Suurin kompakti alaryhmä

Topologisen ryhmän G maksimaalinen kompakti alaryhmä K on kompakti tila , jossa on indusoitu topologia , joka on maksimaalinen kaikkien alaryhmien joukossa. Maksimikompakteilla alaryhmillä on tärkeä rooli Lie-ryhmien luokittelussa ja erityisesti puoliyksinkertaisten Lie-ryhmien luokittelussa. Lie-ryhmien maksimaaliset kompaktit alaryhmät eivät ole ainutlaatuisia yleisessä tapauksessa, mutta ne ovat ainutlaatuisia konjugaatioon asti - ne ovat olennaisesti konjugoituja .

Esimerkki

Esimerkkinä käytämme alaryhmää O(2), ortogonaalista ryhmää yleisen lineaarisen ryhmän GL(2, R ) sisällä . Tähän liittyvä esimerkki on ympyräryhmä SO(2) ryhmän SL(2, R ) sisällä. On selvää, että SO(2) ryhmän SL(2, R ) sisällä on kompakti eikä maksimaalinen. Näiden esimerkkien epäainutlaatuisuus voidaan nähdä siitä tosiasiasta, että mihin tahansa skalaarituloon liittyy ortogonaalinen ryhmä ja olennainen ainutlaatuisuus vastaa skalaaritulon olennaista ainutlaatuisuutta.

Määritelmä

Maksimaalinen kompakti alaryhmä on maksimaalinen alaryhmä kompaktien alaryhmien joukossa - maksimaalinen (kompakti alaryhmä) - eikä (vaihtoehtoinen mahdollinen luku) maksimialaryhmä , joka osoittautuu kompaktiksi, jota pitäisi kutsua kompaktiksi (maksimaalinen alaryhmä) , mutta ei vain maksimaalinen ryhmä (ja itse asiassa suurin oikea alaryhmä ei yleensä ole kompakti).

Olemassaolo ja ainutlaatuisuus

Cartan-Iwasawa-Maltsev-lause sanoo, että missä tahansa yhdistetyssä Lie-ryhmässä (ja lisäksi millä tahansa paikallisesti kompaktilla ryhmällä) on maksimaaliset kompaktit alaryhmät ja että ne kaikki ovat konjugoituja toisiinsa. Puoliyksinkertaiselle Lie-ryhmälle ainutlaatuisuus on seurausta Cartanin kiinteän pisteen lauseesta, jonka mukaan jos kompakti ryhmä toimii isometrian avulla täydelliseen, yksinkertaisesti yhdistettyyn negatiivisesti kaarevaan Riemannin monistoon , niin sillä on kiinteä piste.

Yhdistettyjen Lie-ryhmien maksimaaliset kompaktit alaryhmät eivät yleensä ole ainutlaatuisia, mutta ne ovat ainutlaatuisia konjugaatioon asti, mikä tarkoittaa, että jos annetaan kaksi maksimaalista kompaktia alaryhmää K ja L , on elementti , joka on [1] , joten suurin kompakti alaryhmä on pohjimmiltaan ainutlaatuinen ja tutkijat puhuvat usein maksimaalisista kompakteista alaryhmistä ainoana alaryhmänä. $g\in G$ $gKg^{-1}=L$

Täyslineaarisen ryhmän GL( n , R ) esimerkissä tämä vastaa sitä tosiasiaa, että mikä tahansa sisätulo määrittelee (kompakti) ortogonaalisen ryhmän (sen isometriaryhmän) ja että sillä on ortonormaalikanta - perusteen muuttaminen määrittää vierekkäisyyselementti, joka määrittää klassisen isometriaryhmän ortogonaalisen ryhmän O( n , R ) vierekkäisyyden. $\mathbb {R} ^{n}$

Todiste

Todelliselle puoliyksinkertaiselle ryhmälle Cartanin todiste maksimaalisen kompaktin alaryhmän olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta löytyy Borelin artikkelista [2] ja Helgasonin kirjasta [3] . Cartier [4] ja Hoschild [5] keskustelivat todisteen laajentamisesta yhdistettyihin Lie-ryhmiin ja paikallisesti yhdistettyihin kompakteihin ryhmiin.

