Fermatin suorakulmaisen kolmion lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Fermatin suorakulmainen kolmiolause on lukuteorian olemattomuustodistus , ainoa Pierre Fermatin [1] jättämä täydellinen todistus . Lauseella on useita vastaavia formulaatioita:

Jos kolme neliölukua muodostaa aritmeettisen etenemisen , progression askel ei voi olla neliö.
Ei ole olemassa kahta Pythagoraan kolmoisosaa , joissa yhden kolminon kaksi jalkaa ovat toisen kolminon jalka ja hypotenuusa.
Suorakulmaisen kolmion , jossa kaikkien kolmen sivun pituudet ovat rationaaliluku , pinta-ala ei voi olla yhtä suuri kuin rationaaliluvun neliö. Tällä tavalla määriteltyä aluetta kutsutaan yhteneväiseksi luvuksi , joten mikään yhtenevä luku ei voi olla neliö.
Suorakulmaisella kolmiolla ja neliöllä , joilla on sama pinta-ala, ei voi olla vertailukelpoisia sivuja (arvot ovat suhteellisia, jos näiden määrien osamäärä on rationaalinen luku).
Ainoat rationaaliset pisteet elliptisellä käyrällä ovat kolme triviaalipistettä (0,0), (1,0) ja (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
Diofantiiniyhtälöllä ei ole kokonaisia ratkaisuja. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Välitön seuraus näistä viimeisistä lauseista on Fermatin viimeisen lauseen pätevyys eksponentille . $n = 4$

Sanamuoto

Aritmeettisen progression neliöt

Vuonna 1225 italialaista matemaatikkoa Fibonaccia pyydettiin keksimään tapa muodostaa kolminkertaisia neliöitä , jotka ovat samalla etäisyydellä toisistaan muodostaen aritmeettisen progression [2] . Yksi tapa kuvata Fibonaccin ratkaisua on esittää nämä luvut Pythagoraan kolmion jalkojen, hypotenuusan ja jalkojen summana, jolloin etenemisaskel on yhtä suuri kuin tämän kolmion nelinkertainen pinta-ala [3 ] . Myöhemmässä tätä ongelmaa käsittelevässä työssään, joka julkaistiin Book of Squares -julkaisussa , Fibonacci totesi, että neliöiden aritmeettisen etenemisen askel ei voi olla neliö, mutta se ei antanut tyydyttävää näyttöä tästä tosiasiasta [4] [5 ] ] .

Jos kolme neliötä , ja muodostaisi aritmeettisen progression, jossa askel on myös neliö , niin nämä luvut täyttäisivät diofantiiniyhtälöt $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

ja .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

Tässä tapauksessa Pythagoraan lauseen mukaan ne muodostaisivat kaksi suorakulmaista kolmiota , joiden sivut ovat kokonaislukuja, joissa pari olisi pienemmän kolmion jalka ja hypotenuusa ja sama pari olisi suuremman kolmion haarat. Mutta jos (kuten Fibonacci osoitti) neliöiden aritmeettisessa sarjassa ei ole neliöaskelmaa, ei voi olla kahta suorakulmaista kolmiota, joiden sivut ovat kokonaislukuja, joiden kaksi yhteneväistä sivua on kytketty tällä tavalla [6] . $(d,b)$

Suorakulmaisten kolmioiden alueet

Koska neliöiden etenemisen askel on yhtä suuri kuin Pythagoraan kolmion neljä aluetta, ja kertominen neljällä ei muuta sitä, onko luku neliö, neliöaskeleen olemassaolo aritmeettisessa neliösarjassa vastaa Pythagoraan kolmio, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin kokonaisluvun neliö. Tämä on muunnelma, jota Fermat tarkasteli todistuksessaan ja jossa hän osoitti, että tällaisia kolmioita ei ole olemassa [1] . Fibonacci ei saanut Fermatin tähän tehtävään, vaan Claude Gaspard Bachetin [1] julkaiseman Diophantuksen kirjan lukeminen . Tämä kirja kuvaa erilaisia erityisiä suorakulmaisia kolmioita , joiden pinta-ala liittyy neliöihin, mutta joiden ei ole tarkoitus olla neliöitä [7] .

Muuttamalla yhtälöt kahdelle yllä olevalle Pythagoraan kolmiolle ja sitten kertomalla ne, voimme saada diofantiiniyhtälön

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

joka voidaan yksinkertaistaa

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Sitä vastoin mitä tahansa tämän yhtälön ratkaisua voidaan laajentaa siten, että saamme neliöaskeleen neliöiden aritmeettisessa sarjassa. Näin ollen tämän yhtälön ratkaistavuus vastaa neliöaskeleen olemassaoloa aritmeettisessa neliösarjassa. Mutta jos Fermatin viimeinen lause ei olisi totta eksponentille , niin mikä tahansa vastaesimerkki olisi juuri ne kolme neliötä, jotka täyttävät yhtälön. Siten Fermatin todistuksesta, jonka mukaan ei ole olemassa Pythagoraan kolmiota, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin kokonaisluvun neliö, seuraa, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja siksi (tässä tapauksessa) Fermatin viimeinen lause on tosi [7] . $n = 4$

