Kovarianssi ja kontravarianssi (matematiikka)

Kovarianssi ja kontravarianssi - käytetään matematiikassa ( lineaarinen algebra , differentiaaligeometria , tensorianalyysi ) ja fysiikassa käsitteitä, jotka kuvaavat, miten tensorit ( skalaarit , vektorit , operaattorit , bilineaariset muodot jne.) muuttuvat, kun kantaa muunnetaan vastaavissa avaruudessa tai monissa . KontravarianttiNiitä kutsutaan "tavallisiksi" komponenteiksi, jotka avaruuden kantaa vaihdettaessa muutetaan kantamuunnokselle käänteisellä muunnolla. Kovariantti - ne, jotka muuttuvat samalla tavalla kuin perusta.

Yhteys tensorin kovarianttien ja kontravarianttien koordinaattien välillä on mahdollista vain avaruudessa, jossa on annettu metrinen tensori (ei pidä sekoittaa metriseen avaruuteen ).

Sylvester otti käyttöön termit kovarianssi ja kontravarianssi vuonna 1853 invarianttien algebrallisen teorian tutkimukseen.

Kovarianssi ja kontravarianssi vektoriavaruuksissa

Kontravariantti- ja kovarianttivektorit

Olkoon jokin äärellinen vektoriavaruus , ja siinä on jokin perusta . Satunnainen vektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä: . Merkintämerkinnän yksinkertaistamiseksi (ja jäljempänä selvittävistä syistä) merkitsemme koordinaatit yläindeksillä ja hyväksymme Einsteinin säännön: jos lausekkeeseen osallistuvat samat monitasoiset indeksit, niiden päälle oletetaan summaus. Joten voimme kirjoittaa: . Asetetaan uusi kanta käyttämällä muunnosmatriisia . Samoista syistä otamme käyttöön ala- ja yläindeksit (jotta emme kirjoita summamerkkejä) - . Sitten (oletetaan summaus indeksin j yli). Käänteismatriisia merkitsemällä voimme kirjoittaa: . Korvaamalla tämän kaavan vektorin x koordinaattiesitykseen, saadaan: . Siten vektorin koordinaatit uudessa kannassa osoittautuvat yhtäläisiksi , eli ne muunnetaan "vastakohtaisesti" (käänteisesti) kantan muutokselle. Tästä syystä tällaisia vektoreita kutsutaan kontravarianteiksi - muuttuvat päinvastoin kuin perusta. Kontravarianttivektorit ovat tavallisia vektoreita. Koordinaattiesityksen vastakkaiset vektorit kirjoitetaan yleensä "sarakevektoriksi". Ylempää eli contravariant -indeksiä käytetään ristiriitaisten vektorien tunnistamiseen. $V$ $e_{i},i=1..n$ $x$ $x=\summa _{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i}$ $x=x^{i}e_{i}$ $S$ $S_{i}^{j}$ $e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}$ $T=S^{{-1}}$ $e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}$ $x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}$ $x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}$

Kaikkien vektoreita lukuihin kuvaavien lineaarifunktioiden avaruutta kutsutaan kaksoisavaruudeksi . Se on myös vektoriavaruus, jonka ulottuvuus on sama kuin kantaavaruus. Tässä tilassa on myös mahdollista määritellä perusta. Merkitään kaksoisavaruuden kannan alkioita yläindeksillä . Mikä tahansa funktio voidaan esittää tässä pohjassa koordinaatteina, jotka merkitään alaindeksillä. Sitten Einsteinin sääntöä soveltaen voidaan kirjoittaa: , eli mikä tahansa lineaarinen funktio voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti numerojoukoksi , kuten tavallinen vektori (paitsi alempi indeksin sijainti). $V^*$ $g^{i}$ $f=f_{i}g^{i}$ $f_{i}$

Valitaan kaksoisavaruudessa kanta siten, että , eli nämä funktionaalit löytävät vektorin :nnen koordinaatin (projektion kantavektoriin ). Tällaista perustaa kutsutaan duaaliksi (pääavaruuden pohjalle). Pääavaruuden perustaa vaihdettaessa tämä ehto on säilytettävä, eli . Siten kaksoiskanta muuttuu käänteisesti pääkannan muutokseen nähden. Mielivaltaisen lineaarifunktion koordinaatit muuttuvat päinvastoin kuin omat kantansa (kuten missä tahansa avaruudessa), eli matriisin avulla . Siksi ne muuttuvat samalla tavalla kuin pääperusta. Tätä ominaisuutta kutsutaan kovarianssiksi . Itse lineaarisia funktionaalisia funktioita duaalikantaisessa koordinaattiesityksessä kutsutaan kovariantivektoreiksi tai lyhyesti kovektoreiksi . Ulkoisesti kovektori "näyttää" säännölliseltä vektorilta siinä mielessä, että sen koordinaatit edustavat säännöllistä numerosarjaa. Kovektorin ja kontravarianttivektorin ero piilee säännössä sen koordinaattien muuntamisesta kantaa vaihdettaessa: ne muunnetaan kuten kanta, toisin kuin kontravariantit vektorit, jotka muunnetaan vastakkain kantaa vastaan. Kovektorit koordinaattimuodossa kirjoitetaan "rivivektoreiksi". Alempaa eli kovarianttia indeksiä käytetään kovektorien tunnistamiseen . $g^{i}(x)=x^{i}$ $i$ $e_{i}$ $g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)$ $f_{i}$ $T^{{-1}}=S$

Tensorien kontravarianssi ja kovarianssi

Se mitä on sanottu vektorien kontravarianssista ja kovarianssista, voidaan yleistää objekteihin, joilla on useita indeksejä - tensoreja , joista erikoistapauksia ovat vektorit ja kovektorit.

Analogisesti lineaarifunktion kanssa harkitse funktiota, joka yhdistää useita ( ) avaruusvektoreita tiettyyn määrään, jolla on lineaarisuuden ominaisuus jokaisessa vektorissa. Nämä ovat niin sanottuja multilineaarisia funktioita . Voidaan osoittaa, että kaikki -lineaariset funktiot muodostavat lineaariavaruuden, johon voidaan myös ottaa kanta ja esittää mielivaltainen -lineaarifunktio koordinaattimuodossa. Voidaan myös osoittaa, että niiden koordinaatit muuntuvat kantaavaruuden kantaksi (kuten myös kovarianttivektorit). Siksi tällaisia multilineaarisia funktioita kutsutaan kertaa kovarianttitensoreiksi . Ne on kirjoitettu alaindeksillä. Esimerkiksi kaksinkertainen kovarianttitensori merkitään nimellä . $k$ $V$ $k$ $k$ $k$ $A_{{ij}}$

Vastaavasti voidaan tarkastella multilineaarisia funktioita, jotka eivät ole pääavaruudessa, vaan duaaliavaruudessa , joiden joukko muodostaa myös lineaariavaruuden , joka on duaali . Kaksoiskantaisessa koordinaattiesityksessä ne muunnetaan samalla tavalla kuin avaruuden kanta , ja siksi päinvastoin kuin pääavaruuden kanta . Toisin sanoen niillä on kontravarianttiominaisuus, ja niitä kutsutaan kertaa kontravarianttitensoriksi . Ne on merkitty yläindeksillä. Erityisesti kaksoiskontravarianttitensori kirjoitetaan muodossa . $V^*$ $V^{**}$ $V^*$ $V^*$ $V$ $k$ $A^{{ij}}$

Tavallisesti käsitellyille avaruuksille voidaan pitää ns. kanonista isomorfismia ja eli näitä avaruuksia erottamattomina. Siksi 1-kertaista kontravarianttitensoria voidaan pitää samana kuin tavallinen kontravarianttivektori. $V$ $V^{**}$

Yleistäen yllä olevat määritelmät, voidaan tarkastella vektorien ja kovektorien multilineaarisia funktioita samanaikaisesti. Vastaavasti kantaa vaihdettaessa tällaisen funktion koordinaattitietue muunnetaan sekä pääkannan muunnosmatriisin (multilineaariseen funktioon osallistuvien kovektorien lukumäärässä) että sen käänteisen (vektorien lukumäärässä) mukana. monilineaarisesta funktiosta). Vastaavaa tensoria kutsutaan m kertaa kontravariantiksi ja k kertaa kovariantiksi - . Alaindeksiä käytetään kovarianteille komponenteille ja yläindeksiä vastakkaisille komponenteille. Esimerkiksi 1-kertainen kontravariantti ja 1-kertainen kovarianttitensori on merkitty . Indeksien kokonaismäärää kutsutaan tensorin arvoksi tai valenssiksi . Tensorin komponentit ovat monilineaarisen funktion arvoja perusvektoreiden perusteella. Esimerkiksi . $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $k+m$ $A^i_j = A(e^i, e_j)$

Samojen monitasoisten tensoriindeksien summausoperaatiota kutsutaan konvoluutioksi näiden indeksien yli. Kuten edellä mainittiin, Einsteinin säännön mukaan summamerkki ohitetaan. Indeksiparin tensorikonvoluution seurauksena sen arvo laskee 2:lla. Esimerkiksi jonkin kontravariantin vektorin kartoitus jollakin lineaarioperaattorilla tensorimerkinnässä näyttää tältä . Lineaariset operaattorit ovat klassinen esimerkki tyyppitensorista . $y^i= A^i_j x^j$ $T_{1}^{1}$

Tyyppitensoria muunnettaessa kantaa muuttaessa käytetään suoraa kantamuunnosmatriisia m kertaa ja käänteismatriisia k kertaa. Esimerkiksi tyyppitensori , kun muutetaan kantaa, muunnetaan seuraavasti: $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $T_{1}^{1}$

$A^{i'}_{j'} = T^q_{j'} S^{i'}_p A^p_q$

Yleensä on ymmärrettävä, että objekti itsessään ei riipu sen edustuksesta perustassa. Kaikki muunnokset ovat saman objektin (tensorin) esityksiä.

Metrinen tensori

Jos skalaaritulo lisätään lineaariseen avaruuteen - bilineaariseen muotoon (tai tensoriterminologiassa - kaksoiskovariantiseen tensoriin ), jolla on symmetrian ja ei-degeneroitumisen ominaisuuksia, niin tällaisia avaruuksia (ääriulotteisia) kutsutaan euklideisiksi (edellyttäen että vastaava neliömuoto on positiivinen määrätty ) tai pseudoeuklidinen (rajoittamatta etumerkin neliömuotoa). Tätä bilineaarista muotoa vastaavaa tensoria kutsutaan metriseksi tensoriksi . Tämän tensorin komponentit annetussa kannassa . Jos tämä kanta on ortonormaali (sellainen kanta on aina olemassa (pseudo)euklidisessa avaruudessa), niin komponenttien matriisi on diagonaalinen. Euklidisen avaruuden tapauksessa diagonaalissa on niitä (identiteettimatriisi). Pseudoeuklidisen avaruuden tapauksessa diagonaalissa on yksiköiden lisäksi myös "miinusyksiköitä". Yleisessä tapauksessa kantakannat eivät kuitenkaan välttämättä ole ortogonaalisia, joten metristä tensoria voidaan esittää myös diagonaalista poikkeavalla matriisilla (kuitenkin "litteässä" avaruudessa on aina kantamuunnos, joka tuo sen diagonaaliseen muotoon) . $g$ $g(x,x)$ $g_{{ij}}=g(e_{i},e_{j})$

Metrisensorin avulla skalaaritulo voidaan kirjoittaa muodossa . Avaruksissa, joissa on sisätulo, on avaruuden ja kaksoisavaruuden kanoninen isomorfismi , eli jokainen vektori liittyy kovektoriin ja päinvastoin. Tämä vastaavuus suoritetaan täsmälleen skalaaritulon tai tensorimerkinnässä metrisen tensorin avulla. Nimittäin voimme kirjoittaa . Tätä toimintoa kutsutaan indeksin laskemiseksi tai laskemiseksi . Käänteinen vastaavuus tehdään käyttämällä kontravarianttimetristä tensoria . Tätä toimintoa kutsutaan indeksin nostamiseksi tai nostamiseksi . On helppo osoittaa, että kovarianttien ja kontravarianttien metristen tensorien matriisit ovat keskenään käänteisiä, eli . Skalaaritulo voidaan ilmaista sekä kontravariantti- että kovarianssivektoreissa: . $g(x,y)=g_{{ij}}x^{i}y^{j}$ $V$ $V^*$ $x_{i}=g_{{ij}}x^{j}$ $x^{j}=g^{{ij}}x_{i}$ $g_{{ik}}g^{{kj}}=\delta _{i}^{j}$ $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j$

Euklidisen avaruuden ortonormaalisen kantan tapauksessa metristensori on identiteettimatriisi, joten koordinaattimerkinnän kovarianttivektori osuu yhteen kontravariantin kanssa. Siksi tässä tapauksessa vektoreiden jakaminen kontravariantteihin ja kovariantteihin ei ole välttämätöntä. Kuitenkin, vaikka perusta olisi ei-ortogonaalinen ja (tai) avaruus on pseudoeuklidinen, tällainen erottelu on tärkeä. Pseudoeuklidisessa avaruudessa ortogonaalisessa pohjassa kovektorit eroavat joidenkin koordinaattien etumerkeissä tavallisesta vektorista. Vektori- ja kovektorijärjestelmä antaa tässä tapauksessa mahdollisuuden kirjoittaa kaava vektorin pituuden neliölle samalla tavalla kuin euklidisen avaruuden tapauksessa . Ei-ortogonaalisten (vinokulmaisten) emästen tapauksessa euklidisissa (pseudoeuklidisissa) avaruudessa metristensori, joka muuttaa kontravariantit vektorit kovarianteiksi, ei ole diagonaalinen. Tässä tapauksessa vektorin pituus kirjoitetaan samalla tavalla kuin euklidisessa avaruudessa kontravariantti- ja kovarianttivektorien avulla. Kaikilla näillä tapauksilla on yksi yhteinen piirre - metrisellä tensorilla (tietyllä perusteella) on sama matriisi kaikille avaruuden pisteille (vektoreille). $x_ix^i$

Avaruuksissa, joissa on metristensori, "kovarianttivektori" ja "kontravarianttivektori" ovat itse asiassa saman geometrisen kohteen - tavallisen vektorin tai kovektorin - eri esityksiä (tietueita numerojoukona) . Toisin sanoen sama vektori voidaan kirjoittaa kovariantiksi (eli joukkona kovariantteja koordinaatteja) ja kontravariantiksi (eli joukoksi kontravariantteja koordinaatteja). Samaa voidaan sanoa kovektorista. Muunnos esityksestä toiseen tapahtuu yksinkertaisesti konvoluutiolla metrisen tensorin avulla . Sisällöllisesti vektorit ja kovektorit erottuvat toisistaan vain sen perusteella, mikä esityksistä on niille luonnollista. Tavallisen vektorin luonnollinen esitys on kontravarianttiesitys. Kovarianttivektorille on luonnollista konvoloida tavallisten vektoreiden kanssa ilman metriikan osallistumista. Esimerkki kovarianttivektorista on skalaarifunktion gradientti . Sen konvoluutio kontravariantin (tavallisen) vektorin kanssa antaa invariantin - funktion differentiaalin . Jos siis hyväksymme avaruudet tavallisiksi vektoreiksi, niin gradientin tulee olla kovektori, jotta metristä tensoria ei tarvitse käyttää taittamisessa. Samaan aikaan vektorit itse vaativat metrisen tensorin käyttöä, kun ne romahtavat samojen vektorien kanssa . ${\mathbf {grad}}f({\mathbf {x}})={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f$ $dx^{i}$ $df(x)$ $dx^{i}$ $dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Jos puhumme tavallisesta fysikaalisesta avaruudesta, yksinkertainen merkki vektorin kovarianssi-kontravarianssista on se, kuinka sen luonnollinen esitys konvoloidaan tilasiirtymäkoordinaattien joukolla , joka on esimerkki kontravariantista vektorista. Ne, jotka konvoloivat yksinkertaisella summauksella ilman metriikan osallistumista, ovat kovarianttivektoreita, ja ne, joihin liittyy metriikka, ovat kontravariantteja. Jos avaruus ja koordinaatit ovat niin abstrakteja, että pää- ja kaksoiskantaa ei voida erottaa millään muulla tavalla kuin mielivaltaisella ehdollisella valinnalla, niin merkityksellinen ero kovarianttien ja kontravarianttien vektorien välillä katoaa tai muuttuu myös puhtaasti ehdolliseksi. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Usein kovarianttivektori, varsinkin fysikaalisessa kirjallisuudessa, on minkä tahansa vektorin (eli vektorin tai kovektorin, tangentin tai kotangenttiavaruuden vektorin) hajoaminen duaalikannassa. Sitten puhumme minkä tahansa objektin kovarianttien koordinaattien joukosta, mutta yleensä he kuitenkin yrittävät kirjoittaa jokaisen objektityypin sille luonnolliselle perustalle, joka vastaa päämääritelmää.

Yleistys kaareviin kantakantoihin ja kaareviin tiloihin

Euklidisen (pseudoeuklidisen) avaruuden koordinaatit voivat olla myös kaarevia. Klassinen esimerkki kaarevista koordinaateista on napakoordinaatit euklidisella tasolla. Tässä tapauksessa koordinaattikantoja voidaan pitää lineaarisina vain tietyn pisteen äärettömän pienissä lähiöissä. Siksi riittävän lähellä olevien pisteiden neliöidyn etäisyyden lauseke pysyy voimassa: . Kaarevien koordinaattien tapauksessa metrinen tensori muuttuu pisteestä toiseen. Siten se on tensorikenttä - jokainen piste avaruudessa liittyy johonkin metriseen tensoriin. $dx^{i}$ $(dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Yleisempi tilanne on kaarevien tilojen – Riemannin (pseudo-Riemannin) monistojen tapauksessa. Kaareva tila voidaan visualisoida kaksiulotteisen pinnan tapauksessa - jokin sileä kaareva pinta kolmiulotteisessa avaruudessa (esimerkiksi pallomainen pinta). Tällaisen pinnan sisägeometria (kaareva) on kaarevan tilan geometria. Yleisessä tapauksessa kaarevan avaruuden ulottuvuus , se voidaan ajatella mielivaltaisena (kaarevana) hyperpintana korkeamman ulottuvuuden tilassa. Tasaisille monistoille , joilla on laskettava kanta , on todistettu Whitneyn upotuslause , jonka mukaan mikä tahansa tällainen ulottuvuus on upotettu "tasaiseen" (eli ei-kaarevaan euklidiseen tai näennäis-euklidiseen) ulottuvuusavaruuteen . $n$ $n$ $2n$

Kaarevassa avaruudessa ortogonaalisia ja yleensä lineaarisia koordinaattikantoja ei välttämättä ole olemassa. Yleisessä tapauksessa on käsiteltävä täsmälleen kaarevia kantoja. Tässä tapauksessa kaiken edellä mainitun kovariantti- ja kontravarianttivektorien formalismin käytöstä ei tule vain erityisen tärkeää, vaan siitä tulee väistämätöntä.

Yleiset määritelmät

Kaarevien koordinaattien tai kaarevien avaruuksien tapauksessa uudet koordinaatit ovat yleisesti ottaen vanhojen koordinaattien epälineaarisia funktioita: . Vanhojen koordinaattien äärettömän pienille muutoksille uusien koordinaattien muutokset voidaan määrittää ilmaistujen funktioiden jakobilaisena: $x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})$ $dx^{j}$

$dx'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

Mikä tahansa vektori , joka muuntuu samalla tavalla kuin , ts. $v$ $dx^{i}$

$v'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}$

kutsutaan kontravarianttivektoriksi .

Jos kyseessä on koordinaattien skalaarifunktio, harkitse sen gradienttia . Kun siirrymme muihin koordinaatteihin, meillä on: $f(x)$ ${\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i))}$

${\frac {\partial f(x)}{\partial x'^{i))}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j))}{\frac {\partial x^{j}}{\osittainen x'^{i}}}$

Mikä tahansa vektori , joka muuntuu samalla tavalla kuin gradientti, ts. $u$

$u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}u_{j}$

kutsutaan kovarianttivektoriksi .

Vastaavasti kerran kontravariantti ja kerran kovarianttitensori (tensori tyyppi ) on objekti, joka muuntuu, kun kantaa muutetaan käyttämällä "käänteistä" muunnosta kerran ja "suoraa" muunnosa kerran . $m$ $k$ $T_{k}^{m}$ $m$ ${\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}$ $k$ ${\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$

Esimerkiksi kaksoiskontravarianttitensori ja kaksinkertaisesti kovarianttitensori muunnos seuraavien lakien mukaisesti: $A^{{ij}}$ $A_{{ij}}$

{A'}^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x^p}A^{pq}

{A'}_{ij}=\frac {\osittinen x^q}{\osittais x'^i}\frac {\osittinen x^p}{\osittainen x'^j}A_{pq}

Ja 1-kertaisen kontravariantin ja 1-kertaisen kovariantin tensorin muunnokset näyttävät tältä:

{A'}^j_i=\frac {\partial x^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x^q}A^q_p

Yleensä sen osoittamiseksi, että tensorin komponentit muunnetaan uuteen kantaan alkuluvulla, alkuluku merkitään tensorin vastaaviin indekseihin, ei sen kirjainmerkintään, jolloin yllä olevat kaavat kirjoitetaan seuraavasti

A^{i'j'}=\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^q}\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^p}A^{ pq},\qquad A_{i'j'}=\frac {\partial x^q}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^p}{\partial x^{j'} }A_{pq},\qquad A^{j'}_{i'}=\frac {\partial x^p}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^{j'} }{\partial x^q}A^q_p

Algebra ja geometria

Kategoriteoriassa funktorit voivat olla kovariantteja ja kontravariantteja . Vektoriavaruuden kaksoisavaruus on standardiesimerkki kontravariantista funktorista. Jotkut monilineaarisen algebran rakenteet ovat sekoitettuja , eivätkä ne ole funktoreita.

Geometriassa sama kuvaus eroaa avaruudessa tai avaruuden ulkopuolella, mikä mahdollistaa rakenteen varianssin määrittämisen. Tasaisen moniston M tangenttivektori pisteessä P on M :n käyrien ekvivalenssiluokka, jotka kulkevat annetun pisteen P kautta . Siksi se on kontravariantti tasaisen kuvauksen M alla . Kovarianttivektori tai kovektori konstruoidaan samalla tavalla tasaisesta kuvauksesta M :stä reaaliakselille P :n ympärillä kotangenttikimppuun, joka on konstruoitu tangenttikipun kaksoisavaruuteen.

Kovariantti- ja kontravarianttikomponentit muunnetaan eri tavoin muunneltaessa kantaa ja vastaavasti koordinaatteja, jos otetaan, kuten yleensä tehdään, koordinaattikannat. .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne. Gravitaatio (uuspr.) . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Kirjallisuus

Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differentiaaligeometria , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
Kilchevsky N. A. Tensorilaskennan elementit ja sen sovellukset mekaniikassa, Gostekhizdat 1954