Theta-funktio

Theta - funktiot ovat useiden monimutkaisten muuttujien erikoisfunktioita . Niillä on tärkeä rooli monilla aloilla, mukaan lukien Abelin lajikkeiden teoria , moduuliavaruudet ja neliömuodot . Niitä sovelletaan myös solitonien teoriassa . Grassmann-algebraan yleistyksen jälkeen funktiot näkyvät myös kvanttikenttäteoriassa [1] .

Yleisimmät theta - funktiot ovat elliptisten funktioiden teoriassa esiintyvät funktiot . Mitä tulee yhteen monimutkaisista muuttujista (yleensä z ), theta-funktiolla on ominaisuus, joka yhdistää siihen liittyvien elliptisten funktioiden jaksot, mikä tekee niistä kvasijaksollisia . Abstraktissa teoriassa tämä saadaan pudotuksen linjanipun ehdosta en] .

Jacobi theta-funktio

On olemassa useita toisiinsa liittyviä toimintoja, joita kutsutaan Jacobi theta -funktioiksi, ja monia erilaisia ja yhteensopimattomia merkintäjärjestelmiä. Yksi Jacobi-theta-funktio (nimetty Carl Gustav Jacobin mukaan) on funktio, joka on määritelty kahdesta kompleksimuuttujasta z ja , jossa z voi olla mikä tahansa kompleksiluku ja on rajoitettu tason yläpuolelle , mikä tarkoittaa, että luvulla on positiivinen kuvitteellinen osa. Funktio annetaan kaavalla $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

missä ja . Funktio on Jacobin muotoinen . Jos korjaamme , funktiosta tulee Fourier -sarja jaksollisen z : n koko funktiolle jaksolla 1. Tässä tapauksessa theta-funktio täyttää identiteetin $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Funktio käyttäytyy hyvin säännöllisesti ottaen huomioon kvasiperiodin ja täyttää funktionaalisen yhtälön $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

missä a ja b ovat kokonaislukuja.

Aputoiminnot

Yllä määriteltyä Jacobi-theta-funktiota tarkastellaan joskus yhdessä kolmen ylimääräisen theta-funktion kanssa, jolloin se kirjoitetaan lisäindeksillä 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

Lisäfunktiot (puolijaksolliset) määritellään kaavoilla

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}

Näitä merkintöjä seurasivat Riemann ja Mumford . Jacobin alkuperäinen sanamuoto oli nome , ei . Jacobin notaatiossa θ -funktiot kirjoitetaan seuraavasti: ${\displaystyle q=e^{i{\pi }\tau ))$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{tasattu}}

Yllä olevat Jacobi-theta-funktion määritelmät eivät ole kaukana ainoista. Katso artikkeli Jacobi Theta -funktiot (merkintämuunnelmat) lisäkeskusteluja varten.

Jos laitamme yllä olevat theta-funktiot, saadaan neljä vain ylemmästä puolitasosta riippuvaa ja siitä määritettyä funktiota (joita joskus kutsutaan theta-vakioksi.) Näillä voidaan määritellä erilaisia modulaarisia muotoja ja parametroida joitain käyriä. Erityisesti Jacobi-identiteetti $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {4}

on neljännen asteen Fermat-käyrä .

Jacobi-identiteetit

Jacobi - identiteetit kuvaavat , kuinka theta - funktiot muunnetaan modulaarisella ryhmällä , joka muodostuu kartoituksista ja . Ensimmäisen muunnoksen identiteetit on helppo löytää, koska yhden lisäämisellä eksponenttiin k on sama vaikutus kuin yhden lisäämisellä z :ään ( mod 2). Toisessa tapauksessa laitamme $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Sitten

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alfa \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ tasattu}}

Theta toimii nomen suhteen

Sen sijaan, että ilmaisimme theta-funktioita z :n ja :n avulla, voimme ilmaista ne argumentilla w ja noemilla q , missä , ja . Tässä tapauksessa toiminnot muuttuvat $\tau$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Näemme, että theta-funktiot voidaan määritellä w :n ja q :n avulla ilman suoraa viittausta eksponentiaaliseen funktioon. Kaavoja voidaan siksi käyttää määrittämään theta-funktioita muiden kenttien yli, joissa eksponentiaalinen funktio ei välttämättä ole kaikkialla määriteltynä, kuten p -adic-lukujen kenttä .

Teosten esitykset

Jacobin kolmoistulo (erityistapaus Macdonald-identiteeteille ) kertoo meille, että kompleksiluvuille w ja q kanssa ja meillä on $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty }\vasen(1-q^{2m}\oikea)\vasen(1+w^{2}q^{2m-1}\oikea)\ vasen(1+w^{-2}q^{2m-1}\oikea)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}} .

Tämä voidaan todistaa alkeellisin keinoin, kuten esimerkiksi Hardyn ja Wrightin teoksessa An Introduction to the Theory of Numbers .

Jos ilmaisemme theta-funktion tilavuuksina ja , Sitten ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Tästä syystä saamme muodon theta-funktion tuotekaavan

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\iso (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\iso (}) (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

W :n ja q : n suhteen :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\oikea)\vasen(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\oikea)\\&=\vasen( q^{2};q^{2}\oikea)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\oikea)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\oikea) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\oikea)\end{tasattu))

missä on q -Pochhammer-symboli ja q -theta - funktio . Jos kiinnikkeet avataan, Jacobi-kolmiotuote saa muotonsa ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty }\vasen(1-q^{2m}\oikea){\Big (}1+\vasen(w^{2}+w^{-2) }\oikea)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

joka voidaan myös kirjoittaa uudelleen muotoon

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\oikea)\left(1+2\cos(2\pi) z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\oikea).

Tämä kaava pätee yleiseen tapaukseen, mutta on erityisen kiinnostava todelliselle z :lle . Samanlaiset tuotekaavat lisätheta-funktioille

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ vasen(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\oikea),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\oikea),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\oikea).\end{tasattu}}

Kokonaislukuesitykset

Jacobi-theta-funktioilla on seuraavat kiinteät esitykset:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Eksplisiittiset arvot

Katso Yi (2004) [2] .

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\oikea)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac {3}{4}}\oikea  )}}}\end{tasattu}}

Jotkut identiteetit sarjan

Istvan Mezo [3] todisti seuraavat kaksi identiteettiä sarjoille :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\oikea),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\oikea).\end{aligned}}

Nämä suhteet pätevät kaikille 0 < q < 1 . Korjaamalla q -arvot saadaan seuraavat parametrittomat summat

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\oikea),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ summa _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aligned}}}

Jacobi theta -funktioiden nollat

Kaikki Jacobin theta-funktioiden nollat ovat yksinkertaisia nollia ja ne määritellään seuraavasti:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ loppu{tasattu}}

missä m , n ovat mielivaltaisia kokonaislukuja.

Suhde Riemannin zeta-funktioon

Suhde

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

käytti Riemania todistaakseen Riemannin zeta-funktion funktionaalisen yhtälön Mellin-muunnoksen avulla

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ matematiikka {d} t}{t}}

ja voidaan osoittaa, että muunnos on invariantti s :n muuttuessa arvoksi 1 − s . Vastaava integraali arvolle z ≠ 0 on annettu artikkelissa Hurwitz zeta -funktiosta .

Yhteys Weierstrassin elliptiseen toimintoon

Jacobi käytti Theta-funktioita rakentaakseen (laskelmien yksinkertaistamiseksi sovitetussa muodossa) elliptisiä funktionsa osana edellä mainituista neljästä theta-funktiosta, ja hän saattoi käyttää niitä myös Weierstrassin elliptisten funktioiden rakentamiseen , koska

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

jossa toinen derivaatta otetaan z :n suhteen ja vakio c määritellään siten, että funktion ℘( z ) Laurent-sarjalla pisteessä z = 0 on nollavakiotermi.

Suhde q -gamma-funktioon

Neljäs theta-funktio - ja sitten loput - liittyy erottamattomasti Jackson q -gamma-funktioon relaatiolla [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\oikea)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\oikea) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\oikea).

Suhde Dedekindin eta-funktioon

Olkoon Dedekind eta -funktio , ja olkoon theta-funktion argumentti esitetty nimellä nom . Sitten $\eta (\tau )$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right )}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Katso myös artikkeli Weberin modulaarisista toiminnoista .

Elliptinen moduuli

J-invariantti on yhtä suuri

{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)){\vartheta _{00}(0,\tau )^{2))))

ja ylimääräinen elliptinen moduuli on

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Lämpöyhtälön ratkaisu

Jacobi-theta-funktio on yksiulotteisen lämpöyhtälön perusratkaisu spatiaalisilla jaksollisilla reunaehdoilla [5] . Kun otetaan todellinen, ja todellisella ja positiivisella t :llä , voimme kirjoittaa $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

mikä ratkaisee lämpöyhtälön

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Tämä theta-ratkaisu on 1-jaksoinen x :ssä ja pyrkii jaksolliseen deltafunktioon tai Dirac-kampaan jakaumien merkityksessä $t\to 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

Yleiset ratkaisut lämpöyhtälön spatiaalisten jaksollisten alkuarvojen ongelmaan voidaan saada konvoloimalla lähtötiedot theta-funktion kanssa. $t = 0$

Yhteys Heisenberg-ryhmään

Jacobi-theta-funktio on invariantti Heisenberg-ryhmän erillisen alaryhmän vaikutuksesta . Tämä muuttumattomuus esitetään artikkelissa Heisenberg-ryhmän theta-esityksestä .

