Teoria muodonmuutoksista

Deformaatioteoria on matematiikan  haara , joka tutkii äärettömän pieniä ehtoja, jotka liittyvät ratkaisun muuttamiseen hieman erilaiseen ratkaisuun , jossa  on pieni luku tai vektori. Äärettömän pienet ehdot ovat siis tulosta soveltamalla differentiaalilaskennan lähestymistapoja rajaehtojen ongelmien ratkaisemiseen.

Joitakin teoriassa käytettyjä tunnusomaisia ​​tekniikoita ovat: ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden differentiointi käsittelemällä niitä suureina, joilla on mitättömän pieni neliö; yksittäisten ratkaisujen mahdollisuus , joissa ratkaisun muuntaminen on mahdotonta tai se ei anna mitään uutta; kysymys on siitä, milloin äärettömän pienet rajaehdot ovat todellisuudessa integroitavissa, eli niiden ratkaisut sallivat pienet vaihtelut. Tavalla tai toisella nämä ideat ovat olleet matematiikassa ja fysiikassa tunnettuja vuosisatoja. Esimerkiksi lukugeometriassa tunnetaan eristyslauseina tunnettu tulosluokka , jossa on topologinen tulkinta avoimesta radasta ( ryhmätoiminnasta ) tietyn ratkaisun ympärillä. Häiriöteoria kuvaa myös muodonmuutoksia – operaattoreiden muodonmuutoksia .

Monimutkaisten jakoputkien muodonmuutokset

Erinomaisin[ selventää ] muodonmuutosteorioista on teoria kompleksisten ja algebrallisten lajikkeiden muodonmuutoksista . Se asetettiin vakaalle pohjalle Kunihiko Kodairan ja Donald Spencerin uraauurtavilla töillä sen jälkeen, kun muodonmuutostekniikka oli onnistunut saavuttamaan Italian algebrallisen geometrian koulukunnan vieläkin hämärämmän kokemuksen . Intuitiivisesti olisi luonnollista odottaa ensimmäisen kertaluvun muodonmuutosten vastaavan moduuliavaruuden tangenttia Zariski - avaruutta . Yleisesti ottaen tilanne on paljon hienovaraisempi.

Monimutkaisten käyrien tapauksessa voidaan ymmärtää, että Riemannin pallolla oleva kompleksirakenne on eristetty (ei moduuleja), kun taas suvulla 1 elliptisellä käyrällä on yhden parametrin monimutkaisten rakenteiden perhe, kuten elliptisten rakenteiden teoria osoittaa . toiminnot . Kodaira-Spencerin yleinen teoria määrittelee pyöreiden kohomologiaryhmän avaimeksi muodonmuutosteoriaan

H 1 (Θ)

missä Θ on holomorfisen tangenttikimmun leikkausalkioiden nippu . Saman säteen H 2 : ssa on este ; jotka mittasyistä ovat nollia käyrien osalta. Suvun 0 tapauksessa H 1 myös katoaa. Suvulle 1 ulottuvuus on yhtä suuri kuin Hodge-luku h 1.0 , joka on vastaavasti 1. Kuten tiedetään, kaikilla suvun 1 käyrillä on yhtälö muotoa y 2 = x 3 + ax + b . Ne tietysti riippuvat kahdesta parametrista, a ja b, kun taas tällaisten käyrien isomorfismiluokat ovat vain yhden parametrin. Näin ollen on oltava yhtälö, joka yhdistää nämä samat a ja b, joka kuvaa elliptisten käyrien isomorfismiluokat. Osoittautuu, että käyrät, joille b 2 a −3 ovat samat, kuvaavat isomorfisia käyriä, eli a:n ja b:n muuttaminen on yksi tapa muuttaa käyrän rakennetta y 2 = x 3 + ax + b , mutta eivät kaikki a: n, b :n muunnelmat itse asiassa muuttavat käyrän isomorfismiluokkaa.

Voidaan mennä pidemmälle, kun otetaan huomioon suvun g > 1 tapaus, käyttämällä Serren kaksinaisuutta yhdistämään H 1 :

H 0 (Ω [2] ),

missä Ω on kotangenttikimmun holomorfisten osien alkioiden nippu ja merkintä Ω [2] tarkoittaa tensorineliötä ( eikä toista ulkopotenssia , kuten voisi luulla). Toisin sanoen muodonmuutoksia ohjataan neliöllisillä differentiaaleilla monimutkaisella käyrällä, mikä on jälleen jotain klassista. Moduuliavaruuden, jota tässä tapauksessa kutsutaan Teichmüller-avaruudeksi , mitta on Riemannin-Rochin lauseen mukaan 3 g − 3 .

Nämä esimerkit hahmottelevat teorian alkua, jota voidaan soveltaa mielivaltaisen ulottuvuuden omaavien monimutkaisten monimuotoisten holomorfisiin perheisiin. Sen jatkokehitys sisältää näiden tekniikoiden siirtämisen muihin differentiaalisiin geometrisiin rakenteisiin, Grothendieckin Kodaira-Spencerin teorian mukauttamisen abstraktiin algebralliseen geometriaan ja myöhemmin aiempien rakenteiden selventämiseen sekä teorian muiden rakenteiden, kuten algebroiden, muodonmuutoksista.

Suhde merkkijonoteoriaan

Algebroiden (ja Hochschild-kohomologian ) yhteydessä syntynyt ns. Delignen arvelu on herättänyt kiinnostusta muodonmuutosteoriaa kohtaan merkkijonoteorian valossa (karkeasti ottaen formalisoida ajatus, että merkkijonoteoriaa voidaan pitää pistehiukkasteorian muodonmuutoksena ). Nyt se katsotaan todistetuksi. Muun muassa Maxim Kontsevich tarjosi yleisesti hyväksytyn todisteen tästä tosiasiasta .

Muistiinpanot

Linkit