Chebyshev suodatin

Chebyshev-suodatin [K 1] - yksi lineaaristen analogisten tai digitaalisten suodattimien tyypeistä , joiden erottuva piirre on amplitudi-taajuusominaisuuden (AFC) jyrkempi kaltevuus ja merkittävät amplitudi-taajuusominaiskäyrät päästökaistataajuuksilla (Chebyshev) ensimmäisen tyyppinen suodatin) ja vaimennus (toisen tyyppinen Chebyshev-suodatin) kuin muun tyyppiset suodattimet. Suodatin on nimetty kuuluisan venäläisen 1800-luvun matemaatikon Pafnuty Lvovich Chebyshev mukaan, koska tämän suodattimen ominaisuudet perustuvat Chebyshev-polynomeihin .

Chebyshev-suodattimia käytetään yleensä silloin, kun vaaditaan vaaditut taajuusvasteen ominaisuudet matalaluokkaisella suodattimella, erityisesti hyvä taajuusvaimennus vaimennuskaistalta, kun taas taajuusvasteen tasaisuus päästökaistalla ja vaimennustaajuuksilla ei ole niin tärkeää .

On olemassa Chebyshev-suodattimia I ja II.

Ensimmäisen tyyppinen Chebyshev-suodatin

Tämä on Chebyshev-suodattimien yleisempi muunnos. Tällaisen kolmannen kertaluvun suodattimen taajuusvaste saadaan seuraavalla lausekkeella: $n$

G_n(\omega) = \vasen | H_n(j\omega)\oikea | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\oikea)))

missä on aaltoilueksponentti, on rajataajuus ja on kertaluvun Chebyshev-polynomi . $\varepsilon$ $\omega_0$ $T_{n}(x)$ $n$

Tällaisen suodattimen päästökaistalla on näkyvissä aaltoilua , jonka amplitudi määräytyy aaltoilutekijän avulla . Päästökaistalla Chebyshev-polynomit ottavat arvot välillä 0 - 1, joten suodattimen vahvistus ottaa arvot maksimista minimiin . Rajataajuudella vahvistuksen arvo on , ja sen yläpuolella olevilla taajuuksilla se pienenee edelleen taajuuden kasvaessa. ( Huom : tavallinen rajataajuuden määritelmä taajuudeksi, kun LAFC on -3 dB Chebyshev-suodattimen tapauksessa, ei toimi). $\varepsilon$ $G=1$ $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ $\omega_0$ $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$

Analogisen elektronisen Chebyshev-suodattimen tapauksessa sen järjestys on yhtä suuri kuin sen toteutuksessa käytettyjen reaktiivisten komponenttien (esimerkiksi induktorien ) lukumäärä.

Päästökaistan aaltoilu ilmaistaan usein desibeleinä :

Ripple dB = . ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2))))$

Esimerkiksi värähtelyt, joiden amplitudi on 3 dB, vastaavat . $\varepsilon=1$

Jyrkempi rullaus saadaan aikaan, jos aaltoilu sallitaan paitsi päästökaistalla myös vaimennuskaistalla lisäämällä nollia suodattimen siirtofunktioon kuvitteellisella akselilla kompleksitasossa. Tämä johtaa kuitenkin vähemmän tehokkaaseen vaimennukseen vaimennusalueella. Tuloksena oleva suodatin on elliptinen suodatin , joka tunnetaan myös nimellä Cauer-suodatin. $j\omega$

Napat ja nollat

Yksinkertaisuuden vuoksi otamme rajataajuuden yhtä suureksi kuin yksikkö. Chebyshev-suodattimen navat ovat sen nimittäjän nollia. Käyttämällä kompleksista taajuutta saamme: $(\omega_{pm})$ $s$

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0

Esittämällä ja käyttämällä Chebyshev-polynomien trigonometristä määritelmää saamme: $-js=\cos(\theta)$

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Ratkaiskaamme viimeinen lauseke suhteessa $\theta$

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Sitten Chebyshev-suodattimen navat määritetään seuraavasta lausekkeesta:

s_{pm}=i\cos(\theta)=

=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\oikea)+\frac{m\pi}{n}\oikea)

Käytämme trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden ominaisuuksia, kirjoitamme viimeisen lausekkeen kompleksisessa muodossa:

s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{) \varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

missä ja $m = 1,\;2,\;\ldots,\;n$

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Tätä lauseketta voidaan pitää parametrisena yhtälönä parametrin kanssa . Se osoittaa, että navat sijaitsevat ellipsillä -tasossa, ellipsin keskipisteen ollessa pisteessä , todellisen akselin puoliakselilla on pituus ja imaginaariakselin puoliakselilla pituus . $\theta_n$ $s$ $s = 0$ $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$

Siirtotoiminto

Yllä johdettu yhtälö sisältää kompleksisuodattimen vahvistukseen liittyvät navat . Jokaista napaa varten on kompleksikonjugaatti, ja jokaiselle kompleksikonjugaattiparille on kaksi napaa, jotka eroavat niistä vain navan todellisen osan merkillä. Siirtofunktion on oltava stabiili, mikä tarkoittaa, että sen napojen tulee olla negatiivinen reaaliosa eli sijaita kompleksitason vasemmalla puolitasolla. Siirtofunktio tässä tapauksessa saadaan seuraavalla lausekkeella: $G$

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

missä ovat vain ne navat, joilla on negatiivinen reaaliosa. $s_{pm}^-$

Ryhmäviive

Ryhmäviive määritellään miinus suodattimen vaiheen derivaatta suhteessa taajuuteen ja on signaalin vaihevääristymän mitta eri taajuuksilla.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Vaiheen ominaisuudet

Ensimmäisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen vaihe -ominaisuudet - vaihetaajuusvaste (PFC) ja vaiheviive - on esitetty kuvassa. Vaihevaste näyttää lähtösignaalin vaihesiirron taajuusjakauman suhteessa tuloon. Vaiheviive määritellään osamääränä, jossa vaihevaste jaetaan taajuudella, ja se kuvaa lähtösignaalin aikasiirtymän taajuusjakaumaa suhteessa tuloon.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Aikaominaisuudet

Ensimmäisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen ajalliset ominaisuudet - impulssimuutosfunktio ja siirtymäfunktio - on esitetty kuvassa. Impulssitransienttifunktio on suodattimen vaste tulosignaaliin Dirac - deltafunktion muodossa ja transienttifunktio on vaste tulotoimintoon Heavisiden yksikköfunktion muodossa .

Toisen tyypin Chebyshev-suodatin

Tyypin II Chebyshev-suodatinta ( käänteinen Chebyshev-suodatin ) käytetään harvemmin kuin tyypin I Chebyshev-suodatinta, koska amplitudivaste on vähemmän jyrkkä, mikä johtaa komponenttien lukumäärän kasvuun. Sillä ei ole aaltoilua päästökaistalla, mutta se on läsnä vaimennuskaistalla. Tällaisen suodattimen amplitudiominaisuus saadaan seuraavalla lausekkeella:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )))}

Vaimennuskaistalla Chebyshev-polynomit ottavat arvot välillä 0 - 1, minkä vuoksi tällaisen suodattimen amplitudiominaisuus ottaa arvot nollasta

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2))}

minimitaajuus, jolla tämä maksimi saavutetaan, on rajataajuus . Parametri liittyy pysäytyskaistan vaimennukseen desibeleinä seuraavalla lausekkeella: $\omega_0$ $\varepsilon$ $\gamma$

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

Vaimennus 5 dB:n rajataajuuksilla: ; 10 dB:n vaimennus: . Taajuus on rajataajuus. 3 dB:n vaimennustaajuus liittyy seuraavaan lausekkeeseen: $\varepsilon=0,\!6801$ $\varepsilon=0,\!3333$ $f_C=\omega_C/(2\pi)$ $f_H$ $f_C$

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\oikea )

