Homologinen peilisymmetria on Maxim Kontsevichin esittämä matemaattinen olettamus . Se sai alkunsa yrityksestä paljastaa ilmiön matemaattinen luonne, jonka fyysikot huomasivat ensimmäisenä merkkijonoteoriassa .
Viestissä vuoden 1994 kansainväliselle matemaattiselle kongressille Zürichissä Kontsevich ehdotti, että peilisymmetria Calabi- Yaun monistojen X ja Y parille voidaan selittää kolmioluokan ekvivalenssina, joka on saatu algebrallisen geometrian menetelmillä ( derivaata). Koherenttien pyöreiden kategoriasta X ) ja toinen kolmioluokka, joka on rakennettu käyttämällä symplektistä geometriaa ( Y : n Fukaya-kategorian johdannainen ).
Edward Witten kuvasi alun perin N=(2,2)-supersymmetrisen kentän teorian topologista kierrettä siinä, mitä hän kutsui topologisen merkkijonoteorian A- ja B-malleiksi . Näissä malleissa otetaan huomioon Riemannin pintojen kartoitus ns. kohdeavaruuksiin , yleensä Calabi-Yaun jakoputkiin. Suurin osa peilisymmetrian matemaattisista ennusteista sopii fysiikasta tunnetun A-mallin Y :llä ja B-mallin sen peilin X ekvivalenssiin . Riemannin pinnat, jotka ovat rajattomia monistoja, voivat olla suljetun merkkijonon maailmanarkki. Avointen merkkijonojen tapauksen kuvaamiseksi on lisäksi määritettävä rajaehdot, jotka lisäksi säilyttävät supersymmetrian. A-mallissa nämä rajaehdot ovat Y :n Lagrangin alijoukot , joissa on lisärakenne (jota joskus kutsutaan braanirakenteeksi). B-mallissa nämä rajaehdot ovat X :n holomorfisten alimonistojen muodossa, joissa on holomorfinen vektorinippu. Näitä objekteja käytetään kuvattujen kolmiokategorioiden rakentamiseen. Niitä kutsutaan A- ja B-braneiksi. Näissä luokissa olevat morfismit ovat kaikki massattomia avoimia merkkijonoja, jotka on venytetty kahden braanin väliin.
Suljetuille merkkijonoille A- ja B-mallit kattavat vain topologisen sektorin, pienen osan koko merkkijonoteoriasta. Samoin näiden mallien braanit ovat vain topologisia approksimaatioita koko dynaamiselle objektille - D-braaneille . Tavalla tai toisella matematiikka, jopa tällä pienellä merkkijonoteorian alalla, on sekä syvää että vaikeaa.
Matemaatikot pystyivät testaamaan tämän hypoteesin vain muutamalla esimerkillä. Alkuperäisessä viestissään Kontsevich mainitsi, että olettamus voidaan todistaa elliptisille käyrille käyttämällä theta-funktioita . Tämän ehdotuksen jälkeen Eric Zaslow ja toinen matemaatikko esittivät todisteen tästä elliptisten käyrien olettamuksesta. Kenji Fukaya antoi katkelmia abelin lajikkeiden todisteesta . Myöhemmin Kontsevich ja Jan Soibelman esittivät SYZ-arvauksen ideoita käyttäen todisteen oleellisesta osasta keskusteltua ei-singulaarisista torisista nipuista affinisten lajikkeiden yli . Vuonna 2003 Paul Seidel osoitti kvartsioletuksen .
Alla olevaa taulukkoa kutsutaan Hodge-timantiksi. Tässä h p , q — ( p , q )-differentiaalimuotojen avaruuksien mitat — on järjestetty siten , että koordinaatit ( p , q ) muodostavat rombin sivut. Kolmiulotteisessa tapauksessa p ja q ajavat kokonaislukuarvoja nollasta kolmeen, ja esimerkiksi monimutkaisen kaksiulotteisen jakosarjan Hodge-rombi näyttää tältä:
h 2,2 h 2,1 h 1,2 h 2,0 h 1,1 h 0,2 h 1,0 h 0,1 h 0,0Jos kyseessä on elliptinen käyrä , joka on monimutkainen yksiulotteinen Calabi-Yaun jakoputki, Hodge-timantti on erityisen yksinkertainen:
yksi yksitoista yksiK3-pinnan tapauksessa , joka on monimutkainen kaksiulotteinen Calabi-Yaun monisto, koska sen Betti-luvut ovat {1, 0, 22, 0, 1}, Hodge-timantti näyttää tältä:
yksi 0 0 1 20 1 0 0 yksiCalabi-Yaun monimutkaiset kolmiulotteiset monimutkaiset ovat ensimmäinen ei-triviaali esimerkki peilisymmetriasta. Toistensa kanssa peilisymmetriset parit (kutsutaanko niitä M :ksi ja W:ksi) kartoitetaan toisiinsa symmetrisesti pystysuoran viivan ympärillä.
Jakosarjan M Hodge-rombi :
yksi 0 0 0 ja 0 1 b b 1 0 ja 0 0 0 yksiJakosarjan W Hodge-rombi :
yksi 0 0 0 b 0 1 ja 1 _ 0 b 0 0 0 yksiM ja W vastaavat merkkijonoteorian A- ja B-malleja. Peilisymmetria ei vain vaihda Betti-lukuja, se vaihtaa peilisymmetristen monistojen symplektiset ja monimutkaiset rakenteet . Tämä on homologisen peilisymmetrian ydin.