Butterworth suodatin

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Butterworth-suodatin on yksi elektronisten suodattimien tyypeistä . Tämän luokan suodattimet eroavat muista suunnittelutavan suhteen. Butterworth - suodatin on suunniteltu siten , että sen taajuusvaste on mahdollisimman tasainen päästökaistataajuuksilla .

Tällaisia suodattimia kuvasi ensimmäisenä brittiläinen insinööri Stephen Butterworth.artikkelissa " On the Theory of Filter Amplifiers " , Wireless Engineer -lehdessä vuonna 1930 .

Yleiskatsaus

Butterworth-suodattimen taajuusvaste on mahdollisimman tasainen päästökaistataajuuksilla ja putoaa lähes nollaan vaimennustaajuuksilla. Kun Butterworth-suodattimen taajuusvaste näytetään logaritmisella vaihevasteella , amplitudi pienenee kohti miinus ääretöntä rajataajuuksilla. Ensimmäisen asteen suodattimen tapauksessa taajuusvaste vaimenee -6 desibelin jyrkkyydellä oktaavia kohden (-20 desibeliä per vuosikymmentä ) (itse asiassa kaikki ensimmäisen asteen suodattimet ovat tyypistä riippumatta identtisiä ja niillä on sama taajuusvaste ). Toisen asteen Butterworth-suotimessa taajuusvastetta vaimennetaan -12 dB per oktaavi, kolmannen asteen suodattimen -18 dB ja niin edelleen. Butterworth-suodattimen taajuusvaste on monotonisesti laskeva taajuuden funktio.

Butterworth-suodatin on ainoa suodatin, joka säilyttää taajuusvasteen muodon korkeammille tilauksille (lukuun ottamatta jyrkempää poistumista hylkäyskaistalla), kun taas monilla muilla suodatinvaihtoehdoilla ( Bessel -suodatin , Chebyshev-suodatin , elliptinen suodatin ) on erilainen muoto . taajuusvasteesta eri järjestyksessä.

Verrattuna Chebyshev Typen I- ja II -suodattimiin tai elliptiseen suodattimeen, Butterworth-suodattimella on tasaisempi rullaus, ja siksi sen on oltava korkeampi (mitä on vaikeampi toteuttaa), jotta haluttu vaste saadaan rajataajuuksilla. Butterworth-suodattimella on kuitenkin lineaarisempi vaihevaste päästökaistataajuuksilla.

Kuten kaikissa suodattimissa, taajuusominaisuuksia tarkasteltaessa käytetään alipäästösuodatinta , josta voidaan helposti saada ylipäästösuodatin , kaistanpäästösuodatin tai lovisuodatin .

Kolmannen kertaluvun Butterworth-suodattimen taajuusvaste saadaan siirtofunktiosta : $G(\omega)$ $n$ $H(t)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

missä

$n$ - suodatinjärjestys
$\omega_{c}$ - rajataajuus (taajuus, jolla amplitudi on -3 dB)
$G_{0}$ - DC-vahvistus (vahvistus nollataajuudella)

On helppo nähdä, että äärettömillä arvoilla taajuusvaste muuttuu suorakaiteen muotoiseksi funktioksi, ja rajataajuuden alapuolella olevat taajuudet kulkevat läpi vahvistuksella , kun taas rajataajuuden yläpuolella olevat taajuudet vaimentuvat kokonaan. Äärillisillä arvoilla ominaisuuden vaimeneminen on lievää. $n$ $G_{0}$ $n$

Formaalin substituution avulla esitämme lausekkeen muodossa : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ ${\displaystyle |H(\omega )|^{2))$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\oikea)^{n}}}

Siirtofunktion navat sijaitsevat ympyrässä, jonka säde on yhtä kaukana toisistaan vasemmassa puolitasossa. Toisin sanoen Butterworth-suodattimen siirtofunktio voidaan määrittää vain määrittämällä sen siirtofunktion navat s-tason vasemmassa puolitasossa . -th napa määritetään seuraavasta lausekkeesta: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

missä

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n))\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Siirtofunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c))))

Samanlaiset näkökohdat koskevat digitaalisia Butterworth-suodattimia, sillä ainoalla erolla, että suhteita ei kirjoiteta s - tasolle, vaan z - tasolle .

Tämän siirtofunktion nimittäjää kutsutaan Butterworthin polynomiksi.

Normalisoidut Butterworth-polynomit

Butterworth-polynomit voidaan kirjoittaa kompleksiseen muotoon, kuten yllä on esitetty, mutta ne kirjoitetaan yleensä suhteina todellisilla kertoimilla (kompleksiset konjugaattiparit yhdistetään kertolaskulla). Polynomit normalisoidaan rajataajuudella: . Normalisoiduilla Butterworth-polynomeilla on siis seuraava kanoninen muoto: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\) frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - jopa

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - outoa

n

Alla on Butterworth-polynomien kertoimet kahdeksalle ensimmäiselle järjestykselle:

$n$	Polynomikertoimet $B_{n}(s)$
yksi	${\näyttötyyli (s+1)}$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	${\näyttötyyli (s+1)(s^{2}+s+1)}$
neljä	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
kahdeksan	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s) ^{2}+1{,}96157s+1)$

Maksimaalinen sileys

Ottaen ja , amplitudiominaisuuksien derivaatta suhteessa taajuuteen näyttää tältä: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

Se pienenee monotonisesti kaikille, koska voitto on aina positiivinen. Siten Butterworth-suodattimen taajuusvasteessa ei ole aaltoilua. Kun amplitudiominaisuus laajennetaan sarjaksi , saadaan: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\ldots

Toisin sanoen kaikki amplitudi-taajuusominaiskäyrän derivaatat suhteessa taajuuteen -th:een asti ovat yhtä suuria kuin nolla, mikä tarkoittaa "maksimaalista sileyttä". $2n$

Rolloff korkeilla taajuuksilla

Hyväksyttyään löydämme taajuusvasteen logaritmin kulmakertoimen korkeilla taajuuksilla: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

Desibeleinä korkeataajuisella asymptootilla on dB /vuosikymmen kulmakerroin. $-20n$

Suodattimen suunnittelu

On olemassa useita erilaisia suodatintopologioita , joilla lineaariset analogiset suodattimet toteutetaan. Nämä kaaviot eroavat vain elementtien arvoista, rakenne pysyy ennallaan.

Cauer-topologia

Cauerin topologiassa käytetään passiivisia elementtejä ( kapasitanssit ja induktanssit ) [1] . Butteworth-suodatin tietyllä siirtofunktiolla voidaan rakentaa tyypin 1 Cauerin muotoon. -suodattimen elementti saadaan suhteella: $k$

C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k outoa

L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k on parillinen

Sallen-Ki-topologia

Sallen-Key-topologia käyttää aktiivisia elementtejä ( operaatiovahvistimia ) passiivisten elementtien lisäksi. Jokainen Sallen-Key-piirin vaihe on osa suodatinta, jota matemaattisesti kuvaa monimutkaisten konjugaattinapojen pari. Koko suodatin saadaan yhdistämällä kaikki vaiheet sarjaan. Jos oikea napa törmää, se tulee toteuttaa erikseen, yleensä RC -ketjun muodossa ja sisällyttää kokonaispiiriin.

Sallen-Key-kaavion kunkin vaiheen siirtofunktio on:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

Nimittäjän on oltava yksi Butterworthin polynomin tekijöistä. Ottamalla saamme: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\oikea)

Viimeinen relaatio antaa kaksi tuntematonta, jotka voidaan valita mielivaltaisesti.

Vertailu muihin lineaarisiin suodattimiin

Alla oleva kuva näyttää Butterworth-suodattimen taajuusvasteen verrattuna muihin suosittuihin saman (viidennen) kertaluvun lineaarisiin suodattimiin:

Kuvasta näkyy, että Butterworth-suotimella on hitain roll-off neljästä, mutta sillä on myös tasaisin taajuusvaste päästökaistan taajuuksilla.

Esimerkki

Harkitse kolmannen asteen analogista alipäästö Butterworth -suodatinta, jossa on farad, ohm ja henry. Merkitään kapasitanssien impedanssi induktanssien impedanssina , jossa on kompleksinen muuttuja, ja käyttämällä yhtälöitä sähköisten piirien laskemiseen , saadaan seuraava siirtofunktio tällaiselle suodattimelle: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

Taajuusvaste saadaan kaavalla: $G(\omega)$

{\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6))))

ja PFC saadaan yhtälöllä:

\Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]

Ryhmäviive määritellään miinus vaiheen derivaatta suhteessa ympyrätaajuuteen ja on signaalin vaihevääristymän mitta eri taajuuksilla. Tällaisen suodattimen logaritmisessa taajuusvasteessa ei ole aaltoilua päästökaistalla eikä vaimennuskaistalla. $\lg G$

Siirtofunktion moduulin kuvaaja kompleksitasossa osoittaa selvästi kolme napaa vasemmassa puolitasossa. Siirtofunktio määräytyy täysin näiden napojen sijainnin mukaan yksikköympyrässä symmetrisesti todellisen akselin ympäri.

Kun jokainen induktanssi korvataan kapasitanssilla ja kapasitanssit induktanssilla, saadaan Butterworth -ylipäästösuodatin .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Arkistoitu 21. tammikuuta 2013 Wayback Machine Circuitissa. Passiiviset suodattimet. Butterworthin alipäästö (10 napaa)

Kirjallisuus

V.A. Lucas. Automaattisen ohjauksen teoria. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky. Viitekirja radioelektroniikan teoreettisista perusteista. - M . : Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Suodatinsuunnittelu signaalinkäsittelyä varten MATLAB©:n ja Mathematica©:n avulla. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Digitaalisen signaalinkäsittelyn tutkijan ja insinöörin opas . - Toinen painos. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Mukautuva signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiivisen suodattimen teoria. - 4. painos. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Mukautuvat suodattimet – rakenteet, algoritmit ja sovellukset . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineaarinen puheen ennustaminen. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Puhesignaalien digitaalinen käsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitaalinen signaalinkäsittely VLSI:ssä. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitaalinen signaalinkäsittely . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Digitaalisen signaalinkäsittelyn teoria ja sovellus. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Johdatus digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .