Newton-Leibnizin lause

Newton-Leibnizin kaava eli analyysin peruslause antaa suhteen kahden operaation välillä: otetaan Riemannin integraali ja lasketaan antiderivaata .

Sanamuoto

Newton-Leibnizin kaavan klassinen muotoilu on seuraava.

Jos funktio on jatkuva segmentissä ja on mikä tahansa sen antiderivaatta tässä segmentissä, niin yhtälö $\textstyle f(x)$ $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Todiste

Olkoon segmentille annettu integroitava funktio . $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle f$

Asetetaan mielivaltainen arvo ja määritellään uusi funktio . Se on määritelty kaikille arvoille , koska tiedämme, että jos on integraali on , on myös integraali on , missä . Muista, että katsomme määritelmän mukaan $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle f$ $\vasen[a,x\oikea]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (yksi)

huomaa, että

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Osoittakaamme, että se on jatkuva segmentillä . Todellakin, anna ; sitten $\tekstyyli F$ $\vasen[a,b\oikea]$ $x,x+h\in\left[a,b\right]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

ja jos , niin $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\to 0,h\to 0$

Siten on jatkuva päällä riippumatta siitä, onko siinä epäjatkuvuuksia vai ei; on tärkeää, että se on integroitavissa . $\tekstyyli F$ $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle f$ $\textstyle f$ $\vasen[a,b\oikea]$

Kuvassa on kaavio . Muuttuvan kuvan pinta-ala on . Sen inkrementti on yhtä suuri kuin kuvion pinta-ala , joka rajoituksesta johtuen luonnollisesti pyrkii nollaan riippumatta siitä, onko se jatkuvuuspiste vai epäjatkuvuuspiste , esimerkiksi piste .

\textstyle f

\textstyle aABx

\textstyle F(x)

\textstyle F(x+h)-F(x)

\textstyle xBC(x+h)

\textstyle f

h\-0

\textstyle x

\textstyle f

\textstyle xd

Nyt funktio ei saa olla vain integroitavissa , vaan myös jatkuva pisteessä . Osoittakaamme, että sitten on derivaatta tässä vaiheessa yhtä suuri kuin $\textstyle f$ $\vasen[a,x\oikea]$ $x\in\left[a,x\right]$ $\tekstyyli F$

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

Todellakin, annettuun kohtaan $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1), (3) $h\-0$

Laitamme , ja koska vakio on suhteessa , niin . Lisäksi, koska jatkuvuus kohdassa , kenelle tahansa voidaan määrittää siten, että varten . $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\textstyle f(x)$ $\textstyle t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\textstyle f$ $\textstyle x$ $\textstyle \varepsilon >0$ $\textstyle \delta$ $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$ $\textstyle |xt|<\delta$

Siksi

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

joka todistaa, että tämän epäyhtälön vasen puoli on o(1) varten . $\textstyle h\to 0$

Ylittäminen rajalle kohdassa (3) at osoittaa derivaatan olemassaolon pisteessä ja yhtälön (2) voimassaolon. Tässä puhumme vastaavasti oikeasta ja vasemmasta johdannaisista. $\textstyle h\to 0$ $\tekstyyli F$ $\textstyle x$ $\textstyle x=a,b$

Jos funktio on jatkuva päällä , niin edellä todistetun perusteella vastaava funktio $\textstyle f$ $\vasen[a,b\oikea]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (neljä)

on derivaatta yhtä suuri kuin . Siksi funktio on antiderivatiivinen : lle . $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstyle F(x)$ $\textstyle f$ $\vasen[a,b\oikea]$

Tätä johtopäätöstä kutsutaan joskus muuttujan ylärajan integraalilauseeksi tai Barrow'n lauseeksi .

Olemme osoittaneet, että mielivaltaisella jatkuvalla funktiolla välissä on antiderivaata tälle intervallille, jonka määrittää yhtälö (4). Tämä todistaa antiderivaatan olemassaolon mille tahansa aikavälillä jatkuvalle funktiolle. $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle f$

Olkoon nyt mielivaltainen funktion antijohdannainen . Tiedämme sen , missä on jokin vakio. Olettaen tässä yhtäläisyydessä ja ottaen huomioon sen , saamme . $\textstyle \Phi$ $\textstyle f(x)$ $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ $\textstyle C$ $\textstyle x=a$ $\textstyle F(a)=0$ $\textstyle \Phi (a)=C$

Siten ,. Mutta $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Siksi

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matriisi }x=b\\\\x=a\end{matriisi}}$

Itse asiassa integrandin jatkuvuuden vaatimus on kuitenkin tarpeeton. Tämän kaavan täyttämiseksi riittää vain vasemman ja oikean osan olemassaolo.

Jos funktio on integroitavissa ja sillä on antiderivaata segmentissä , — mikä tahansa sen antiderivaata tässä segmentissä, yhtälö $\textstyle f(x)$ $\vasen[a,b\oikea]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Jatkuvuus on käytännössä kätevä ehto, sillä se takaa välittömästi sekä integroitavuuden että antiderivaatin olemassaolon. Jos sitä ei ole, oikeaa käyttöä varten on tarpeen tarkistaa molemmat nämä ominaisuudet, mikä on joskus vaikeaa. On integroitavia funktioita, joilla ei ole antiderivaavaa (mikä tahansa funktio, jossa on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä tai Riemannin funktio ), ja ei-integroitavia, joilla on antiderivaata (derivaata, jota on täydennetty nollalla nollassa, missä tahansa segmentissä, joka sisältää 0, tai Volterra-toiminto ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

Kaava voidaan yleistää funktioille, joissa on äärellinen määrä epäjatkuvuuksia. Tätä varten meidän on yleistettävä antiderivatiivin käsite. Olkoon funktio määritelty janalle paitsi ehkä äärelliselle määrälle pisteitä. Funktiota kutsutaan yleistetyksi antiderivaatiiviseksi , jos se: $f$ $[a;b]$ $F$ $f$

Jatkuva segmentillä $[a;b]$
Kaikissa pisteissä , lukuun ottamatta mahdollista äärellistä määrää, on erotettavissa $[a;b]$
Kaikissa kohdissa, joissa se on differentioituva, paitsi ehkä äärellinen määrä niistä, sen johdannainen on . $f$

Tämä määritelmä ei edellytä, että derivaatta on sama kaikissa kohdissa, joissa se on differentioituva. Tällä konseptilla voidaan yleistää Newton-Leibnizin kaava vieläkin voimakkaammin. $F$ $f$ $F$

Olkoon se määritelty kaikkialla paitsi ehkä äärelliselle määrälle pisteitä. Jos funktio on integroitavissa ja sillä on yleinen antiderivaata segmentissä , — mikä tahansa sen yleistetty antiderivaata tässä segmentissä, yhtälö $f$ $[a;b]$ $\textstyle f(x)$ $\vasen[a,b\oikea]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Todiste

Koska toiminto on integroitavissa, voidaan tarkastella mitä tahansa osioiden sarjaa, joissa on merkittyjä pisteitä ja joiden halkaisija pyrkii nollaan. Niiden yläpuolella olevien integraalisummien raja on yhtä suuri kuin integraali. $f$

Tarkastellaan segmentin osioiden sarjaa siten, että osion halkaisija pyrkii nollaan kuin . Sisällytetään jokaiseen näistä osioista myös ne segmentin pisteet, jossa ei ole differentioituva tai sen derivaatta ei ole yhtä suuri kuin . Näillä lisäjakopisteillä merkitse . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $f$ $T_{n}'$

Laitetaan nyt niihin merkityt pisteet. Korjaamme tietyn osion . Tällöin oletetaan, että funktio on jatkuva jokaisessa segmentissä ja differentioituva intervalleilla . Lagrangen lauseen ehdot täyttyvät ja siksi on olemassa sellainen kohta , että . Otamme nämä pisteet merkittyinä jakopisteinä . Tällöin tällaisen osion kokonaissumma on yhtä suuri kuin . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n) })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

Yllä oleva todistus on mielenkiintoinen siinä mielessä, että se ei käyttänyt mitään integraalin ominaisuuksia, paitsi sen suoraa määritelmää. Se ei kuitenkaan tarjoa todistetta Newton-Leibnizin kaavasta klassisessa formulaatiossa: tätä varten on lisäksi tarpeen todistaa, että mikä tahansa jatkuva funktio on integroitavissa ja sillä on antiderivaata.

huomautus . Kaavan harkitsematon soveltaminen funktioihin, jotka eivät ole jatkuvia, voi johtaa virheeseen. Esimerkki väärästä laskelmasta:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

vaikka positiivisen funktion integraali ei voi olla negatiivinen.

Virheen syy: funktio ei ole antiderivatiivinen (edes yleistetty) segmentin funktiolle , yksinkertaisesti koska sitä ei ole määritetty nollaksi. Toiminnolla ei ole lainkaan antiderivaattia tässä segmentissä. Lisäksi tämä funktio ei ole myöskään rajoittunut nollan läheisyyteen, joten se ei ole Riemannin integroitavissa. $-{\frac {1}{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $[-1;1]$

Historia

Jo ennen matemaattisen analyysin tuloa Gregory ja Barrow tunsivat tämän lauseen (geometrisessä tai mekaanisessa muotoilussa) . Esimerkiksi Barrow kuvaili tätä tosiasiaa vuonna 1670 neliöinti- ja tangenttitehtävien väliseksi suhteeksi .

Newton muotoili lauseen sanallisesti seuraavasti: "Jotta abskissan jonkin osan vieressä olevalle alueelle saadaan oikea arvo, tämä alue tulisi aina katsoa yhtä suureksi kuin z :n [antiderivaatti] arvojen erotus, joka vastaa abskissan osia. abskissa, jota rajoittaa alueen alku ja loppu."

Leibnizillä ei myöskään ole kirjaa tästä kaavasta sen nykyisessä muodossa, koska määrätyn integraalin merkintä ilmestyi paljon myöhemmin, Fourierissa 1800-luvun alussa.

Modernin muotoilun antoi Lacroix 1800-luvun alussa.

Merkitys

Analyysin peruslause muodostaa yhteyden differentiaali- ja integraalilaskennan välille . Antiderivaatin käsite (ja siten epämääräisen integraalin käsite) määritellään derivaatan käsitteen kautta ja kuuluu siten differentiaalilaskemaan. Toisaalta määrätyn Riemannin integraalin käsite on formalisoitu rajaksi, johon ns. integraalisumma konvergoi. Se on riippumaton derivaatan käsitteestä ja kuuluu toiseen analyysin haaraan - integraalilaskentaan. Newton-Leibnizin kaava antaa meille mahdollisuuden ilmaista määrätty integraali antiderivaalin suhteen.

Lebesgue-integraali

Funktio on summattavan funktion määrittelemätön integraali . Toiminto on täysin jatkuva . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Lause ( Lebesgue ): on ehdottoman jatkuva välillä, jos ja vain jos funktiolla on integroitavissa sellainen, että millä tahansa x :n arvolla välillä a - b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $g$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Tästä lauseesta seuraa, että jos funktio on ehdottoman jatkuva päällä , niin sen derivaatta on olemassa melkein kaikkialla , on integroitavissa ja täyttää yhtälön [1] : $f$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, missä .

x\in[a,b]

Joitakin seurauksia

Tämän lauseen seurauksiksi voidaan nimetä muuttujien muutoksen kaava sekä Lebesguen laajennuslause monotonisille funktioille [1] .

Integrointi osittain

Antaa ja olla ehdottoman jatkuvia funktioita segmentillä . Sitten: $f$ $g$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

Kaava seuraa välittömästi analyysin päälausetta ja Leibnizin sääntöä [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Todellinen ja toiminnallinen analyysi: yliopistokurssi. - M.-Izhevsk: Säännöllisen ja kaoottisen dynamiikan tutkimuskeskus, Computer Research Institute, 2009. - P. 188-197. — 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Kirjallisuus

Demidovich B. P. Osasto 3. Newton-Leibnizin kaava // Kokoelma matemaattisen analyysin ongelmia ja harjoituksia. - 1990. - (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi).
Kamynin L. I. Matemaattinen analyysi. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovski V. A. Polku integraaliin. - M .: Nauka, 1985.