Puoliyksinkertaisille ryhmille olemassaolo on seurausta ei-kompaktin puoliyksinkertaisen Lie-ryhmän kompaktin reaalimuodon olemassaolosta ja vastaavasta Cartan-hajotelmasta . Ainutlaatuisuustodistus perustuu Cartanin kiinteän pisteen lauseeseen ja siihen, että vastaavalla Riemannin symmetrisellä avaruudella on negatiivinen kaarevuus . Mostov [6] osoitti, että eksponentiaalisen kuvauksen derivaatta missä tahansa pisteessä täyttää ehdon . Tästä seuraa, että kyseessä on Hadamard-avaruus , eli täydellinen metriavaruus , joka tyydyttää suunnikkaan identiteetin heikentyneen muodon euklidisessa avaruudessa. Ainutlaatuisuus voidaan sitten päätellä Bruhat-Titsin kiinteän pisteen lauseesta . Lisäksi mikä tahansa rajattu suljettu sarja Hadamard-avaruudessa sisältyy ainutlaatuiseen pienimpään suljettuun palloon. Erityisesti isometrioiden mukaan toimivan kompaktin ryhmän tulee pitää jokaisen kiertoradansa rajattujen ympyröiden keskipisteet paikoillaan. $G/K$ $G/K$ $|\mathrm {dexp} X|\geqslant |X|$ $G/K$

Todiste puoliyksinkertaisten ryhmien ainutlaatuisuudesta

Mostov [6] pelkisti puoliyksinkertaisten ryhmien yleisen ongelman tapaukseen GL( n , R ). Vastaava symmetrinen avaruus on positiivisten symmetristen matriisien avaruus. Suora todiste ainutlaatuisuudesta, joka perustuu tämän tilan alkeisominaisuuksiin, on annettu Hilgert ja Neebin kirjassa [7] .

Olkoon todellinen puoliyksinkertaisen Lie-algebra Cartanin involuutiolla . Tällöin involuution kiinteiden pisteiden alaryhmä on maksimikompakti K :n alaryhmä ja on olemassa matriisin spektraalinen hajoaminen $\mathfrak{g}$ $\sigma$ $\sigma$

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}

missä , aliryhmän K Lie-algebra on +1 ominaisavaruus. Cartan-laajennus antaa ${\mathfrak {k))$

\displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K}

Jos B on Killing-muoto , jonka antaa , Sitten $\mathfrak{g}$ $B(X,Y)=\mathrm {Tr(ad~X)(ad~Y)}$

{\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))))

on todellinen skalaarituote . Lie-ryhmän liitännäisesityksen alla K on ryhmän G alaryhmä, joka säilyttää skalaaritulon. $\mathfrak{g}$

Jos B on G :n toinen kompakti alaryhmä , niin K on G :n aliryhmä, joka säilyttää tämän sisätulon.

Jos H on G :n toinen kompakti alaryhmä, niin sisätulon H : n keskiarvo suhteessa Haar-mittaan antaa sisätulon invariantin yli H :n . Operaattorit Ad p p : lle P :stä ovat positiivisia symmetrisiä operaattoreita. Tämä uusi pistetuote voidaan kirjoittaa nimellä

{\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma ))

missä S on positiivinen symmetrinen operaattori , niin että h : lle H :sta (transpositio laskettuna pistetulolla). Lisäksi x : lle G :stä $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} (h)^{t}S\mathrm {Ad} ~h=S$

\displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t))

Joten h : lle H :sta

{\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S))

Määrittelemme X : lle $\mathfrak{p}$

{\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S))

Jos on ortonormaali kanta S :n ominaisvektorien kanssa , niin $e_{i}$ ${\displaystyle Se_{i}=\lambda _{i}e_{i))$

\displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geqslant (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X}}

joten f on tiukasti positiivinen ja pyrkii kuten yleensä . Itse asiassa tämä normi vastaa normioperaattoria symmetrisillä operaattoreilla , ja mikä tahansa nollasta poikkeava ominaisarvo esiintyy yhdessä negatiivisen arvon kanssa, koska se on vino-adjoint-operaattori kompaktissa reaalimuodossa . Joten f :llä on globaali minimi, vaikkapa Y . Tämä minimi on ainutlaatuinen, koska jos Z on toinen minimi, $\infty$ $|X|$ $\infty$ $\mathrm {ad} ~X$ $i~\mathrm {ad} ~X$ ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$

\displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2))

missä X in määräytyy Cartan-laajennuksesta $\mathfrak{p}$

\displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2))

Jos on ortonormaali kanta ominaisvektoreille , joilla on vastaavat todelliset ominaisarvot , niin $f_{i}$ $\mathrm {ad} ~X$ $\mu _{i}$

\displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Mainos (e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2))