Napat ja nollat

Ottaen rajataajuuden yhtä suureksi kuin yksi, saadaan lauseke Chebyshev-suodattimen napoille: $(\omega_{pm})$

1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0

Toisen tyypin Chebyshev-suodattimen navat ovat ensimmäisen tyypin Chebyshev-suodattimen napojen "inversio":

\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left (\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

missä . $m = 1,\;2,\;\ldots,\;n$

Toisen tyypin Chebyshev-suodattimen nollat määritetään seuraavasta suhteesta: $(\omega_{zm})$

\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0

Toisen tyypin Chebyshev-suodattimen nollat ovat Chebyshev-polynomien nollien "inversioita":

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\oikea)

missä . $m = 1,\;2,\;\ldots,\;n$

Siirtotoiminto

Siirtofunktio määritetään kompleksitason vasemman puolitason napojen avulla, sen nollat ovat samat kuin amplitudin ominaismoduulin nollia, sillä ainoalla erolla, että niiden järjestys on yhtä suuri kuin 1.

Ryhmäviive

Amplitudivaste ja ryhmäviive on esitetty kaaviossa. Voidaan nähdä, että amplitudin aaltoilu on hylkäyskaistalla eikä päästökaistalla.

Vaiheen ominaisuudet

Toisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen vaiheominaisuudet - vaihetaajuusvaste ja vaiheviive - on esitetty kuvassa. Vaihevaste näyttää lähtösignaalin vaihesiirron taajuusjakauman suhteessa tuloon. Vaiheviive määritellään osamääränä, jossa vaihevaste jaetaan taajuudella, ja se kuvaa lähtösignaalin aikasiirtymän taajuusjakaumaa suhteessa tuloon.

Aikaominaisuudet

Toisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen ajalliset ominaisuudet - impulssitransienttifunktio ja transienttifunktio - on esitetty kuvassa. Impulssitransienttifunktio on suodattimen vaste tulosignaaliin Dirac-delta-funktion muodossa ja transienttifunktio on vaste tulotoimintoon Heaviside-yksikköfunktion muodossa .

Chebyshev digitaaliset suodattimet

Chebyshev-suodattimet toteutetaan usein digitaalisessa muodossa. Jotta voidaan vaihtaa analogisesta suodattimesta digitaaliseen, on tarpeen suorittaa bilineaarinen muunnos jokaisessa suodatinvaiheessa . Koko suodatin saadaan yhdistämällä kaskadit sarjaan. Yksinkertainen esimerkki ensimmäisen tyyppisestä tasaisen järjestyksen alipäästösuodattimesta :

Jokaisen kaskadin Z -muunnos :

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}

Aika-alueella muunnos kirjoitetaan seuraavasti:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[ -2]

Kertoimet ja lasketaan kertoimista ja : $\alpha_i$ $\beta _{i}$ $a_{i}$ $b_{i}$

K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)

\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}

b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}

a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i

\alpha_0 = K \cdot K

\alpha_1 = 2 \cdot K^2

\alpha_2 = K \cdot K

\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)

\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)

\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)

\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime

\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime

Korkeamman asteen Chebyshev-suodattimen saamiseksi on tarpeen kytkeä useita vaiheita sarjaan.

Vertailu muihin lineaarisiin suodattimiin

Alla on kaavioita I- ja II-sukujen Chebyshev-suodattimen taajuusvasteesta verrattuna joihinkin muihin suodattimiin, joilla on sama kerroinluku:

Kaaviot osoittavat , että Chebyshev - suodattimien amplitudiominaisuudet ovat jyrkempiä kuin Butterworth - suodattimilla , mutta eivät yhtä jyrkät kuin elliptisellä suodattimella .

Katso myös

Kommentit

↑ Toisin kuin tiedemiehen vanhan jalon sukunimen - Chebyshev [1] [2] [3] - yleistä ääntämistä painottaen ensimmäistä tavua ( Chébyshev ), johtuen 1900-luvulle ominaisesta taipumuksesta erottaa sukunimet -ov. / -ev alkuperäisistä possessiivisista adjektiiveista [2 ] _ _ _ _ _ _ _ _ korjaa [7][6][5][4]Chebyshev .

