Kenttäteoria

Kenttäteoria on matematiikan  haara , joka tutkii kenttien ominaisuuksia , eli rakenteita, jotka yleistävät lukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja .

Historia

• Niels Abel ja Évariste Galois käyttivät 1820- ja 1830-luvuilla implisiittisesti kentän käsitettä töissään yhtälöiden ratkeavuudesta radikaaleissa.
• Vuonna 1871 Richard Dedekind kutsui "kenttään" todellisten tai kompleksilukujen osajoukkoa, joka on suljettu neljällä matemaattisella operaatiolla.
• Vuonna 1881 Leopold Kronecker tutki algebrallisten lukukenttien ominaisuuksia ja kutsui niitä "rationaalisuuden alueiksi".
• Vuonna 1893 Heinrich Weber antoi ensimmäisen selkeän määritelmän abstraktista kentästä.
• Vuonna 1910 Ernst Steinitz julkaisi kuuluisan teoksen Algebraische Theorie der Körper ( saksa : Algebraic Field Theory), jossa hän kehitti aksiomaattisen kenttäteorian ja ehdotti monia tärkeitä käsitteitä, kuten prime-kenttä , täydellinen kenttä ja kentän transsendenssin aste. kentän laajennus .

Kentän kommutatiivisuus

Ensimmäiset kentän määritelmät eivät sisältäneet vaatimusta kertolaskujen kommutatiivisuudesta, mutta nykyaikainen termi "kenttä" viittaa aina siihen, että se on kommutatiivinen. Rakennetta, joka täyttää kaikki kentän ominaisuudet kertolaskua kommutatiivisuutta lukuun ottamatta, kutsutaan venäläisessä perinteessä kappaleeksi . Kuitenkin saksaksi kenttä on nimeltään Körper (siksi kirjainta käytetään usein kuvaamaan kenttää), ja ranskaksi - corps , joka tarkoittaa myös "kehoa".

Kenttäteorian sovellukset

Kentän käsitettä käytetään esimerkiksi vektoriavaruuden määrittelyssä , ja siksi sillä on suuri merkitys lineaarialgebrassa . Samoin algebrallinen muunnelma , algebrallisen geometrian  pääasiallinen tutkimuskohde  , määritellään mielivaltaisen kentän yli. Algebrallinen lukuteoria käsittelee algebrallisten lukukenttien ja niiden kokonaislukurenkaiden ominaisuuksien tutkimusta; ja tietysti käyttää klassisen kenttäteorian tuloksia.

Äärillisiä kenttiä käytetään lukuteoriassa ja koodausteoriassa . Erityisesti ominaisuuden 2 alat ovat hyödyllisiä tietotekniikassa .

Hyödyllisiä lauseita

• Primitiivisen elementin lause
• Wedderburnin pieni lause
• Galois'n teorian peruslause

Katso myös

• Galois'n teoria

Muistiinpanot

• Allenby, R. B. J. T. Sormukset, kentät ja ryhmät  (määrittämätön) . - Butterworth-Heinemann, 1991.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Ryhmät, renkaat ja kentät : Algebra käytännön kautta, kirja 3  . - Cambridge University Press , 1985.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Renkaat, kentät ja moduulit: Algebra käytännön kautta, kirja  6 . - Cambridge University Press , 1985.