Kolmiomainen kvanttikuivo

Kolmionmuotoinen kvanttikuivo on yksi kvanttimekaniikan yksinkertaisista potentiaaliprofiileista , mikä mahdollistaa tarkan ratkaisun varauksenkuljettajan energiatasojen ja aaltofunktioiden löytämisen ongelmaan .

Yksiulotteista kolmiomaista potentiaalikaivoa rajoittaa toiselta puolelta äärettömän korkea potentiaaliseinä ( at ) ja toisaalta äärettömän korkea kalteva potentiaalieste kohdassa . Tällainen potentiaalienergia vastaa tasaista kenttää, joka vaikuttaa hiukkaseen voimalla [1] . Esimerkkejä tällaisista kentistä ovat tasainen sähkökenttä ( on hiukkasen varaus, on sähkökentän voimakkuus ) [2] ja gravitaatiokenttä ( on hiukkasen massa, on painovoiman kiihtyvyys ) $U(x)\rightarrow +\infty$ $-\infty <x\leqslant 0$ $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ $0<x<+\infty$ $U(x)$ $-F=dU/dx$ $U\left(x\right)=q\mathrm {E} _{el}x\geq 0$ $q$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{el))$ $U\left(x\right)=mgx$ $m$ $g$ [3] .

Ratkaisu

Schrödingerin yhtälö ja sen reunaehdot tässä yksiulotteisessa tapauksessa voidaan kirjoittaa muodossa [1] :

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m^{*}}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx) \psi =0\,,

\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.

Tässä on hiukkasen tehollinen massa , on alennettu Planck-vakio ja ovat hiukkasen haluttu energia- ja aaltofunktio . $m^{*}$ $\hbar$ $E$ $\psi$

Tarkastelun yksinkertaistamiseksi otetaan käyttöön dimensioton muuttuja [1]

\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F}}\right),

missä

\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\oikea)^{1/3}

Sitten Schrödingerin yhtälö on Airy-yhtälön muodossa :

\psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,.

Tämän yhtälön ratkaisulla, joka täyttää ehdon, on muoto: $\psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0$

\psi (\xi )=CAi(\xi )\,,

missä on 1. tyyppinen Airy-funktio , määritellään seuraavasti: $AI$

Ai(\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^ {3}}{3}}+u\xi }\right)\,du\,.

Hiukkasten energian ominaisarvot ( ) kolmiomaisessa kaivossa määritetään ensimmäisestä rajaehdosta ${\displaystyle E=E_{n))$ $n=1,\,\,2,..$

\psi (x=0)=\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\, ,

missä ovat Airy-funktion nollat. Ensimmäiset viisi nollaa ovat suunnilleen yhtä suuret: , , , , . Airy-funktioiden suuret nollat määritetään lausekkeella: $\xi _{n}=-a_{n}$ $a_{1}=2,33810741$ $a_{2}=4,08794944$ $a_{3}=5,52055983$ $a_{4}=6,78670809$ $a_{5}=7,94413359$ $n\gg 1$

a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2 /3}\,.

Vakioiden arvot löytyvät aaltofunktion normalisointiehdosta [4] $C_{n}$

\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1

Integraalin laskeminen [5]

{\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty } {d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\oikea]_ {\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i }'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aligned}}

löytö

{{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right))),

missä on Airy-funktion derivaatta. Tämän seurauksena löydämme kolmiopotentiaalin aaltofunktiot ja diskreetin energiaspektrin muodossa: $Ai'(\xi )$

{{\psi }_{n}}\left(x\right)={\frac {{\alpha }^{1/2}}{A{i}'\left(-{{a} _{n}}\right)}}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right);

E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m^{*} }}.

Funktiot ovat ortogonaalisia [6] : $\psi _{n}(x)$

${\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n} }{{C}_{m))}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\times \left[A{i} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left. Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x =0}^{\infty }=0\\\end{aligned}}$

osoitteessa . Tarkasteltavalle kaivolle ei ole "leveyden" käsitettä, koska aaltofunktiot voivat olla nollasta poikkeavia mielivaltaisen suurelle . Klassisesti käytettävissä olevan ( ) alueen leveys saadaan ehdosta $n\neq m$ $x$ $E>U(x)$

U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}

ja on

x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.

Tulosten soveltaminen

Käsiteltävä ongelma on saavuttanut merkityksensä tutkimuksissa kaksiulotteisista elektronikaasujärjestelmistä käänteiskerroksissa lähellä dielektri-puolijohderajapintoja. Vaikka tällaisissa järjestelmissä johtavuuskaistaprofiili puolijohteessa on monimutkaisempi kuin lineaarinen ja johtavuuskaistan epäjatkuvuus heterorajapinnassa ei ole ääretön, heti tämän rajan lähellä kaivoa pidetään suunnilleen kolmion muotoisena ja kaistan epäjatkuvuus on riittävän suuri.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M. Luku III. Kohta 25. Liikkuminen homogeenisessa kentässä. // Kvanttimekaniikka. Ei-relativistinen teoria . - Moskova: Nauka, 1989. - S. 100. - 768 s. - ISBN 5-02-014421-5 . (Venäjän kieli)
↑ V. N. Neverov, A. N. Titov. Osa 1. Luku 1. 1.4. Matalaulotteisten järjestelmien tyypit. // Pieniulotteisten järjestelmien fysiikka . — Jekaterinburg: valtion korkea-ammatillinen koulutuslaitos "Ural State University. A. M. Gorki", 2008. - S. 17. - 232 s.
↑ Z. Flügge. Tehtävä 40. Vapaa pudotus lähellä maan pintaa // Kvanttimekaniikan ongelmia / toim. A. A. Sokolova. - Moskova: Mir, 1974. - T. 1. - S. 100. - 340 s. (Venäjän kieli)
↑ Landau L. D., Lifshitz I. M. Luku 1. Kvanttimekaniikan peruskäsitteet // Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Moskova: Tiede. Ch. toim. fysiikka ja matematiikka lit., 1989. - T. 3. - S. 20. - 768 s. - ISBN 5-02-014421-5 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Osa 8. Sovellukset kvanttifysiikkaan // AIRY FUNCTIONS TO APPLICATIONS TO FYSIIKAN (englanniksi) . - Lontoo: Imperial College Press, 2004. - S. 139. - 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Osa 3. Ilmaisten funktioiden primitiivit ja integraalit // AIRY FUNCTIONS JA FYSIIKAN SOVELLUKSET (englanniksi) . - Lontoo: Imperial College Press, 2004. - S. 47. - 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 .

Kirjallisuus

Ando T., Fowler A, Stern F. Kaksiulotteisten järjestelmien elektroniset ominaisuudet. Per. englannista. - M .: Mir, 1985. - 416 s.
Landau L.D., Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - 6. painos, tarkistettu. - M .: Fizmatlit , 2004 . – 800 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III). — ISBN 5-9221-0530-2 .

Linkki

Kolmiomainen kaivo

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi