Palloisuus

Palloisuus on kvantitatiivinen mitta siitä, kuinka pallomainen (pyöreä) esine on.

H. Wadellin vuonna 1935 [1] määrittämä hiukkasen palloisuus on pallon pinta-alan (tilavuudeltaan sama kuin annetun hiukkasen) suhde hiukkasen pinta-alaan: $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

jossa on yhtä suuri kuin hiukkasen tilavuus ja on yhtä suuri kuin hiukkasen pinta-ala. Pallon palloisuus on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin yksi, ja isoperimetrisestä epäyhtälöstä johtuen minkä tahansa muun kappaleen palloisuus on pienempi kuin yksi. $V_{p}$ $A_{p}$

Kaavan johtaminen

Hakon Wadell määritteli palloisuuden tilavuudeltaan yhtä suuren pallon pinta-alan suhteeksi tietyn hiukkasen pinta-alaan. Tarkastellaan ensin pallomaista hiukkasta, jonka pinta-ala ja tilavuus on yhtä suuri kuin tutkittavan hiukkasen tilavuus. $Kuten$ $V_{p}$

Ilmaisemme tämän hiukkasen pinta-alan sen tilavuudella : $Kuten$ $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\ pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{ 2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2} =36\,\pi V_{p}^{2}.

Näin ollen

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3} }\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1 }{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2 }{3}}.

Sitten pallomaisuuden lauseke mielivaltaiselle hiukkaselle, jonka pinta-ala ja tilavuus , saa muodon $\psi$ $A_{p}$ $V_{p}$

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right) ^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.

Esimerkkejä

Ellipsoidiset objektit

Litteän sferoidin pallomaisuus on $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={ \frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}} }\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2)))){b}}\oikea)}}},

missä a ja b ovat yhtä suuria kuin pallon pää- ja alapuoliakselit.

Joidenkin objektien pallomaisuus

Nimi	Äänenvoimakkuus	Pinta-ala	Palloisuus
Platoniset kiinteät aineet
Tetrahedron	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\noin 0,671$
Kuutio (heksaedri)	${\displaystyle \,s^{3))$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,806$
Oktaedri	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\noin 0,846$
Dodekaedri	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right )^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,910$
ikosaedri	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,939$
Aksiaalisymmetriset rungot
Kartio $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2))})$ $=4\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,794$
pallonpuolisko	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,840$
Sylinteri ${\näyttötyyli (h=2\,r)}$	${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3))$	${\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,874$
Thor ${\näyttötyyli (R=r)}$	${\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3))$	${\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2))$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\noin 0,894$
Pallo	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2))$	${\näyttötyyli 1\,}$

Katso myös

Isoperimetrinen suhde

Muistiinpanot

↑ Wadell, Hakon. Kvartsihiukkasten tilavuus, muoto ja pyöreys // Journal of Geology : päiväkirja. - 1935. - Voi. 43 , nro. 3 . - s. 250-280 . - doi : 10.1086/624298 .