Vinogradovin keskiarvon lause

Vinogradovin keskiarvolause on analyyttisen lukuteorian lause joidenkin trigonometristen summien integraalin keskiarvon estimoimiseksi , jota kutsutaan myös Vinogradovin integraaliksi ; trigonometristen summien menetelmässä käytetty keskeinen tulos . Lause on kiinnostava erityisesti siksi, että siinä estimoitu integraali on yhtä suuri kuin ratkaisujen määrä kokonaislukuina erityismuotoisen yhtälöjärjestelmän riittävän suurelta väliltä.

Koska lause koskee suoraan trigonometrisiä summia (ja siten eksponenteja, joilla on kompleksinen eksponentti ), käytämme lyhyyden ja mukavuuden vuoksi merkintää , jossa voi olla mikä tahansa luku. ${\displaystyle e\left({\alpha }\right)=e^{2\pi \alpha i))$ $\alpha \in {\mathbb {R} }$

Yleinen kuvaus ongelmasta

Olkoon kiinteitä luonnollisia lukuja annettu . Harkitse yhtälöjärjestelmää $n,k$

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\dots +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\pisteet +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\pisteet +{y_{k}}^{2}\\\pisteet \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ pisteet +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\pisteet +{y_{k}}^{n}\end {matriisi}}\oikea.

tai muodollisemmin

\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}=\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j} }^{i}},i=1,\pisteet ,n

Tarve harkita tällaista järjestelmää syntyy esimerkiksi Waringin ongelman analyyttisessä ratkaisussa , mutta sitä voidaan (muunneltuina formulaatioina) soveltaa muilla alueilla.

Jos merkitsemme määritetyn järjestelmän kokonaislukuratkaisujen lukumäärällä sisällä , niin pääkysymys muotoillaan seuraavasti: kuinka nopeasti se kasvaa kasvun mukana ? $J_{k,n}(P)$ $x_{i},y_{i}\in [1;P],i=1,\dots ,k$ $J_{k,n}(P)$ $P$

Triviaali arvio olisi tietysti ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq P^{2k))$

Vinogradovin lause antaa suoria (ei asymptoottisia ) arvioita, paljon parempia kuin triviaaleja, ylhäältä käsin kiinteän ja . $J_{k,n}(P)$ $k$ $n$

Integraalinen muotoilu

Kuten tavallisesti käytettäessä trigonometrisiä summia , ehto, että muuttujat vastaavat yhtälöä, voidaan ilmaista identiteetillä

{\Bigg [}\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{ {y_{j}}^{i}}=0{\Bigg ]}=\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1 }^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alpha }

Siksi yhtälöjärjestelmän ratkaisujen määrä tyydyttää lausekkeen

J_{n,k}(P)=\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\leq P}{\prod \limits _{i=1}^{n} {\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}- \sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alpha }}}=\sum \limits _{1 \leq x_{j},y_{j}\leq P}\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{e\left({\sum \ rajat _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j =1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\oikea)\alpha _{i}}}\oikea)}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n }=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\ leq P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j))^{ i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _ {1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_ {j},y_{j}\leq P}e{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n }{x_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}-\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i= 1}^{n}{y_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}}\right)}}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=1}^{ P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x^{i))}\right)}{\Bigg \vert }^{2k)) d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert } {\sum \limits _{x=1}^{P}e\left({\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\pisteet +\alpha _{k}x^ {k}}\oikea)}{\Bigg \vert }^{2k}}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}

Siten haluttu arvo estimoidaan Weyl-summien integraalin kautta , ja se voidaan estimoida näille summille yhteisillä menetelmillä.

Lauseen lauseet

Vaikka lauseen tärkein etu on kasvujärjestyksen rajoitus suhteessa , tämän kasvujärjestyksen mukana tuleva vakio (kiinteälle ja ) tekijä voidaan myös ilmaista eksplisiittisesti todistuksessa. $J_{k,n}(P)$ $P$ $k$ $n$

Lisäksi lauseessa saadut arviot osoittautuvat sitä paremmiksi, mitä enemmän parametri ylittää parametrin . Siksi yleensä otetaan käyttöön lisäparametri , joka ilmaisee suhdetta tai jollakin muulla tavalla parametroi kasvua suhteessa . $k$ $n$ $\tau$ ${\frac {k}{n))$ $k$ $n$

