Kenttä (algebra)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Kenttä yleisalgebrassa on joukko , jonka elementeille on määritelty yhteenlasku- , vastakkaisen arvon , kerto- ja jakooperaatiot (paitsi nollalla jako ) , ja näiden operaatioiden ominaisuudet ovat lähellä tavallisten numeeristen operaatioiden ominaisuuksia . Yksinkertaisin kenttä on rationaalilukujen (murtolukujen) kenttä. Kentän elementit eivät välttämättä ole numeroita, joten vaikka kenttäoperaatioiden nimet on otettu aritmetiikasta , operaatioiden määritelmät voivat olla kaukana aritmeettisista.

Ala on kenttäteorian pääaine . Rationaaliset , reaaliluvut , kompleksiluvut , rationaaliset funktiot [1] ja jäännökset moduloivat tietyn alkuluvun kenttiä .

Historia

Kenttäkäsitteen puitteissa Galois työskenteli implisiittisesti vuonna 1830 käyttämällä kentän algebrallisen laajennuksen ideaa , ja hän onnistui löytämään välttämättömän ja riittävän ehdon yhden muuttujan yhtälön ratkaisemiselle radikaaleja . Myöhemmin Galois'n teorian avulla todistettiin mahdottomuus ratkaista sellaisia klassisia ongelmia kuin ympyrän neliöinti , kulman kolminleikkaus ja kuution kaksinkertaistaminen .

Yksinomainen kenttäkäsitteen määritelmä johtuu Dedekindistä (1871), joka käytti saksankielistä termiä Körper (body). Termi "field" ( englanniksi field ) otti käyttöön vuonna 1893 amerikkalainen matemaatikko Eliakim Hastings Moore [2] .

Kenttä on lähimpänä tavallisia lukuja yleisistä algebrallisista abstraktioista, joten sitä käytetään lineaarialgebrassa rakenteena, joka universaalisoi skalaarin käsitteen , ja lineaarisen algebran päärakenne, lineaariavaruus , määritellään konstruktioksi mielivaltaisen luvun yli. ala. Lisäksi kenttäteoria muodostaa suurelta osin instrumentaalisen perustan sellaisille osille kuin algebrallinen geometria ja algebrallinen lukuteoria .

Muodolliset määritelmät

Muodollisesti kenttä on joukon yläpuolella oleva algebra, joka muodostaa kommutatiivisen ryhmän yhteenlaskemalla neutraalilla elementillä ja kommutatiivisen ryhmän kertomalla nollasta poikkeavien elementtien päälle , ja jolla on kertolaskuominaisuus suhteessa yhteenlaskuun. $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Jos määritelmää laajennetaan, niin joukkoa , johon on esitelty algebralliset yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ( , eli ), kutsutaan kentällä, jos seuraavat aksioomit ovat tosia: $F$ $+$ $*$ $+\kaksoispiste F\kertaa F\-F,\neliö *\kaksoispiste F\kertaa F\-F$ $\kaikki a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Lisäyksen kommutatiivisuus: . $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
Lisäysassosiatiivisuus: . $\kaikki a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Nollaelementin olemassaolo: . $\olemassa {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Vastakkaisen elementin olemassaolo: . $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0))$
Kertomisen kommutatiivisuus: . $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
Kertomisen assosiatiivisuus: . $\kaikki a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Yhden elementin olemassaolo: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Käänteisen alkion olemassaolo nollasta poikkeaville elementeille: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\olemassa a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Aksioomat 1-4 vastaavat kommutatiivisen ryhmän määritelmää summauksen yli ; aksioomit 5-8 vastaavat kommutatiivisen ryhmän määritelmää kertomalla ; aksiooma 9 yhdistää yhteen- ja kertolaskuoperaatiot distributiivisella lailla. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Aksioomit 1-7 ja 9 ovat kommutatiivisen renkaan määritelmiä, joilla on identiteetti.

Kaikki edellä mainitut aksioomit, lukuun ottamatta kertolaskua, vastaavat myös kappaleen määritelmää .

Muiden rakenteiden yhteydessä (historiallisesti syntyneet myöhemmin) kenttä voidaan määritellä kommutatiiviseksi renkaaksi , joka on jakorengas . Rakennehierarkia on seuraava:

Kommutatiiviset renkaat ⊃ Eheysalueet ⊃ Faktoriaaliset renkaat ⊃ Pääasialliset ideaalialueet ⊃ Euklidiset renkaat ⊃ Kentät.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kenttien yli esitellään perusalgebralliset perusmääritykset luonnollisella tavalla: alikenttä on osajoukko, joka on itse kenttä pääkentästä siihen kohdistuvien operaatioiden rajoituksen suhteen, ja laajennus on kenttä, joka sisältää annetun alikenttä.

