Feuerbachin piste (Feuerbachin lause ) on piirretyn ympyrän tangenttipiste kolmion yhdeksän pisteen ympyrään . Feuerbach-piste on kolmion tangenttipiste, mikä tarkoittaa, että sen määritelmä ei riipu kolmion sijainnista ja koosta. Piste sisältyy koodiin X(11) Clark Kimberlingin Encyclopedia of Triangle Centersissä ja nimetty Karl Wilhelm Feuerbachin mukaan [1] [2] .
Feuerbachin lause sanoo, että yhdeksän pisteen ympyrä koskettaa kolmion kolmea ulkopiiriä sekä sen piirrettyä ympyrää [3] . Julkaisija Feuerbach vuonna 1822 [4] . Tämän lauseen hyvin lyhyt todistus perustuu Caseyn lauseeseen neljän ympyrän ulkoisista tangenteista, jotka eivät leikkaa toisiaan ja kosketa viidettä ympyrää ollessaan sen sisällä [5] . Feuerbachin lausetta käytettiin myös automaattisen todistuksen testitapauksena [6] . Ulkopiirien kolme tangenttipistettä muodostavat annetun kolmion ns. Feuerbachin kolmion.
Kolmion ABC piirretty ympyrä on ympyrä , joka tangentti kolmion kaikkia kolmea sivua. Sen keskipiste on kolmion kolmen puolittajan leikkauspiste.
Yhdeksän pisteen ympyrä on määritelty kolmiolle ja sitä kutsutaan sellaiseksi, koska se kulkee kolmion yhdeksän merkittävän pisteen läpi, joista kolmion sivujen keskipisteet ovat rakenteeltaan yksinkertaisimpia. Yhdeksän pisteen ympyrä kulkee näiden kolmen sivujen keskipisteen läpi. Siten se on mediaanikolmion rajattu ympyrä .
Nämä kaksi ympyrää kohtaavat samassa kohdassa, jossa ne koskettavat toisiaan. Tämä tangenttipiste on kolmion Feuerbach-piste .
Kolmion piirretyn ympyrän lisäksi siihen liittyy kolme muuta excircles -merkkiä . Nämä ovat ympyröitä, jotka koskettavat kolmion sivujen kolmea jatketta. Kukin ulkoympyrä tangentti kolmion toiselle sivulle ulkopuolelta ja toisten sivujen kahdelle jatkeelle. Kuten piirretty ympyrä, excirclet ovat tangentti yhdeksän pisteen ympyrän kanssa. Niiden kosketuspisteet yhdeksän pisteen ympyrän kanssa muodostavat Feuerbachin kolmion.
Feuerbachin piste sijaitsee suoralla viivalla, joka kulkee tämän pisteen määrittävien ympyröiden keskusten läpi . Nämä keskipisteet ovat piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste [1] [2] .
Olkoon , ja kolme etäisyyttä Feuerbach-pisteestä keskimmäisen kolmion kärkipisteisiin (alkuperäisen kolmion sivujen BC=a, CA=b ja AB=c keskipisteet). Sitten: [7] [8]
tai vastaavasti suurin kolmesta etäisyydestä on yhtä suuri kuin kahden muun summa.
Erityisesti meillä on
missä O on kolmion ympyrän keskipiste ja I sen ympyrän keskipiste [9] .
Viimeinen ominaisuus pätee myös yhdeksän pisteen ympyrän ulkopiirteiden tangenttipisteisiin: suurin etäisyys tästä tangenttipisteestä alkuperäisen kolmion sivun keskipisteeseen on yhtä suuri kuin kahden muun keskipisteen etäisyyksien summa. sivuilta [8] .
Jos kolmioon ABC piirretty ympyrä koskettaa sivuja BC, CA, AB pisteissä X , Y ja Z , ja näiden sivujen keskipisteet ovat pisteet P , Q ja R , niin kolmiot FPX , FQY ja FRZ Feuerbachin pisteen F kanssa ovat samanlaisia . kolmioihin AOI, BOI , COI [10 ] .
Feuerbachin lauseesta seuraa, että Feuerbachin piste sijaitsee ympyröillä, jotka on rajattu noin:
Feuerbachin piste tietylle piirretylle tai excirclelle (kolmen tangentin ympyrä englanniksi. Tritangent circle ) on 2 Simson-viivan leikkauspiste , jotka on rakennettu piirretyn ympyrän halkaisijan päille, jotka kulkevat piirretyn tai excirclen vastaavan keskipisteen kautta. Siten Feuerbachin piste voidaan rakentaa käyttämättä vastaavaa sisään- tai ulkoympyrää ja sille tangenttia Eulerin ympyrää [12] .
Englanninkielisessä kirjallisuudessa 4 neljän ympyrän keskustaa: 1 piirretty ja 3 ulkoympyrää , joiden keskipisteet koskettavat vastaavasti kolmion 3 eri sivua tai niiden jatketta, kutsutaan 4 kolmion kolmiokeskipisteeksi (eng. the tritangent centers ) [13] .
Tämä huomautus on tärkeä seuraavan väittämän kannalta: " Kolmion Feuerbach-pisteet ovat tietyn kolmion ortopoleja , jos vastaavien kolmen tangentin keskipisteiden läpi kulkevan rajatun ympyrän halkaisijat otetaan näiden ortopolien linjoiksi ℓ " [14] .
Feuerbach-pisteen kolmiviivaiset koordinaatit ovat: [2]
Sen barysentriset koordinaatit ovat: [8]
missä s on kolmion puolikehä ( a+b+c)/2.
Kolme suoraa alkuperäisen kolmion huipuista Feuerbachin kolmion vastaavien kärkien kautta leikkaavat toisessa merkittävässä kolmion pisteessä, joka on listattu numerolla X(12) Encyclopedia of Remarkable Points of a Triangle -kirjassa.
Sen trilineaariset koordinaatit ovat [2] :