Koska oikea puoli on positiivinen potenssien yhdistelmä, reaaliarvoinen funktio g on tiukasti konveksi , jos X ≠ 0, joten sillä on ainutlaatuinen minimi. Toisaalta funktiolla on paikallinen minimi arvoissa t = 0 ja t = 1, koska X = 0 ja p = exp Y on ainoa globaali minimi. Muodostamalla h : lle H :stä , joten h : lle H :stä . Siksi ,. Tämä tarkoittaa, että tapaus on kiinteä ja siksi sijaitsee K :ssa . $f(x)=f(\sigma (h)xh^{-1})$ ${\displaystyle p=\sigma (h)ph^{-1))$ ${\displaystyle \sigma (h)=php^{-1))$ ${\displaystyle g=\mathrm {exp} Y/2,gHg^{-1))$ $\sigma$

Sovellukset

Edustusteoria

Maksimaalisilla kompakteilla alaryhmillä on suuri rooli esitysteoriassa, kun G ei ole kompakti. Tässä tapauksessa K :n maksimikompakti aliryhmä on kompakti Lie-ryhmä (koska Lie-ryhmän suljettu aliryhmä on Lie-ryhmä), jolle teoria on yksinkertaisempi.

G :n ja K :n esitysteoriaan liittyvät operaatiot ovat esitysten rajoittaminen G :stä K :hen ja indusoidun esityksen K :stä G :hen , ja tämä on täysin ymmärrettävää. Näihin teorioihin kuuluu vyöhykefunktioiden teoria .

Topologia

Lie-ryhmien algebrallinen topologia siirtyy myös maksimaaliseen kompaktiin alaryhmään K . Tarkemmin sanottuna yhdistetty Lie-ryhmä on maksimaalisen kompaktin alaryhmän K ja euklidisen avaruuden topologinen tulo (vaikka ei ryhmätulo) . Tällöin erityisesti K on ryhmän G muodonmuutosveto ja on sitä vastaava homotoopia , joten niillä on samat homotoopiaryhmät . Lisäksi inkluusio ja muodonmuutoksen takaisinveto ovat homotopian ekvivalentteja . ${\displaystyle G=K\times \mathbb {R} ^{d))$ $K\hookrightarrow G$ $G\twoheadrightarrow K$

Yleiselle lineaariselle ryhmälle tämä hajoaminen on QR-hajotus ja muodonmuutoksen takaisinveto on Gram–Schmidt-prosessi . Yleisissä puoliyksinkertaisissa ryhmissä hajoaminen on G:n Iwasawa - hajotelma G =KAN , jossa K esiintyy yhdessä supistuvan alaryhmän AN kanssa .

Katso myös

Hypererikoisalaryhmä
Monimutkainen valheryhmä

Muistiinpanot

↑ Huomaa, että elementti g ei ole ainutlaatuinen - mikä tahansa saman koettiluokan gK elementti sopii .
↑ Borel, 1950 .
↑ Helgason, 1978 .
↑ Cartier, 1955 .
↑ Hochschild, 1965 .
↑ 12. Mostow , 1955 .
↑ Hilgert, Neeb, 2012 .

Kirjallisuus

Armand Borel. Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé nro 33) . - 1950. - T. 1. - (Séminaire Bourbaki). (linkki ei saatavilla)
Cartier P. Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé No. 22) . - 1955. - Vol. 1. - (Séminaire "Sophus Lie"). (linkki ei saatavilla)
Dieudonné J. Kompaktit valeryhmät ja puoliyksinkertaiset valeryhmät, luku XXI. - Academic Press, 1977. - V. 5. - (Transaatti analyysistä). — ISBN 012215505X .
Sigurdur Helgason. Differentiaaligeometria, valheryhmät ja symmetriset avaruudet. - Academic Press, 1978. - ISBN 978-0-12-338460-7 .
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb. Valheryhmien rakenne ja geometria. - Springer, 2012. - (Springerin monografioita matematiikassa). — ISBN 0387847944 .
Hochschild G. Lie-ryhmien rakenne. - Holden-Day, 1965.
Mostow GD Joitakin uusia hajoamislauseita puoliyksinkertaisille ryhmille . - 1955. - T. 14. - S. 31-54. - (Mem. Amer. Math. Soc.).
Onishchik AL, Vinberg EB Valheryhmät ja Valhealgebrat III: Valheryhmien ja valhealgebroiden rakenne. - Springer, 1994. - (Matematiikan tieteiden tietosanakirja). — ISBN 9783540546832 .
Maltsev A.I. Valheryhmien teoriasta suurissa // Mat. Kokoelma. - 1945. - T. 16 . - S. 163-189 .
Iwasawa K. Tietyntyyppisistä topologisista ryhmistä // Ann. matematiikan .. - 1949. - V. 50 . — S. 507–558 . - doi : 10.2307/1969548 .