Legendren lause (pallotrigonometria)

Pallotrigonometrian Legendren lause mahdollistaa pallomaisen kolmion ratkaisun yksinkertaistamisen , jos sen sivujen tiedetään olevan tarpeeksi pieniä verrattuna sen pallon säteeseen , jolla se sijaitsee.

Sanamuoto

Olkoon pallomainen kolmio, jonka sivut ovat pienet verrattuna pallon säteeseen , kulmiin ja kulmiin . Rakennetaan tasolle kolmio , jonka sivut ovat yhtä pitkiä kuin annetun pallomaisen kolmion vastaavat sivut, eli koska pallomaisen kolmion sivuilla on kulmamitta ja ne ilmaistaan radiaaneina, niin . Merkitään tällaisen kolmion kulmat (radiaaneina ilmaistuna) kuin . Legendren lause sanoo, että seuraavat suhteet ovat tosia [1] : $a,b,c$ $R$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\varepsilon =\alpha +\beta +\gamma -\pi$ $a',b',c'$ $a'=aR,b'=bR,c'=cR$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

\alpha '\approx \alpha -{\frac {\varepsilon }{3))

\beta '\approx \beta -{\frac {\varepsilon }{3))

\gamma '\approx \gamma -{\frac {\varepsilon }{3))

Siten, jos pallomaisen kolmion sivut ovat pieniä verrattuna pallon säteeseen, voimme korvata sen tasaisella kolmiolla, jonka sivut ovat samat ja jonka kulmista kolmasosa on pienempiä, ja laskea litteän kolmion elementit.

Historia

Tämän lauseen muotoili A. M. Legendre vuonna 1787 [2] ja osoitti sen vuonna 1798 [3] . Joidenkin lähteiden mukaan se tunnettiin kuitenkin jo vuonna 1740, jolloin Sh.M. de la Condamine käytti sitä Perun tutkimusmatkan astemittausten käsittelyssä [4] .

Muistiinpanot

↑ Stepanov N. N. §55. Legendren lause // Pallotrigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 s.
↑ Legendre AM: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dependent de la figure de la terre. Histoire de l'Académie Royal de Sciences, Pariisi 1787; 352-383.
↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur Excate du quart du méridien d'après les observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des trianges sphériques dont des côpetit aprèsraynton de la sphere. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
↑ Zbynek Nadenik. Legendre-lause pallomaisista kolmioista . Arkistoitu alkuperäisestä 16. tammikuuta 2014.

Pallomainen trigonometria
Peruskonseptit	pallomainen kolmio napakolmio Ylimääräinen Bigon
Kaavat ja suhteet	Kosinilauseet Sinilause Viiden elementin kaava Puolipuolen kaava Napierin muistisääntö Pallomainen Pythagoraan lause Delambren kaavat Napierin analogiakaavat Legendren lause Kolmioiden ratkaiseminen
liittyvät aiheet	Pallomainen koordinaattijärjestelmä pallomainen geometria kolmikulmainen kulma