Yleistykset

Jos F on neliömuoto n muuttujassa, niin F : ään liittyvä theta-funktio on

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

kokonaislukujen hilan yli oleva summa ℤ n . Tämä theta-funktio on modulaarinen muoto , jossa on modulaarisen ryhmän paino (oikein määritellyllä alaryhmällä) . Fourier-sarjan laajennuksessa ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

numeroita kutsutaan muodon esitysnumeroiksi . $R_{F}(k)$

Ramanujanin theta-funktio

Riemannilainen theta-funktio

Päästää

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\operaattorin nimi {Im} F>0\right\}

on joukko symmetrisiä neliömatriiseja , joiden imaginaariosa on positiivinen määrätty . ℍ n :tä kutsutaan ylemmäksi Siegel-puoliavaruudeksi ja se on ylemmän puolitason korkeampiulotteinen analogi . Modulaarisen ryhmän n - ulotteinen analogi on symplektinen ryhmä Sp(2 n , ℤ ) . . _ Yhteensopivien alaryhmien n - ulotteisen analogin roolia esittää $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operaattorin nimi {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ iso \}}.

Sitten, jos annetaan , Riemannin theta-funktio määritellään seuraavasti $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{) 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\oikea){\bigg )}.

Tässä on n - ulotteinen kompleksivektori, ja yläindeksi T tarkoittaa transponointia . Jacobi-theta-funktio on silloin erikoistapaus ja kanssa , jossa on :n ylempi puolitaso . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n = 1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

Riemannin theta - funktio konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti kompakteihin osajoukkoon . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Funktion funktionaalinen yhtälö

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

joka pätee kaikille vektoreille ja kaikille }} ja . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Poincare-sarja

Poincaré-sarja yleistää theta-sarjan automorfisiin muotoihin , joita sovelletaan mielivaltaisiin fuksialaisiin ryhmiin .

Muistiinpanot

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , s. 381-400.
↑ Mező, 2013 , s. 2401–2410.
↑ Mező, 2012 , s. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , s. 431–450.

Kirjallisuus

Yousuke Ohyama. Theta-funktioiden differentiaaliset suhteet // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , no. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sek. 16.27jj. // Matemaattisten funktioiden käsikirja . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Elliptisten funktioiden teorian elementit. - Moskova: "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1970. - (Engineer's Physical and Mathematical Library). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemannin pinnat. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (keskustelu Riemannin theta-funktiosta)
Hardy GH , Wright EM Johdatus numeroteoriaan. – 4. - Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Monimutkaisen muuttujan funktiot. - New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta-toiminnot sovelluksilla Riemannin pinnoille. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN ch. 21 // Modernin analyysin kurssi. – 4. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (History of Jacobi θ -funktiot)
Jinhee Yi. Theta-funktioiden identiteetit ja eksplisiittiset kaavat theta-funktiolle ja niiden sovelluksille // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
István Mező. q -Raabe -kaava ja neljännen Jacobin theta-funktion integraali // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , no. 2 . — S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
István Mező. Kopiointikaavat, joissa käytetään Jacobin theta-funktioita ja Gosperin q -trigonometrisiä funktioita // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , no. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Lue lisää lukemista varten

Theta-funktiot, Jacobin elliptiset funktiot // Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I. V. - Neuvostoliiton tietosanakirja, 1985. - V. 5. - (Encyclopediat, sanakirjat, hakuteokset).
Prasolov VV, Solovjov Yu. P. Algebralliset yhtälöt ja theta-funktiot. - M .: MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. Thetafunktiot kompleksisessa analyysissä ja lukuteoriassa // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Matematiikan kehitys). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schöneberg. IX. Theta-sarja // Elliptiset modulaariset toiminnot. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Kvantisointi, klassinen ja kvanttikenttäteoria ja thetafunktiot. - M. , 2003.

Linkit

Moiseev Igor. Elliptiset toiminnot Matlabille ja Octavelle . (määrätön)