Tältä osin ja myös lauseen todisteiden monimutkaisuudesta ja siinä olevien yksityiskohtien suuresta määrästä johtuen lauseen eri muotoiluissa käytetyt vakiot ja lausekkeet riippuvat vain ja voivat vaihdella. Erityisesti tällaisten tekijöiden arvot ovat laskeneet ja eri matemaatikot ovat eri aikoina keventäneet arvojen rajoituksia. $k$ $n$ $(k, n)$

I. M. Vinogradovin kirjassa vuonna 1971 annetaan seuraava sanamuoto:

Anna . Jos kyseessä on kokonaisluku , merkitse . $n\geq 12$ $\tau$ $k_{\tau }=n\tau +\left\lfloor {{\frac {n(n+1)}{4))+1}\right\rfloor$

Sitten kun $k>k_{\tau }$ $J_{k,n}(P)<(20n)^{{\frac {n(n+1)}{2}}\tau }P^{2k-{\frac {n(n+1) ) )}{2}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)^{\tau }}$

A. A. Karatsuban vuoden 1983 oppikirja todistaa:

Antaa olla kokonaisluku, , . Siis minne $\tau >0$ $k\geq n\tau$ $P\geq 1$ ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq D_{\tau ,n}P^{2k-\delta (\tau ,n)))$

$\delta (\tau ,n)={\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-\left({1-{\frac {1}{n}}} \oikea)^{\tau }}\oikea)$ ;

$D_{\tau ,n}=(n\tau )^{6n\tau }(2n)^{4n(n+1)\tau }$

Päälemma

Lausunnon ydin

Kysymys yhtälöjärjestelmän ratkaisujen lukumäärän arvioimisesta

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\dots +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\pisteet +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\pisteet +{y_{k}}^{2}\\\pisteet \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ pisteet +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\pisteet +{y_{k}}^{n}\end {matriisi}}\oikea.

liittyy suoraan kysymykseen järjestelmän ratkaisujen lukumäärästä

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=\lambda _{1}\\{x_{1}}^{2}+ {x_{2}}^{2}+\pisteet +{x_{k}}^{2}=\lambda _{2}\\\pisteet \\{x_{1}}^{n}+{x_ {2}}^{n}+\pisteet +{x_{k}}^{n}=\lambda _{k}\end{matrix}}\right.

kiinteässä paikassa . Samankaltainen ongelma kuin tämä, mutta jota hieman helpottaa erityisolosuhteet ja vaatimusten lieventäminen, voidaan ratkaista suoraan. Juuri tällaisen ongelman ratkaisu muodostaa päälemman, jolla on päärooli Vinogradovin lauseen todistuksessa. Erityisehdot, jotka ovat tarpeen ongelman suoralle ratkaisulle, ovat seuraavat: ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$

oletetaan, että muuttujien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä;
oletetaan, että muuttujat ottavat arvot erilaisista, laajasti erotetuista intervalleista - toisin sanoen ero minkä tahansa erilaisen ja ylittää jonkin ennalta määrätyn arvon; $x_{i}$ $x_{j}$
tasa-arvovaatimuksen sijaan analysoidaan vaatimus kuulua suhteellisen lyhyeen väliin, eli annetulle, pienelle välille. ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\pisteet +{x_{k}}^{s}=\lambda _{s}$ ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\pisteet +{x_{k}}^{s}\in I_{s}$ $I_{s}$

Ratkaisujen rajallinen määrä tietyissä olosuhteissa on ilmeistä funktioiden kuperuudesta johtuen - todellakin, jos funktio on kupera ja välit ovat merkittävästi kaukana toisistaan, niin ero tämän funktion derivaatan arvoissa näillä aikaväleillä on hyvin erilainen. Tämä tarkoittaa, että toisen intervallin numeroiden arvot sijaitsevat koordinaattiviivalla harvemmin kuin ensimmäisen välin numeroiden arvot. Näin ollen identtiset (mutta erisuuntaiset) muutokset joissakin kahdessa muuttujassa johtavat useimmissa tapauksissa funktion arvon epätasaiseen muutokseen, joten kun summa pysyy tietyllä lyhyellä aikavälillä muuttujan muuttuessa , summa muuttaa arvoja . erittäin suurella aikavälillä. Jos tämä suuri väli on suurempi kuin vaadittu, niin ratkaisujen määrä on vastaavasti pieni. ${\displaystyle x^{2},x^{3},\dots ,x^{n))$ $f$ $f$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}$ $f(x_{1})+f(x_{2})$

Itse konveksiteettinäkökohtia ei kuitenkaan käytetä lauseen klassisessa todistuksessa, koska se analysoi suoraan kokonaislukupotenssien ominaisuuksia ja niistä saatujen polynomien kertoimia .

Tiukka sanamuoto

Tässä on sanamuoto Karatsuban kirjasta. Vinogradovin kirjan muotoilu on samanlainen, vain kertoimet riippuen ovat hieman erilaisia . $n$

Anna , , . Ajetaan myös välien kokonaislukujen läpi ${\displaystyle n>2,P>{(2n)}^{4n))$ $H={(2n)}^{4}$ $R={\frac {P}{H}}$ $v_{1},\dots,v_{n}$

X_{1}<v_{1}\leq Y_{1},\dots ,X_{n}<v_{n}\leq Y_{n},

missä meillä on jokin ehto $\omega$ $0\leq \omega <P$

-\omega <X_{1},\ X_{1}+R=Y_{1},\ Y_{1}+R\leq X_{2},\dots ,X_{n}+R=Y_ {n},Y_{n}\leq -\omega +P

Silloin arvojärjestelmien määrä siten, että summat ovat vastaavasti missä tahansa pituuksien välillä, tyydyttää epäyhtälön $E_1$ $v_{1},\dots,v_{n}$ $V_{1}=v_{1}+\pisteet +v_{n},\dots ,V_{n}={v_{1}}^{n}+\pisteet +{v_{n}}^ {n}$ ${\näyttötyyli 1,\pisteet ,P^{n-1}}$

E_{1}<e^{r(n)-1}H^{\frac {n(n-1)}{2)),\ r(n)=-{\frac {n^{ 2}}{2}}\ln {n}+{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n

Ja jos samat arvot kulkevat läpi (riippumatta jälkimmäisestä), niin niiden tapausten lukumäärä, joissa erot ovat vastaavasti missä tahansa pituuksien välissä, tyydyttää epätasa-arvon ${v_{1}}^{*},\dots ,{v_{n}}^{*}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$ $E$ $V_{1}-{V_{1}}^{*},\dots ,V_{n}-{V_{n}}^{*}$ ${\displaystyle P^{1-{\frac {1}{n}}},\dots ,P^{n\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)))$

E<2e^{r(n)}H^{\frac {n(n-2)}{2}}P^{\frac {3n-1}{2}}

Todistuksen lyhyt kuvaus

Suurin vaikeus on arvioinnin todistaminen . Siitä sidottu on johdettu triviaalisti. $E_1$ $E$

Olkoon kaksi järjestelmää ja , joiden valtuuksien summat kuuluvat annettuihin aikaväleihin ja . Tämä tarkoittaa itse asiassa sitä $(\eta _{1},\dots ,\eta _{n})$ $(\eta _{1}+\xi _{1},\dots ,\eta _{n}+\xi _{n})$ $I_{1},\pisteet ,I_{n}$ $\xi _{n}>0$

\left\{{\begin{matrix}(\eta _{1}+\xi _{1})-\eta _{1}+\pisteet +(\eta _{n}+\xi _ {n})-\eta _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\(\eta _{1}+\xi _{1})^{2}-{\eta _ {1}}^{2}+\pisteet +(\eta _{n}+\xi _{n})^{2}-{\eta _{n}}^{2}=\theta _{2 }|I_{2}|\\\pisteet \\(\eta _{1}+\xi _{1})^{n}-{\eta _{1))^{n}+\pisteet +( \eta _{n}+\xi _{n})^{n}-{\eta _{n}}^{n}=\theta _{n}|I_{n}|\end{matrix}} \oikea.

missä . Jos korvaamme lausekkeen kaikissa termeissä ja ilmaisemme Cramer-menetelmän mukaisesti muodon murto-osien kautta (paljastaen nimenomaisesti determinantit), niin se seuraa Lagrange-lauseesta , joka tyydyttää joillekin yhtälöjärjestelmän ratkaisun. $\eta _{1},\dots ,\eta _{n}\in (-1;1)$ $(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s}={\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i}}^{s}}{\xi ^{s}}}\xi ^{s}$ ${\näyttötyyli \xi _{s))$ ${\displaystyle {\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s)){\xi ^{s))))$ ${\näyttötyyli \xi _{s))$ $x_{1}\in (\eta _{1},\eta _{1}+\xi _{1}),\dots ,x_{n}\in (\eta _{n},\ eta _{n}+\xi _{n})$

\left\{{\begin{matrix}\xi _{1}+\dots +\xi _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\x_{1}\xi _{1}+\pisteet x_{n}\xi _{n}=\theta _{2}|I_{2}|\\\pisteet \\{x_{1}}^{n-1}\xi _{1}+\pisteet {x_{n}}^{n-1}\xi _{n}=\theta |I_{n}|\end{matrix}}\right.