Muistiinpanot

↑ Chebyshev Pafnuty Lvovich / B.V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Soviet Encyclopedia, 1978. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / päätoimittaja A. M. Prokhorov ; 1969-1978, osa 29). . - Artikkelin otsikossa: " Chebyshev (lausutaan Chebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Venäläiset sukunimet / käänn. englannista. L. V. Kurkina , V. P. Neroznak , E. R. Squires ; toim. N. N. Popov . - M .: Progress, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Numeeriset menetelmät: oppikirja. — 2. painos, korjattu. - Pietari. : BHV-Petersburg, 2011. - s. 33 [ Tšebyshevin funktiojärjestelmä ] , 465 [ Tšebyševin vaihesarja ], 552 [ Tšebyševin kriteeri ], 574 [ Tšebyshevin polynomit ] . — (Oppikirjallisuus yliopistoille). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Chebyshev [ Chebyshev polynoms , Chebyshev kaava ]; Chebyshevsky // Venäjän oikeinkirjoitussanakirja / Venäjän tiedeakatemia. Venäjän kielen instituutti . V. V. Vinogradova ; toim. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Toim. 4th, rev. ja ylimääräistä - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Venäjän kielen perussanakirjat). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Chebyshev Pafnyuty // Venäjän kielen oikeat nimet: stressisanakirja. - M . : Kustantaja NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1982. - T. 22, nro 1. - s. 142 [ Chebyshev sarjan keskus ].
↑ Matemaattinen kokoelma. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - P. 29 [ Chebyshev alternance ], 56-57 [ Chebyshev -menetelmä ].

Bibliografia

Krivitsky, B. Kh. Viitekirja radioelektroniikan teoreettisista perusteista. - M . : Energia, 1977.
Lucas, V. A. Automaattisen ohjauksen teoria. - M.: Nedra, 1990.
Daniels, Richard W. Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Higgins, Richard J. Digitaalinen signaalinkäsittely VLSI:ssä. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
Haykin, S. Adaptive Filter Theory. – 4. painos - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Mukautuvat suodattimet – rakenteet, algoritmit ja sovellukset. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
Markel, JD; Gray Jr., A.H. Lineaarinen puheen ennustaminen. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
Oppenheim, A.V.; Schafer, RW digitaalinen signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Johdatus digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .
Rabiner, L.R .; Schafer, R. W. Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Rabiner, L.R.; Gold, B. Digitaalisen signaalinkäsittelyn teoria ja sovellus. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
Rorabaugh, Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
Smith, Steven W. Digitaalisen signaalinkäsittelyn tutkijan ja insinöörin opas . – 2. painos - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Widrow, B.; Stearns, SD adaptiivinen signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .

Linkit

Kuinka laskea rekursiiviset suodattimet? (linkki ei saatavilla) . NGU . Haettu 14. helmikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 30. marraskuuta 2013. (määrätön)
Suodattimien luokittelu . Analogiset mittauslaitteet. Haettu: 14. helmikuuta 2014. (määrätön)
Luento digitaalisesta suodatuksesta . DSP.sut.ru. Käyttöpäivä: 14. helmikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 12. maaliskuuta 2007. (määrätön)
Ensimmäisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen laskenta esimerkkien kanssa . Dsplib.ru. Haettu: 14. helmikuuta 2014. (määrätön)
Toisen tyyppisen Chebyshev-suodattimen laskenta esimerkkien kanssa . Dsplib.ru. Haettu: 14. helmikuuta 2014. (määrätön)
Alipäästösuodattimet . Gaw.ru (mikroelektroniikkamarkkinat). Haettu: 14. helmikuuta 2014. (määrätön)
Chebyshev suodattimet . Texas Instruments. Käyttöpäivä: 14. helmikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 5. elokuuta 2012. (määrätön) (Englanti)