Atiyah-Singerin indeksilause

Atiyah-Singerin indeksilause on väite suljetun monisarjan elliptisen operaattorin analyyttisten ja topologisten indeksien yhtäläisyydestä [1] . Michael Athyan ja Isadore Singerin perustivat ja todistavat vuonna 1963 .

Tulos auttoi löytämään uusia yhteyksiä algebrallisen topologian , differentiaaligeometrian ja globaalin analyysin välillä [2] , löysi sovelluksen teoreettisessa fysiikassa ja sen yleistysten tutkimuksesta muodostui erillinen teoria - indeksiteoria [3] . $K$

Määritelmät ja sanamuoto

Differentiaalioperaattorin analyyttinen indeksi , jossa ja ovat sileitä vektorinippuja differentioituvan suljetun jakosarjan yli , on sen ytimen ja kokernelin mittojen välinen ero : $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$ $E$ $F$ $X$

i_{a}(d)={\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Ker}}\,d-{\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Coker}}\,d={\ mathrm {dim}}\,d^{{-1}}(0)-{\mathrm {dim}}\,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty }(E))

Elliptisille operaattoreille nämä mitat ovat äärellisiä.

Elliptisen operaattorin topologinen indeksi määritellään seuraavasti: $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

i_{t}(d)=\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}[\Sigma (X)]

missä on hissien isomorfismin määrittelevän operaattorin symboli , on jakotukin kotangenttinipun yksikköpallojen nippu , on nippu yksikköpallonippujen tilan kahden tilan liimauksen päällä kohdassa ( on raja ) ; on Chernin nipun kohomologinen luonne ; on kompleksoidun kotangenttikimmun Todd-kohomologialuokka ; ; , ja osa " " tarkoittaa elementin -ulotteisen komponentin ottamista jakotukin perussykliin . $\sigma (d)$ $d$ $\sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$ $\pi \kaksoispiste S(X)\-X$ $T^{*}X$ $X$ $V(\sigma)$ $\pi ^{{+*}}(E)\kuppi _{\sigma }(d)\pi ^{{-*}}(F)$ $\Sigma (X)=B^{+}\kuppi _{{S(X)}}B^{-}$ $B(X)$ $T^{*}X$ $S(X)$ $B(X)$ ${\mathrm {ch}}\,V(\sigma )$ $V(\sigma)$ ${\mathcal T}(X)$ $T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X$ $\pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)={\mathcal T}(\Sigma (X))$ $[\Sigma(X)]$ $2n$ $\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}$ $\Sigma (X)$

Lauseen väite koostuu elliptisten operaattorien analyyttisten ja topologisten indeksien yhtäläisyydestä suljetuilla jakoputkilla.

Historia

Indeksilauseessa ilmaistun suhteen erityisiä ilmentymiä löydettiin jo 1800-luvulla, kuten esimerkiksi Gauss-Bonnet-kaava , joka yhdistää pinnan Euler-ominaiskäyrän sen Gaussin kaarevuuden ja sen rajan geodeettisen kaarevuuden , sekä sen moniulotteiset yleistykset. Toinen tällaisen yhteyden ilmentymä on Riemann-Roch-lause ei- singulaarisille algebrallisille käyräille (1865), ja sen yleistäminen mielivaltaisiksi vektorinipuiksi kompakteissa kompleksijoukoissa on Riemann-Roch-Hirzebruch-lause (1954).

Israel Gelfand muotoili kysymyksen elliptisten operaattoreiden analyyttisen indeksin ja niiden topologisten ominaisuuksien välisestä mahdollisesta suhteesta vuonna 1960 [4] kiinnittäen huomiota analyyttisen indeksin muuttumattomuuteen operaattorin muodonmuutoksien suhteen. Vuonna 1963 Atiya ja Singer löysivät tällaisen topologisen ominaisuuden; vuonna 1964 julkaistiin todiste rajatuista jakoputkista . Todistuksen ensimmäisissä versioissa käytettiin tekniikkaa, joka oli samanlainen kuin Friedrich Hirzebruchin todistus Riemann-Rochin hypoteesin yleistyksestä, ja ne sisälsivät suurelta osin kohemologian ja kobordismin teorian keinot , ja ne erottuivat huomattavan teknisen monimutkaisuuden vuoksi. ] . Muutamaa vuotta myöhemmin muotoilu ja todistus käännettiin -teoriakielelle , mikä yksinkertaisti todistusta merkittävästi ja avasi mahdollisuuden lisäyleistyksiin, ja 1970-1990-luvuilla lauseesta saatiin analogeja laajemmille ja erilaisille erikoisluokille. esineistä. $K$

Indeksilause (yhdessä -teorian ja elliptisten operaattoreiden Lefschetzin kaavan analogin kanssa ) mainittiin Atiyahin ehdokkaassa vuoden 1966 Fields Prize -palkinnon saajaksi . Vuonna 2004 Atiyah ja Singer saivat Abel-palkinnon [6] indeksilauseestaan . $K$

Seuraukset

Lauseesta seuraa, että elliptisen operaattorin topologinen indeksi suljetussa monistossa on kokonaisluku [1] . Toinen seuraus on, että analyyttiset ja topologiset indeksit operaattorille parittoman dimensiolla ovat nolla [1] .

Riemann-Roch-lause ja sen yleistykset - Riemann-Roch-Hirzebruch-lause ja Riemann-Roch-Grothendieck-lause - ovat luonnollisia seurauksia indeksilauseesta.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Sardanashvili G. A. Geometria ja kvanttikentät. — Nykyaikaiset kenttäteorian menetelmät. - M. : URSS, 2000. - T. 4. - S. 146. - 160 s.
↑ Science Lives : Michael Atiyah . Simonsin säätiö. Haettu 26. elokuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 27. syyskuuta 2013.
↑ 19K56 - Indeksiteoria . Matemaattinen aineluokitus . AMS (2010). Haettu: 30. elokuuta 2014. (määrätön)
↑ I. M. Gelfand. Elliptisistä yhtälöistä // Matemaattisten tieteiden edistysaskel . - Venäjän tiedeakatemia , 1960. - T. 15 , no. 9 , nro 93 . - S. 121-132 . — ISSN 0042-1316 . - doi : 10.1070/RM1960v015n03ABEH004094 . (Venäjän kieli)
↑ Atiyah, laulaja, 1968 .
↑ Vanhaa lausetta arvostettiin ansioiden perusteella (pääsemätön linkki) . MIGNews.com. Haettu 26. elokuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 26. elokuuta 2014. (määrätön)

Kirjallisuus

R. Pale. Seminaari Atiyah-Singerin indeksilauseesta. - M .: Mir, 1970.
M. F. Atiya, I. M. Zinger. Elliptisten operaattoreiden indeksi. I = elliptisten operaattoreiden indeksi. I // Matemaattisten tieteiden edistysaskel / Per. englannista. S. I. Gelfand. - Venäjän tiedeakatemia , 1968. - T. 23 , no. 5 , nro 143 . - S. 99-142 . — ISSN 0042-1316 . (Venäjän kieli)
Formula index - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . M. I. Voitsekhovsky, M. A. Shubin