Kenttähomomorfismi esitellään myös luonnollisella tavalla: kartoituksena siten, että , ja . Erityisesti mikään homomorfismin alainen käännettävä elementti ei voi mennä nollaan, koska siksi minkä tahansa kenttähomomorfismin ydin on nolla, eli kenttähomomorfismi on upotus . $f$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

Kentän ominaisuus on sama kuin renkaan ominaisuus : pienin positiivinen kokonaisluku siten, että yhden kopioiden summa on nolla: $n$ $n$

\alleviivaus {1+\pisteet +1} _{n}=n1=0.

Jos tällaista lukua ei ole, ominaisuuden katsotaan olevan nolla. Ominaisuuden määrittämisongelma ratkaistaan yleensä käyttämällä yksinkertaisen kentän käsitettä - kenttä, joka ei sisällä omia osakenttiään, koska mikä tahansa kenttä sisältää täsmälleen yhden yksinkertaisista kentistä.

Galois -kentät ovat kenttiä, jotka koostuvat äärellisestä määrästä elementtejä. Nimetty heidän ensimmäisen tutkimusmatkailijansa Évariste Galoisin mukaan .

Ominaisuudet

Kentän ominaisuus on aina tai alkuluku . $0$
- Ominaisuuskenttä sisältää alikentän , joka on
isomorfinen rationaalisten lukujen kentän kanssa . $0$ $\mathbb {Q}$
Yksinkertaisen ominaisuuden kenttä sisältää jäännöskentän kanssa isomorfisen alikentän . $s$ $\mathbb {Z} _{p}$

Elementtien lukumäärä äärellisessä kentässä on aina yhtä suuri kuin alkuluvun potenssi.

p^{n}

Lisäksi mille tahansa muodon numerolle on olemassa ainutlaatuinen ( isomorfismiin asti ) elementtikenttä, jota yleensä merkitään . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Kentässä ei ole nollan jakajia .

Mikä tahansa multiplikatiivisen kenttäryhmän äärellinen aliryhmä on syklinen . Erityisesti äärellisen kentän nollasta poikkeavien elementtien kertova ryhmä on isomorfinen .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Algebrallisen geometrian kannalta kentät ovat pisteitä, koska niiden spektri koostuu täsmälleen yhdestä pisteestä - ihanteellinen {0}. Kenttä ei todellakaan sisällä muita oikeita ihanteita : jos nollasta poikkeava elementti kuuluu ihanteeseen, niin sen kaikki kerrannaiset, eli koko kenttä, ovat ideaalissa. Päinvastoin kommutatiivinen rengas , joka ei ole kenttä, sisältää ei-käännettävän (ja nollasta poikkeavan) elementin a . Tällöin a: n generoima pääideaali ei ole sama kuin koko renkaan kanssa ja se sisältyy johonkin maksimaaliseen (ja siksi yksinkertaiseen ) ideaaliin; ja siten tämän renkaan spektri sisältää vähintään kaksi pistettä.

Kenttäesimerkkejä

Ominaisuuskentät, jotka ovat yhtä suuria kuin 0

$\mathbb {Q}$ ovat rationaalisia lukuja ,
$\mathbb {R}$ ovat todellisia lukuja ,
$\mathbb {C}$ ovat kompleksilukuja ,
$\mathbb {A}$ ovat algebrallisia lukuja rationaalisten lukujen kentän päällä (alikenttä kentässä ). $\mathbb {C}$
Muodon , numerot suhteessa tavallisiin yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin. Tämä on yksi esimerkki neliökentästä , joka muodostaa alikentän kentässä . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ on muodon rationaalisten funktioiden kenttä , jossa ja ovat polynomeja jonkin ominaisuuden 0 kentässä (tässä tapauksessa , , , ja niillä ei ole yhteisiä jakajia vakioita lukuun ottamatta). $f(x)/g(x)$ $f$ $g$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $f$ $g$

Nollasta poikkeavan ominaisuuden kentät

Millä tahansa äärellisellä kentällä on jokin muu ominaisuus kuin nolla. Esimerkkejä viimeisistä kentistä:

$\mathbb {Z} _{p}$ on jäännösten kenttä modulo , jossa on alkuluku. $s$ $s$
$\mathbb {F} _{q}$ on alkioiden äärellinen kenttä , jossa on alkuluku, on luonnollinen luku. Kaikilla äärellisillä kentillä on tämä muoto. $q=p^{k}$ $s$ $k$

On esimerkkejä äärettömistä kentistä, joiden ominaisuus ei ole nolla.

Katso myös

Algebrallisesti suljettu kenttä

Muistiinpanot

↑ Lev Dmitrievich Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1
↑ Joidenkin matematiikan sanojen varhaisimmat tunnetut käyttötavat (F) . Haettu 28. syyskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Osa 2. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. - M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1968. - 564 s.
P. Aluffi. Luku VII // Algebra: Luku 0. - American Mathematical Society, 2009 . - (Matematiikan jatko-opinnot). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Kenttä // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa) Brockhaus