Saman ongelman toinen muotoilu käyttää yhteneväisiä lukuja , lukuja, jotka ovat rationaalisten sivujen suorakulmion alueita. Kertomalla molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä mikä tahansa kongruenttiluku voidaan muuntaa Pythagoraan kolmion pinta-alaksi, mikä tarkoittaa, että yhtenevät luvut ovat täsmälleen niitä lukuja, jotka saadaan kertomalla aritmeettisen neliösarjan askel neliön neliöllä. rationaalinen luku. Neliöiden aritmeettisessa sarjassa ei siis ole neliöaskelta silloin ja vain, jos luku 1 ei ole kongruentti [8] [9] . Vastaava muotoilu: on mahdotonta, että neliöllä ( geometrinen kuvio ) ja suorakulmaisella kolmiolla on sama pinta-ala ja kaikki sivut ovat pareittain vertailukelpoisia (arvot ovat vertailukelpoisia, jos näiden suureiden osamäärä on rationaalinen luku) [5] .

Elliptinen käyrä

Toinen vastaava Fermatin lauseen muotoilu käyttää elliptistä käyrää , joka koostuu pisteistä, joiden karteesiset koordinaatit täyttävät yhtälön $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Tällä yhtälöllä on ilmeiset ratkaisut (0.0), (1.0) ja (−1.0). Fermatin lause vastaa väitettä, että vain näillä käyrän pisteillä on molemmat rationaaliset koordinaatit [9] [10] .

Fermatin todiste

Eläessään Fermat ehdotti joillekin muille matemaatikoille, että Pythagoraan kolmiota, jonka pinta-ala on neliö, ei ole olemassa, mutta hän ei julkaissut todistetta itse. Hän kuitenkin kirjoitti todistuksen Claude Bachetin julkaiseman Diophantoksen aritmeettisen kirjan marginaaliin, jonka hänen poikansa pian löysi ja julkaisi postuumisti [1] [5] .

Fermatin todistus käyttää äärettömän laskeutumisen menetelmää . Hän osoitti, että mistä tahansa Pythagoraan kolmion esiintymästä, jonka pinta-ala on neliö, voidaan saada sama esiintymä pienemmällä alueella. Koska Pythagoraan kolmioilla on positiivinen kokonaislukualue, eikä positiivisten kokonaislukujen loputonta pienenevää sarjaa ole, ei voi olla Pythagoraan kolmioita, joiden pinta-ala on kokonaisluvun neliö [1] [5] .

Oletetaan, että , Ja ovat kokonaisluku puolin suorakulmainen kolmio, jonka alue on neliö kokonaisluvun. Yhteisillä kertoimilla jakamisen jälkeen voidaan kolmiota pitää yksinkertaisena [5] , ja yksinkertaisten Pythagoraan kolmioiden tunnetuista kaavoista voidaan olettaa , ja , minkä seurauksena ongelma muuttuu koprime - kokonaislukujen ja (joista yksi on jopa), joka on neliö. Neljä lineaarista tekijää , , ja ovat koprime, ja siksi niiden on oltava neliöitä. Anna ja . On tärkeää huomata, että ja , ja niiden on oltava parittomia, koska vain yksi luvuista on joko parillinen ja toinen pariton. Siten ja , Ja ovat parillisia, ja yksi niistä on jaollinen 4:llä. Näistä kahdesta numerosta Fermat saa kaksi muuta numeroa ja , joista yksi on parillinen. Koska se on neliö ja ovat toisen yksinkertaisen Pythagoraan kolmion jalat, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin . Koska itse on neliö, ja koska se on parillinen, se on neliö. Siten mikä tahansa Pythagoraan kolmio, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin kokonaisluvun neliö, johtaa pienempään Pythagoraan kolmioon, jonka pinta-ala on neliö, mikä täydentää todisteen [1] [7] [5] . $x$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $s$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $s$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $s$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$

Linkit

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. Fermatin viimeinen lause: Geneettinen johdatus algebralliseen lukuteoriaan. - M .: Mir, 1980. - S. 24; 1.6 Yksi todistus Fermatista.
↑ Michael John. Matematiikan syntymä: muinaisista ajoista vuoteen 1300. - Infobase Publishing, 2006. - S. 124. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Viihdettä lukuteoriassa: Matematiikan kuningatar viihdyttää. - Courier Corporation, 1964. - s. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Øysteinin malmi. Numeroteoria ja sen historia. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. Numeroteorian historia. - American Mathematical Society, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ Joshua Cooper, Chris Poirel. Pythagoraan osion säännöllisyys ja tilatut kolminkertaiset järjestelmät summa-ominaisuuden kanssa. - 2008. - T. 0809 . - S. 3478 . - . - arXiv : 0809.3478 .
↑ 1 2 3 John Stillwell. numerot ja geometria. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Matematiikan perustutkintotekstit). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrad. Yhteensopiva lukuongelma // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Osa 2 , numero. 2 . — s. 58–73 . Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2013.
↑ 12 Neal Koblitz . Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. - Springer-Verlag, 1984. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Numeroteoria: Fermatin unelma. - American Mathematical Society, 2000. - S. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Ulkoiset linkit

Weisstein, Eric W. Fermat's Right Triangle Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .