Kupera kartio

Lineaarialgebran kupera kartio on vektoriavaruuden osajoukko järjestetyn kentän yli , joka on suljettu lineaaristen yhdistelmien alle positiivisilla kertoimilla.

Määritelmä

Vektoriavaruuden osajoukko on kupera kartio , jos se kuuluu mille tahansa positiiviselle skalaarille ja mille tahansa . $C$ $V$ $\alpha x+\beta y$ $C$ $\alpha ,\beta$ $x,y$ $C$

Määritelmä voidaan kirjoittaa tiiviimmin: mille tahansa positiiviselle luvulle . $\alpha C+\beta C=C$ $\alpha ,\beta$

Käsite on merkityksellinen kaikille vektoriavaruuksille, joissa on "positiivisen" skalaarin käsite, kuten avaruus rationaalisten , algebrallisten tai (useimmiten) reaalilukujen yläpuolella .

Tyhjä joukko, avaruus ja mikä tahansa avaruuden lineaarinen aliavaruus (mukaan lukien triviaali aliavaruus { 0 }) ovat konveksia kartioita tämän määritelmän mukaan. Muita esimerkkejä ovat kaikkien tulojen joukko mielivaltaisen vektorin positiivisella luvulla osoitteesta , tai avaruuden positiivinen ortantti (joukko kaikista vektoreista, joilla on positiiviset koordinaatit). $V$ $V$ $v$ $V$ $\mathbb {R} ^{n}$

Yleisempi esimerkki on kaikkien vektorien joukko siten, että a on positiivinen skalaari ja jonkin avaruuden konveksin osajoukon elementti . Erityisesti, jos on normoitu vektoriavaruus , ja se on avoin (vastaavasti suljettu) pallo in , joka ei sisällä 0:ta, tämä konstruktio antaa avoimen (vastaavasti suljetun ) kuperan ympyräkartion . $\lambda x$ $\lambda$ $x$ $X$ $V$ $V$ $X$ $V$

Kahden kuperan kartion leikkauspiste samassa vektoriavaruudessa on jälleen kupera kartio, mutta liitto ei välttämättä ole. [1] Kuverien kartioiden luokka on suljettu minkä tahansa lineaarisen kuvauksen yhteydessä . Erityisesti, jos on kupera kartio, niin konveksi kartio ja sen vastakohta , ja on suurin lineaarinen aliavaruus, joka sisältyy [2] . Tällaista aliavaruutta kutsutaan teräksi . [3] $C$ $-C$ $C\cap -C$ $C$

Kuperat kartiot ja lineaariset kartiot

Jos on kupera kartio, niin minkä tahansa positiivisen skalaarin ja minkä tahansa vektorin vektori sijaitsee . Tästä seuraa, että kupera kartio on lineaarisen kartion erikoistapaus . $C$ $\alpha$ $x$ $C$ $\alpha x=(\alpha /2)x+(\alpha /2)x$ $C$ $C$

Vaihtoehtoiset määritelmät

Yllä olevasta seuraa, että kupera kartio voidaan määritellä lineaariseksi kartioksi, joka on suljettu kuperoiden yhdistelmien tai yksinkertaisesti summauksen alla . Lyhyesti sanottuna joukko on kupera kartio silloin ja vain jos ja mille tahansa positiiviselle skalaarille . [neljä] $C$ $\alpha C=C$ $C+C=C$ $\alpha$

On myös huomattava, että ilmaus "positiiviset skalaarit " kuperan kartion määritelmässä voidaan korvata "ei-negatiivisilla skalaareilla , jotka eivät ole samanaikaisesti nolla". $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta$

Kuperan kartion ominaisuudet

Minkä tahansa määrän kuperia kartioita leikkauspiste on jälleen kupera kartio. Siten kuperat kartiot muodostavat suljetun perheen (leikkauksen avulla).
Kartiorunko on pienin kupera kartio, joka sisältää annetun joukon. $\operaattorinimi {pos}(X)$

Tylsät ja terävät kartiot

Yllä olevien määritelmien mukaan, jos on kupera kartio, niin se on myös kupera kartio. Kuperaa kartiota sanotaan teräväksi tai tylpäksi sen mukaan, kuuluuko nollavektori 0 siihen vai ei [5] . Joskus he käyttävät termejä terävä ja vastaavasti tylsä [4] [6] . $C$ ${\displaystyle C\cup \{0\))$

Tylpät kartiot voidaan sulkea pois kuperan kartion määritelmästä korvaamalla sanat "ei-negatiivinen" sanalla "positiivinen" ehdoissa, jotka on asetettu . Termiä " terävä " käytetään usein toisessa merkityksessä - suljetuille kartioille, jotka eivät sisällä täydellisiä viivoja (eli ympäröivän tilan ei-triviaalia avaruutta), toisin sanoen sitä, mitä kutsutaan "ulkoutuvaksi" kartioksi alla. $\alpha ,\beta$

Ulkonevat (terävät) kartiot

Kupera kartio on litteä , jos se sisältää jonkin nollasta poikkeavan vektorin ja sen vastakohdan ja ulkonevan muuten [6] . Ulkonevia kartioita kutsutaan usein myös akuutteiksi . $x$ $-x$

Tylsä kupera kartio on aina ulkoneva kartio, mutta päinvastoin ei aina pidä paikkaansa. Kupera kartio on ulkoneva jos ja vain jos . Eli jos ja vain jos ei sisällä ei-triviaalista lineaarista aliavaruutta . $C$ ${\displaystyle C\cap -C\subseteq \{0\))$ $C$ $V$

Monitahoiset kartiot

Vuonna 1935 G. Weyl todisti seuraavan kahden monitahoisen kartion määritelmän vastaavuuden :

Monitahoinen kartio on joukko lineaarisia yhdistelmiä, joissa on ei-negatiiviset kertoimet kiinteästä äärellisestä joukosta vektoreita . Näitä vektoreita kutsutaan kartiogeneraattoreiksi . $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i }\in \mathbb {R} ^{n}\}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i))$
Monitahoinen kartio on rajallisen joukon (suljettuja) puoliavaruuksia leikkauspiste, jonka kantava hypertaso kulkee origon kautta. Vastaavasti voidaan puhua ratkaisujoukosta homogeenisten lineaaristen epäyhtälöiden äärelliselle joukolle.

Rationaaliset monitahoiset kartiot

Monitahoista kartiota kutsutaan rationaaliseksi , jos kaikilla sen generaattoreilla on kokonaislukukoordinaatit.

Puolivälilyönnit

Avaruuden hypertaso (lineaarinen) on avaruuden suurin mahdollinen lineaarinen aliavaruus . Avaruuden avoin (vastaavasti suljettu ) puoliavaruus on ehdon (vast. ) määrittelemä avaruuden osajoukko , jossa on mikä tahansa skalaarien lineaarinen funktio kentässään. Yhtälön määrittelemä hypertaso on rajaava hypertaso . $V$ $V$ $V$ $H$ $V$ $L(x)>0$ $L(x)\geqslant 0$ $L$ $V$ $L(v)=0$ $H$

Puolivälit (avoin tai suljettu) ovat kuperia kartioita. Jokaisen kupera kartio , joka ei ole koko tila, on kuitenkin sijoitettava johonkin tilan suljettuun puoliavaruuteen . Itse asiassa topologisesti suljettu kupera kartio on kaikkien sen sisältävien suljettujen puoliavaruuksien leikkauspiste. Samanlainen väite pätee topologisesti avoimelle kuperalle kartiolle. $C$ $V$ $H$ $V$

Avaruuden täydellinen puoliavaruus määritellään rekursiivisesti seuraavasti: jos sen ulottuvuus on nolla, niin se on joukko , muuten se on avaruuden avoin puoliavaruus yhdessä rajaavan hypertason täydellisen puoliavaruuden kanssa [ 7] . Toisin sanoen tämä on analoginen puolivälilyöntien lipun käsitteelle. $V$ $V$ $\{0\}$ $H$ $V$ $H$

Mikä tahansa täydellinen puolitila on ulkoneva, ja lisäksi mikä tahansa ulkoneva kartio sisältyy täydelliseen puolitilaan. Toisin sanoen täydelliset puolivälit ovat maksimaalisia ulkonevia kartioita (inkluusio). Voidaan osoittaa, että mikä tahansa akuutti ulkoneva kartio (riippumatta siitä onko se topologisesti suljettu vai avoin) on kaikkien sitä sisältävien täydellisten puoliavaruuksien leikkauspiste.

Kuverien joukkojen leikkaus ja projektio

Tasoosa

Avaruuden affiininen hypertaso on mikä tahansa muodon avaruuden osajoukko , jossa on vektori ja on (lineaarinen) hypertaso. $V$ $V$ $v+H$ $v$ $V$ $H$

Seuraava väite seuraa inkluusio-ominaisuudesta puolivälissä. Antaa olla avoin puoli-avaruus ja , Jossa on raja hyperplane ja on mikä tahansa vektori . Antaa olla lineaarinen kartio sisältyvät . Silloin on kupera kartio silloin ja vain, jos joukko on hypertason kupera osajoukko (eli joukko, joka on suljettu kuperayhdistelmien alla ). $K$ $V$ $A=H+v$ $H$ $K$ $v$ $K$ $C$ $K$ $C$ $C'=C\cap A$ $A$

Tämän tuloksen seurauksena kaikilla konveksien joukkojen ominaisuuksilla affiinissa avaruudessa on analogi kiinteään avoimeen puoliavaruuteen sisältyville kuperille kartioille.

Pallomainen leikkaus

Jos annetaan normi | • | avaruudessa määritämme yksikköpallon joukoksi _ _ $V$ $V$

S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.

Jos arvot | • | ovat skalaarit in , niin viivakartio in on kupera kartio silloin ja vain jos sen pallomainen leikkaus (sen vektoreiden joukko yksikkönormilla ) on konveksi osajoukko seuraavassa merkityksessä: mille tahansa kahdelle vektorille , joiden kaikki vektorit ovat lyhimmällä polulla alkaen makaa sisään . _ $V$ $C$ $V$ $C\cap S$ $S$ $u,v\in C$ $u\neq -v$ $u$ $v$ $S$ $C$

Kaksoiskartio

Olkoon kupera kartio todellisessa vektoriavaruudessa skalaaritulolla . Kaksoiskartio k on joukko [8] [9] $C\subset V$ $V$ $C$

\{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geqslant 0\}.

Se on myös kupera kartio. Jos se osuu samaan duaalinsa kanssa, sitä kutsutaan itseduaaliksi . $C$ $C$

Toinen yleinen määritelmä kaksoiskartiolle for on kartio kaksoisavaruudessa : $C\subset V$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $V^{\ast }$

C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geqslant 0\right\}.

Toisin sanoen, jos on avaruuden kaksoisavaruus , niin kaksoiskartio on joukko lineaarisia funktioita, jotka eivät ole negatiivisia kartiolla . Jos hyväksymme, että on jatkuva kaksoisavaruus , tämä on joukko jatkuvia lineaarisia funktioita, jotka eivät ole negatiivisia . [10] Tällainen määritelmä ei edellytä sisätuotteen läsnäoloa avaruudessa . $V^{\ast }$ $V$ $C$ $V^{\ast }$ $C$ $V$

Äärillisissä ulotteisissa avaruudessa kaksoiskartion molemmat määritelmät ovat olennaisesti samanarvoisia, koska mikä tahansa sisätulo liittyy lineaariseen isomorfismiin (ei-degeneroitu lineaarinen mappaus) välillä - , ja tämä isomorfismi ottaa kaksoiskartion (to ) toisesta määritelmästä. kaksoiskartioon ensimmäisestä määritelmästä. $V^{\ast }$ $V$ $V^{\ast }$

Osittainen järjestys määritellään kuperalla kartiolla

Terävä ulkoneva kupera kartio luo osittaisen järjestyksen " " päälle , joka määritellään siten , että jos ja vain jos . (Jos kartio on litteä, sama määritelmä antaa vain ennakkojärjestyksen .) Summat ja kertominen positiivisella skalaarilla oikean epäyhtälön suhteen tuohon järjestykseen antavat jälleen oikeat epäyhtälöt. Tällaisen järjestyksen omaavaa vektoriavaruutta kutsutaan järjestetyksi vektoriavaruudeksi . Kartio $C$ $\leqslant$ $V$ $x \leqslant y$ $yx\in C$

P=\left\{x:x\in V,x\geqslant 0\right\}.

kutsutaan positiiviseksi kartioksi [6] .

Esimerkkejä ovat järjestystulo [11] reaalivektoreissa ( ) ja Löwnerin järjestys [12] $\mathbb {R} ^{n}$

Oikea kupera kartio

Termi varsinainen ( kupera ) kartio määritellään eri tavoin kontekstista riippuen. Se tarkoittaa usein ulkonevaa kuperaa kartiota, joka ei sisällä avaruuden hypertasoa , ehkä muita rajoituksia, kuten topologinen sulkeutuminen (ja siksi kartio on terävä) tai topologinen avoimuus (kartio on tylppä) [13] . Jotkut kirjoittajat käyttävät termiä "kiila" siitä, mitä tässä artikkelissa kutsutaan kuperaksi kartioksi, ja termi "kartio" viittaa siihen, mitä artikkelissa kutsutaan esiin työntyväksi teräväksi kartioksi tai mitä on juuri kutsuttu oikeaksi. kupera kartio. $V$

Esimerkkejä kuperista kartioista

Olkoon Hilbert-avaruuden suljettu konveksi osajoukko , pisteestä joukolle normaalikartio on annettu kaavalla. [2] $K$ $V$ $K$ $x$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \geqslant 0\ oikea\}.

Olkoon avaruuden suljettu konveksi osajoukko , tangenttikartio joukolle pisteestä saadaan kaavalla [14] $K$ $V$ $K$ $x$

T_{K}(x)=\overline {\bigcup _{{h>0}}{\tfrac {1}{h}}(Kx)}.

