Virhetoiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14.5.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Virhefunktio (kutsutaan myös Gaussin virhefunktioksi) on ei-alkeisfunktio , jota esiintyy todennäköisyysteoriassa , tilastoissa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa . Se määritellään nimellä

\operaattorinimi {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

Ylimääräinen virhefunktio , joka on merkitty (joskus käytetään merkintää ), määritellään virhefunktiona: $\operaattorinimi {erfc}\,x$ $\operaattorinimi {Erf}\,x$

\operaattorinimi {erfc}\,x=1-\operaattorinimi {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

Monimutkainen virhefunktio , merkitty , määritellään myös virhefunktiona: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\operaattorin nimi {erfc}\,(-ix)

Ominaisuudet

Virhetoiminto on outo :

\operaattorinnimi {erf}\,(-x)=-\operaattorin nimi {erf}\,x.

Kaikille komplekseille $x$

\operaattorinnimi {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\operatorname {erf}\,x}

jossa pylväs tarkoittaa luvun kompleksista konjugaatiota .

x

Virhefunktiota ei voida esittää alkeisfunktioina , mutta laajentamalla integroitava lauseke Taylor-sarjaksi ja integroimalla termi termiltä saadaan sen esitys sarjana:

\operaattorinnimi {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Tämä yhtäläisyys pätee (ja sarja suppenee) sekä millä tahansa reaalitasolla että koko kompleksitasolla d'Alembertin testin mukaan . Nimittäjien sekvenssi muodostaa OEIS : ssä sekvenssin A007680 .

x

Sarjan elementtien iteratiivista laskemista varten on hyödyllistä esittää se vaihtoehtoisessa muodossa:

\operaattorinnimi {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

koska on tekijä, joka muuttaa sarjan -:nnen jäsenen -: nneksi, kun otetaan huomioon ensimmäinen jäsen .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

i

(i+1)

x

Virhefunktio äärettömyydessä on yhtä suuri kuin yksi; Tämä on kuitenkin totta vain, kun lähestytään ääretöntä todellista akselia pitkin, koska:

Kun tarkastellaan virhefunktiota kompleksitasossa, piste on sille oleellisesti yksittäinen. $z=\infty$

Virhefunktion derivaatta johdetaan suoraan funktion määritelmästä:

{\frac {d}{dx}}\,\operaattorin nimi {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

Virhefunktion antiderivaata , joka saadaan osien integrointimenetelmällä :

F(x)=x\operaattorinimi {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Käänteinen virhefunktio on sarja

\operaattorinimi {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

missä c 0 = 1 ja

c_{k}=\sum _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2 m +1)}}=\vasen\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Siksi sarja voidaan esittää seuraavassa muodossa (huomaa, että murtoluvut on lyhennetty):

\operaattorinnimi {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} }{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\pisteet \oikea).

[yksi] OEIS:ssä osoittaja- ja nimittäjäsekvenssit pienennyksen jälkeen ovat A092676 ja A132467 ; osoittajien järjestys ennen lyhennettä on A002067 OEIS:ssä.

Sovellus

Jos satunnaismuuttujien joukko noudattaa normaalijakaumaa keskihajonnan kanssa , niin todennäköisyys, että arvo poikkeaa keskiarvosta enintään , on yhtä suuri kuin . $\sigma$ $a$ $\operaattorinimi {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

Virhefunktio ja lisävirhefunktio esiintyvät joidenkin differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa, esimerkiksi Heaviside -funktion ("vaihe") kuvaamassa lämpöyhtälössä alkuehdoilla .

Digitaalisissa optisissa viestintäjärjestelmissä bittivirhetodennäköisyys ilmaistaan myös virhefunktiota käyttävällä kaavalla.

Asymptoottinen laajennus

Suurille arvoille lisävirhefunktion asymptoottinen laajennus on hyödyllinen : $x$

\operaattorinimi {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\oikea ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Vaikka tämä sarja poikkeaa minkä tahansa äärellisen luvun kohdalla, käytännössä muutama ensimmäinen termi riittää laskemaan hyvällä tarkkuudella, kun taas Taylor-sarja konvergoi hyvin hitaasti. $x$ $\operaattorinimi {erfc}\,x$

Toinen likiarvo saadaan kaavalla

(\operaattorin nimi {erf}\,x)^{2}\noin 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\oikea)

missä

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Aiheeseen liittyvät toiminnot

Skaalaan ja siirtoon asti virhefunktio on sama kuin normaalin kumulatiivisen jakauman , merkitty $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operaattorinimi {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

K :n käänteisfunktio , joka tunnetaan normaalina kvantiilifunktiona , merkitään joskus ja ilmaistaan normaalina virhefunktiona. $\Phi$ $\operaattorinimi {probit}$

\operaattorinnimi {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operaattorinnimi {erf}^{{-1}}(2p-1).

