Napoleonin lause

Napoleonin lause  on euklidisen planimetrian lausunto tasasivuisista kolmioista:

Jos mielivaltaisen kolmion kummallekin puolelle rakennetaan tasasivuinen kolmio , niin kolmio, jonka kärjet ovat tasasivuisten kolmioiden keskipisteissä , on myös tasasivuinen

Kolmiot voidaan rakentaa sisälle (kaikki) - lause pysyy voimassa.

Näin saatua kolmiota kutsutaan Napoleonin kolmioksi (sisäinen ja ulkoinen).

Lause liitetään usein Napoleon Bonaparten (1769-1821) ansioksi. On kuitenkin mahdollista, että W. Rutherford ehdotti sitä vuoden 1825 englanninkielisessä julkaisussa.  Naisten päiväkirja . [yksi]

Todisteet

Tämä teoreema voidaan todistaa useilla tavoilla. Yksi niistä käyttää rotaatiota ja Challin lausetta (3 peräkkäistä kiertoa palauttaa tason paikoilleen). Samanlainen menetelmä käyttää rotaatiohomoteettia (käytettäessä kahta homoteettia yhtäläisillä kertoimilla, MN ja LN menevät yhteen segmenttiin CZ). Muut menetelmät ovat yksinkertaisempia, mutta myös raskaampia ja monimutkaisempia.

Napoleon Center

Katso myös Napoleonin kohdat .

Kappaleen kuva löytyy osoitteesta: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Olkoon kolmio ABC ja olkoon D, E, F  pisteitä kuvassa, joiden kolmiot DBC, CAE, ABF tasasivuinen. Olkoon edelleen: G  on kolmion DBC keskipiste , H  on kolmion CAE keskipiste , I  on kolmion ABF keskipiste . Sitten janat AG, BH, CI leikkaavat yhdessä pisteessä. Merkitään tämä kohta kirjaimella N. Tämä on niin kutsuttu ensimmäinen Napoleon-piste. Kolmiviivaiset koordinaatit pisteelle N ovat: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Jos tasasivuisia kolmioita DBC, CAE, ABF ei rakenneta annetun kolmion ABC ulkopuolelle vaan sisälle , niin kolme suoraa AG, BH, CI leikkaavat toisessa Napoleon-pisteessä. Sen kolmiviivaiset koordinaatit ovat: csc(A - π/6): csc(B - π/6): csc(C - π/6).

Huomautus

Ensimmäinen ja toinen Napoleonin kohta Clark Kimberlingin Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ tunnetaan pisteinä X(17) ja X(18).

Suhde muihin väitteisiin

Napoleonin lause on yleistetty mielivaltaisten kolmioiden tapaukseen seuraavasti:

Jos kolmion sivuille rakennetaan ulkoisesti samankaltaisia ​​minkä tahansa muotoisia kolmioita siten, että kutakin kierretään suhteessa edelliseen, ja mitkä tahansa kolme vastaavaa pistettä näistä kolmioista on yhdistetty, tuloksena oleva kolmio on samanlainen kuin nämä ulkoiset kolmiot.

Napoleonin suuntaviivalauseen vastine on Thébaultin ensimmäinen lause .

Katso myös

Linkit