Olkoon Hilbertin avaruuden suljettu konveksi osajoukko , ulompi normaalikartio joukolle pisteestä saadaan kaavalla [15] $K$ $V$ $K$ $x$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \leqslant 0\right\} .

Kun Hilbert-avaruuden suljettu konveksi osajoukko on annettu , joukon tangenttikartio pisteestä alkaen voidaan määritellä polaariseksi kartioksi ulompaan normaalikartioon : [16] [17] $K$ $V$ $K$ $x$ $K$ $N_{K}(x)$

Normaalit ja tangenttikartiot ovat suljettuja ja kuperia. Ne ovat tärkeitä käsitteitä konveksin ohjelmoinnin , variaatioepäyhtälöiden alalla .

Katso myös

Liittyvät yhdistelmät

Muistiinpanot

↑ Rockafellar, 1973 , s. kolmekymmentä.
↑ 1 2 Rockafellar, 1973 , s. 32.
↑ Krasnoselsky, Lifshits, Sobolev, 1985 , s. 9.
↑ 1 2 Bourbaki, 1959 , s. kolmekymmentä.
↑ Zorkaltsev, Kiseleva, 2007 .
↑ 1 2 3 Edwards, 1969 , s. 194.
↑ Stolfi, 1991 , s. 139.
↑ Panina, 2009 .
↑ Boyd, Vandenberghe, 2004 .
↑ Kutateladze, 2009 , s. 1127.
↑ Tavallinen tuote on osittain tilattujen sarjojen suorasta tuotteesta luotu tilaus. Katso lisätietoja Stanley, 1990 .
↑ Löwnerin järjestyksen määritelmä löytyy julkaisusta Marshall, Olkin, 1983
↑ Schaefer, 1971 , s. 258.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , s. 171.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , s. 62.
↑ Rockafellar, 1973 , s. 138.
↑ Leuchtweis, 1985 , s. 54.

Linkit

Nicholas Bourbaki. Topologiset vektoriavaruudet. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1987. - (Matematiikan elementit). — ISBN 978-3-540-13627-9 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Kupera optimointi. - Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Kapkaupunki, Singapore: Cambridge University Press, 2004. - s. 51. - ISBN 78-0-521-83378-3.

Käännös venäjäksi: N. Bourbaki. Topologiset vektoriavaruudet. - Moskova: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantaja, 1959. - (Matematiikan elementit).

RT Rockafellar. Kupera analyysi . - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970.

Käännös venäjäksi: R. Rockafellar. Kupera analyysi. - Moskova: Mir, 1973.

C. Zălinescu. Konveksi analyysi yleisissä vektoriavaruuksissa. - River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. - s. xx+367. - ISBN 981-238-067-1 .
V. I. Zorkaltsev, M. A. Kiseleva. Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmät (oppikirja). - Irkutsk: IGU, 2007. - S. 21 Luku 1.5 Kartiot.
M.A. Krasnoselsky, E.A. Lifshitz, A.V. Sobolev. POSIIVISET LINEAARISET JÄRJESTELMÄT – Positiivisten operaattoreiden menetelmä. - "Nauka", fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1985. - (Systeemianalyysin teoria ja menetelmät).
Stolfi. Oriented Projective Geometry: Framework for Geometric Computations. - San Diego, Lontoo: Academic Press, Inc., 1991. - ISBN 0-12-672025-8 .
Moreau JJ Lakaisuprosessin numeeriset näkökohdat. Comput. MethodsApp. Mech. Engrg. 177 (1999) 329-349 https://web.archive.org/web/20150616073514/http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf
A. Marshall, I. Olkin. Epätasa-arvot: majorisaatioteoria ja sen sovellukset. - M . : "Mir", 1983.
R. Stanley. Enumeratiivinen kombinatoriikka. - M . : "Mir", 1990. - ISBN 5-030001348 -2.
P. Panaginotopoulos. Mekaniikan epäyhtälöt ja niiden sovellukset: Energian konveksit ja ei-konveksit funktiot. - M . : "Mir", 1989. - ISBN 5-03-000498-X .
K. Leuchtweiss. Kupera sarja. - Moskova: "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1985. - ISBN 5-03-000498-X .
Panina G.Yu. Toric lajikkeet. Johdatus algebralliseen geometriaan. - Dubna, 2009.
R. Edwards. Toiminnallinen analyysi: teoria ja sovellukset. - M . : "Mir", 1969.
H. Schäfer. Topologiset vektoriavaruudet. - M . : "Mir", 1971.
S. S. Kutateladze. Monikäyttöiset kuperan geometrian ongelmat // Siberian Mathematical Journal. - "Mir", 2009. - V. 50 , no. 5 .