Pallosinilause

Pallomainen sinilause määrittää pallomaisen kolmion sivujen a , b , c sinien ja kulmien A , B , C sinien välisen suhteen .

Pallosinilause on analogi tasosinilauseelle ja siirtyy kolmioiden sivujen pienuuden rajalla pallon säteeseen verrattuna.

Todistus projektioilla [1] . Kuvassa on pallomainen kolmio ABC pallolla, jonka säde on R ja jonka keskipiste on O. BP on kohtisuorassa sivun b  kautta kulkevan suurympyrän tasoon nähden , BM  on kohtisuorassa OC :hen nähden , BN  on kohtisuorassa OA :ta vastaan . Kolmen kohtisuoran lauseen käänteisenä PM  on kohtisuora OC :hen nähden, PN on  kohtisuora OA :han nähden . Huomaa, että kulma PMB on yhtä suuri kuin π - C, lisäksi BN = R sin c ja BM = R sin a. Seuraavaksi projisoimme BN :n ja BM :n BP :hen , saamme:

Samalla tavalla saamme toisen yhtälön.

Todistus, joka perustuu jo todistettuihin suhteisiin pallomaisen suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien välillä. Pudotetaan kohtisuora CD = h kärjestä C sivulle c tai sen jatkeelle. Ilmaisemme h :n kahdella tavalla tuloksena olevista suorakulmaisista kolmioista ACD ja BCD :

Tästä saamme osuuden

johon samalla lisäämme kolmannen sivukulmaparin suhteen.

Historia

Pallomaisten kolmioiden sinilause muotoiltiin ja todistettiin useiden keskiaikaisen idän matemaatikoiden kirjoituksissa, jotka asuivat 10. vuosisadalla jKr. e. - Abu-l- Vafa , al-Khojandi ja Ibn Irak . Tämä teoreema teki mahdolliseksi yksinkertaistaa useiden pallotähtitieteen ongelmien ratkaisuja, jotka oli aiemmin ratkaistu Menelauksen lauseella täydelliselle nelikulmiolle .

Katso myös

• Kolmioiden ratkaiseminen
• Sinilause
• Pallokosinilauseet

Muistiinpanot

1. ↑ Julkaisun mukaan lainattu: Stepanov N.N. Sinikaavat // Pallotrigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  29 -32. — 154 s.

Kirjallisuus

• Matvievskaya G.P. Esseitä trigonometrian historiasta. Tashkent: Fan, 1990.