Tämän järjestelmän kerroinmatriisi on Vandermonde-matriisi , ja järjestelmän ratkaisuja on helppo analysoida tällaisten matriisien determinantin tunnetun lausekkeen perusteella.

Lauseen todistuskaavio

Lause todistetaan integraaliformulaatiolla. Todistus suoritetaan induktiolla ja useissa vaiheissa : $n$ $P$

Intervalli jaetaan tiettyyn (riippuen ) määrästä osaväliä, ja integraalin alla oleva moninkertainen trigonometrinen summa jaetaan tällaisten summien joukoksi kullekin mahdolliselle tällaisten intervallien yhdistelmälle; ${\näyttötyyli [1;P]}$ $n$ $k$
Kaikki osavälit on jaettu kahteen ryhmään:
- joukot, joiden joukossa on vähintään sellaisia, että niistä ei ole kahta vierekkäistä eivätkä ne ole samat; $n$
- kaikki muut setit.
Tämän jälkeen ratkaisujen kokonaismäärä rajoittuu näiden kahden joukon ratkaisujen lukumäärän summaan (kerrotettu vakiolla 2).
Ensimmäisestä joukosta valitaan yksi, jonka trigonometrisen summan moduulin neliö on suurin. Sen jälkeen kaikkien joukkojen summa arvioidaan triviaalisti kertomalla parhaan joukon summa joukkojen lukumäärällä.
Ensimmäisen muuttujien valitun joukon aritmeettisten ja geometristen keskiarvojen välisen epätasa-arvon kautta ne "ajetaan" johonkin yhteen intervalliin (eli todistetaan, että jos ne kulkevat tietyn, yksi kaikille -välin läpi, sen sijaan ratkaisujen määrä ei vähene). Toisin sanoen tässä vaiheessa yhtälöjärjestelmä pelkistyy muotoon, kun muuttujat kulkevat eri välien läpi ja muuttujat jonkin yhden ja saman intervallin läpi. $2k-2n$ $2k$ $2n$ $2k-2n$
Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisujen lukumäärä ilmaistaan summana tietyn luvun esitysten lukumäärän tulojen kanssa
Esitysten lukumäärä samojen välien muuttujien summan erolla otetaan pois suluista ja arvioidaan induktiooletuksen kautta (koska sekä muuttujien lukumäärä että niiden arvojen vaihteluväli ovat pieniä verrattuna alkuperäisiin) ; $2k-2n$
Kun tekijä on otettu pois suluista, yhtälön ratkaisujen lukumäärän lauseke muuttuu kahden potenssisumman eroa rajoittavan epäyhtälön ratkaisujen lukumäärän lausekkeeksi. Tämän epäyhtälön ratkaisujen määrä arvioidaan päälemman kautta.
Toiselle osavälien sarjalle osoitetaan yksinkertaisesti, että tällaisia joukkoja on hyvin vähän. Lisäksi kaikki muuttujat pienennetään jälleen yhdeksi (mutta lyhyemmäksi kuin ) väliin, ja tämä mahdollistaa jo induktiivisen oletuksen soveltamisen niistä parhaisiin (suurimman ratkaisumäärän mielessä). $P$

Sovellukset

Historiallisesti lausetta käytettiin ensin Waringin ongelman ratkaisemisessa , mutta joskus sitä käytetään myös muilla lukuteorian alueilla - esimerkiksi lyhyiden Kloosterman-summien arvioimiseen [1] .

Muistiinpanot

↑ M. A. Korolev, Kloostermanin lyhyiden summien estimointimenetelmät, Chebyshevsky Sb., 2016, osa 17, numero 4, 79-109 . Haettu 14. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 10. maaliskuuta 2018. (määrätön)

Kirjallisuus

Vinogradov, Ivan Matveevich. Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa. - M .: Nauka, 1971.
Karatsuba, Anatoli Aleksejevitš. Analyyttisen lukuteorian perusteet. - M .: Nauka, 1983.