Normaalia kumulatiivista jakaumaa käytetään yleisemmin todennäköisyysteoriassa ja matemaattisissa tilastoissa, kun taas virhefunktiota käytetään yleisemmin muilla matematiikan aloilla.

Virhefunktio on Mittag-Leffler-funktion erikoistapaus , ja se voidaan esittää myös rappeutuneena hypergeometrisenä funktiona ( Kummer-funktio ):

\operaattorinimi {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\oikea).

Virhefunktio ilmaistaan myös Fresnel-integraalina . Mitä tulee regularisoituun epätäydelliseen gammafunktioon P ja epätäydelliseen gammafunktioon ,

\operaattorinimi {erf}\,x=\operaattorinimi {sign}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\oikea)={\operaattorinnimi {sign}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\oikea).

Yleiset virhefunktiot

Jotkut kirjoittajat käsittelevät yleisempiä piirteitä

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Huomattavia erikoistapauksia ovat:

$E_{0}(x)$ on suora, joka kulkee koordinaattien origon kautta: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ on virhetoiminto . $\operaattorinimi {erf}\,x$

Kun on jaettu kaikilla parittomalla samanlaisilla (mutta ei identtisillä), samaa voidaan sanoa parilla . Kaikki yleiset virhefunktiot näyttävät samanlaisilta kuin puoliakselit . $n!$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

Puoliakselilla kaikki yleistyneet funktiot voidaan ilmaista gammafunktiona : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\oikea)\oikea)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Siksi voimme ilmaista virhefunktion gammafunktiolla:

\operaattorin nimi {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\oikea)}({\sqrt \pi ))}

Täydentävän virhefunktion iteroidut integraalit

Täydentävän virhefunktion iteroidut integraalit määritellään [1] $\operaattorinimi {I^{n}erfc}$

\operaattorinimi {I^{0}erfc} \,z=\operaattorinimi {erfc} \,z

\operaattorinimi {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operaattorinimi {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ Zeta,

varten .

n>0

Ne voidaan järjestää peräkkäin:

\operaattorinimi {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

mistä symmetriaominaisuudet seuraavat

\operaattorinimi {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operaattorinimi {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

\operaattorinimi {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operaattorinimi {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Toteutukset

C - kielistandardi (ISO/IEC 9899:1999 lauseke 7.12.8) tarjoaa virhetoiminnon ja ylimääräisen virhetoiminnon . Funktiot ilmoitetaan otsikkotiedostoissa ( C ) tai ( C++ ). Siellä ilmoitetaan myös funktioparit , ja . Ensimmäinen pari vastaanottaa ja palauttaa tyypin arvot ja toinen pari palauttaa tyypin arvot . Vastaavat toiminnot ovat myös Boost - projektikirjastossa . $\operaattorinimi {erf}$ $\operaattorinimi {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

Java - kielessä matemaattisten funktioiden standardikirjasto java.lang.Mathei sisällä [2] virhefunktiota. Luokka löytyy ei-standardista kirjastopaketista , Erfjonka tarjoaa [3] Apache Software Foundation . org.apache.commons.math.special

Tietokonealgebrajärjestelmät Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica ja Maxima [4] sisältävät tavallisia ja lisävirhefunktioita sekä niille käänteisiä funktioita.

Pythonissa virhetoiminto on saatavilla [4] vakiokirjastosta mathversiosta 2.7 lähtien. Myös virhetoiminto, lisävirhetoiminto ja monet muut erikoistoiminnot on määritelty SciPy-Special projektimoduulissa [5] .

Erlangissa virhetoiminto ja lisävirhetoiminto ovat saatavilla vakiomoduulista [ math5] .

Excelissä virhefunktio esitetään muodossa FOS ja FOS.EXC [6]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2. painos), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , s. 484
↑ Matematiikka (Java Platform SE 6) . Käyttöpäivä: 28. maaliskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2009. (määrätön)
↑ Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 28. maaliskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 9. huhtikuuta 2008. (määrätön)
↑ 9.2. matematiikka - Matemaattiset funktiot - Python 2.7.10rc0 -dokumentaatio
↑ Erlangin kieli . Kuvaus Arkistoitu 20. kesäkuuta 2012, Wayback Machine of Standard Module functions . math
↑ FOS-toiminto . support.microsoft.com . Haettu 15. marraskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 15. marraskuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), jakso 6.2. Epätäydellinen gammafunktio ja virhefunktio , Numeeriset reseptit: The Art of Scientific Computing (3. painos), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun, toim. Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Virhetoiminnot (huhtikuu 2010). Käyttöönottopäivä: 25.5.2019. (määrätön)

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri Neuvostoliitto (1 painos)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4156112-0 NDL : 00562553