \operaattorinnimi {Sp} (1){\times }\operaattorinimi {Sp} (1)\simeq \operaattorinnimi {SU} (2){\times }\operaattorin nimi { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3))

\operaattorin nimi {Spin} (5)\simeq \operaattorin nimi {Sp} (2)

\operaattorin nimi {Spin} (6)\simeq \operaattorin nimi {SU} (4)