Dirichlet beetatoiminto

Dirichlet - beetafunktio matematiikassa , jota joskus kutsutaan katalaanien beetafunktioksi , on erikoisfunktio, joka liittyy läheisesti Riemannin zeta-funktioon . Se on Dirichlet L-funktion erikoistapaus . Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Peter Gustav Lejeune Dirichlet'n ( Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) mukaan ja vaihtoehtoinen nimi - belgialaisen matemaatikon Eugène Charles Catalanin ( Eugène Charles Catalan ) kunniaksi .

Dirichlet-beetafunktio määritellään [1]

\beta (s)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,

tai vastaavasti integraaliesityksen kautta

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^({\infty }}{\frac {x^{{s-1}}e^{{ -x}}}{1+e^{{-2x}}}}\,dx\;,

missä Γ( s ) on Eulerin gammafunktio . Molemmissa tapauksissa oletetaan, että Re( s ) > 0.

Suhde muihin toimintoihin

Vaihtoehtoinen Hurwitzin zeta-funktion määritelmä pätee muuttujan s koko kompleksitasolla :

\beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac { 3}{4}}\oikea)\oikea]\;.

Dirichlet-beetafunktio liittyy myös Lerchin transsendenttifunktioon ( englanniksi Lerch transcendent ),

\beta (s)=2^{{-s}}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.

Tämä suhde pätee myös muuttujan s koko kompleksitasolla [2] .

Suhde β( s ) ja β(1 - s ) sallii Dirichlet-beetafunktion laajentamisen analyyttisesti muuttujan s kompleksitason vasemmalle puolelle (eli Re( s )<0),

\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{{s-1}}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{ 2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,

missä Γ( s ) on Eulerin gammafunktio .

Dirichlet-beetafunktion yksityiset arvot argumentin kokonaislukuarvoille sisältävät

\beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2)),

\beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,

\beta (2)\;=\;G,

\beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},

\beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8 \pi ^{4}\oikea],

\beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},

\beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},

\beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},

jossa G on katalaanivakio ja on pentagammafunktion ( kolmannen asteen polygammafunktiot ) osamäärä. ${\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4))))}$

Yleensä mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle k

\beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{ 4}}\oikea)-\psi _{2k-1}\vasen({\tfrac {3}{4}}\oikea)\oikea],

\beta (2k+1)={{{({-1})^{k}}{E_{{2k}}}{\pi ^{{2k+1}}} \yli {4^{{k +1}}}(2k)!}},

missä on polygamma-funktio ( 2k-1 ) , ja E 2 k ovat Eulerin lukuja [3] . $\psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)$

Argumentin negatiivisille arvoille (kokonaisluvulle, joka ei ole negatiivinen k ) meillä on

\beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{{2k}}\;,

\beta(-2k-1)=0\;,

eli β( s ) on nolla kaikille argumentin parittomille kokonaislukuille (katso funktion kuvaaja) [2] .

Joillekin argumentin s kokonaislukuarvoille derivaatta β'( s ) voidaan laskea analyyttisesti [2] ,

\beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}\pi }\;,

\beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4)))}{2\pi {\sqrt 2))} \oikea)\;,

\beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }4}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac 14})\ oikein)\;,

(Katso myös OEIS A113847 ja A078127 ).

Lisäksi positiivisten kokonaislukujen n derivaatta voidaan esittää äärettömänä summana [2]

\beta ^{\prime }(n)=-\sum _{{k=1}}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{{1/(4k+1 )^{n}}}}{(4k-1)^{{1/(4k-1)^{n}}}}}\oikea)\;.

↑ Christopher Clapham, James Nicholson. Tiivis Oxfordin matematiikan sanakirja . - Oxford University Press, 2014. - S. 138. - 544 s. — ISBN 9780199679591 .
↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (HTML). mathworld.wolfram.com. Haettu 10. helmikuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 30. maaliskuuta 2015. (määrätön)
↑ KS Kolbig. Polygamma-funktio for ja $\psi ^{(k)}(x)$ $x={\tfrac {1}{4}}$ $x={\tfrac {3}{4}}$ (englanniksi) // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1996. - Voi. 75 . - s. 43-46. - doi : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .

J. Spanier & K. K. Oldham. An Atlas of Functions , Hemisphere, New York, 1987
Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .