Kolmionmuotoinen kvanttikuivo on yksi kvanttimekaniikan yksinkertaisista potentiaaliprofiileista , mikä mahdollistaa tarkan ratkaisun varauksenkuljettajan energiatasojen ja aaltofunktioiden löytämisen ongelmaan .
Yksiulotteista kolmiomaista potentiaalikaivoa rajoittaa toiselta puolelta äärettömän korkea potentiaaliseinä ( at ) ja toisaalta äärettömän korkea kalteva potentiaalieste kohdassa . Tällainen potentiaalienergia vastaa tasaista kenttää, joka vaikuttaa hiukkaseen voimalla [1] . Esimerkkejä tällaisista kentistä ovat tasainen sähkökenttä ( on hiukkasen varaus, on sähkökentän voimakkuus ) [2] ja gravitaatiokenttä ( on hiukkasen massa, on painovoiman kiihtyvyys ) [3] .
Schrödingerin yhtälö ja sen reunaehdot tässä yksiulotteisessa tapauksessa voidaan kirjoittaa muodossa [1] :
Tässä on hiukkasen tehollinen massa , on alennettu Planck-vakio ja ovat hiukkasen haluttu energia- ja aaltofunktio .
Tarkastelun yksinkertaistamiseksi otetaan käyttöön dimensioton muuttuja [1]
missäSitten Schrödingerin yhtälö on Airy-yhtälön muodossa :
Tämän yhtälön ratkaisulla, joka täyttää ehdon, on muoto:
missä on 1. tyyppinen Airy-funktio , määritellään seuraavasti:
Hiukkasten energian ominaisarvot ( ) kolmiomaisessa kaivossa määritetään ensimmäisestä rajaehdosta
missä ovat Airy-funktion nollat. Ensimmäiset viisi nollaa ovat suunnilleen yhtä suuret: , , , , . Airy-funktioiden suuret nollat määritetään lausekkeella:
Vakioiden arvot löytyvät aaltofunktion normalisointiehdosta [4]
.Integraalin laskeminen [5]
löytö
missä on Airy-funktion derivaatta. Tämän seurauksena löydämme kolmiopotentiaalin aaltofunktiot ja diskreetin energiaspektrin muodossa:
Funktiot ovat ortogonaalisia [6] :
osoitteessa . Tarkasteltavalle kaivolle ei ole "leveyden" käsitettä, koska aaltofunktiot voivat olla nollasta poikkeavia mielivaltaisen suurelle . Klassisesti käytettävissä olevan ( ) alueen leveys saadaan ehdosta
ja on
Käsiteltävä ongelma on saavuttanut merkityksensä tutkimuksissa kaksiulotteisista elektronikaasujärjestelmistä käänteiskerroksissa lähellä dielektri-puolijohderajapintoja. Vaikka tällaisissa järjestelmissä johtavuuskaistaprofiili puolijohteessa on monimutkaisempi kuin lineaarinen ja johtavuuskaistan epäjatkuvuus heterorajapinnassa ei ole ääretön, heti tämän rajan lähellä kaivoa pidetään suunnilleen kolmion muotoisena ja kaistan epäjatkuvuus on riittävän suuri.
Kvanttimekaniikan mallit | |
---|---|
Yksiulotteinen ilman pyöritystä | vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa |
Moniulotteinen ilman spiniä | pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali |
Mukaan lukien spin | vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi |