Malmsten, Carl Johan

Carl Johan Malmsten
Lanttu. Carl Johan Malmsten

Syntymäaika	9. huhtikuuta 1814( 1814-04-09 ) [1] [2] [3]
Syntymäpaikka	Skara (kunta)
Kuolinpäivämäärä	11. helmikuuta 1886( 1886-02-11 ) [1] [2] (71-vuotias)
Kuoleman paikka	Uppsala
Maa	Ruotsi
Tieteellinen ala	matematiikka
Työpaikka	Uppsalan yliopisto
Alma mater	Uppsalan yliopisto
Akateeminen tutkinto	Filosofian tohtori (PhD) matematiikan alalta
Akateeminen titteli	Professori
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Carl Johan Malmsten ( ruotsalainen Carl Johan Malmsten ; 9. huhtikuuta 1814, Skaran kunta , Ruotsi - 11. helmikuuta 1886 , Uppsala , Ruotsi ) oli ruotsalainen matemaatikko ja poliitikko. Tunnettu varhaisesta työstään monimutkaisen analyysin, joidenkin erikoistoimintojen teorian parissa ja perustajana ( Mittag-Lefflerin kanssa ) matemaattisessa aikakauslehdessä Acta Mathematica [4] .

Malmsten sai apulaisprofessorin tutkinnon vuonna 1840 ja kaksi vuotta myöhemmin hänestä tuli matematiikan professori Uppsalan yliopistossa . Vuonna 1844 hänet hyväksyttiin Ruotsin kuninkaalliseen tiedeakatemiaan . Vuodesta 1859 vuoteen 1866 hän oli myös osa Skaran kunnan hallitusta , jossa hän toimi salkkuttomana ministerinä , samalla kun hän jatkoi matematiikan opiskelua.

Pääpanos

Karl Malmstenin nimi mainittiin pitkään pääasiassa hänen varhaisen monimutkaisen muuttujan funktioteorian teorian yhteydessä [5] . Hän teki kuitenkin myös suuren panoksen muille analyysin aloille, erityisesti spec. funktioita ja differentiaaliyhtälöitä, mutta valitettavasti monet hänen teoksistaan unohdettiin ansaitsemattomasti, ja tulokset annettiin muiden ansioksi. Joten suhteellisen äskettäin Yaroslav Blagushin (Iar Blagouchine) [6] osoitti, että Malmsten omisti useita tärkeitä teoksia logaritmisista integraaleista ja summista, jotka liittyvät läheisesti gammafunktioon , sen logaritmiseen derivaatan , yleistettyyn zeta-funktioon sekä Dirichlet L-sarja . Erityisesti vuonna 1842 Malmsten pystyi ilmaisemaan analyyttisessä muodossa seuraavat logaritmiset integraalit

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx \,=\,\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2))}\,dx\ ,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\({\frac {\Gamma {(3/4))){\Gamma {(1/4))) ) }{\sqrt {2\pi \,}}\right\}

\int \limits _{0}^{{1}}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\ int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1} {2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac { 2\pi }{{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {{\sqrt[ {6}]{32\pi ^{5)))){\Gamma {( 1/6)))}{\biggr \))

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac { \pi }{{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3))){\Gamma {(1/3)))}{\sqrt [ {3}]{2\pi }}{\biggr \}}

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\ ,dx\,=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}} \,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{({\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \ pi }}}}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi .

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{ 2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac { \pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;{\frac {1}{2 }}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n} }\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n))\right)}{\Gamma \!\left( \displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{ 2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \,}{2n))\ln 2\pi +{ \frac {\pi }{n}}\sum _{{l=1}}^{{n-1}}(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n))\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)))\ oikea\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \, }{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;\; {\frac {1}{2}}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\, }{n))\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\oikea)}{\ Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\right)))\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases }}

Laskelmien yksityiskohdat sekä mielenkiintoinen historiallinen analyysi on esitetty Ya. Blagushinin teoksissa [6] [7] . Monet näistä integraaleista löydettiin uudelleen ja niitä tutkittiin uudelleen vasta 1900-luvulla. Erityisesti he, mainitsematta Malmstenia, esiintyivät ajoittain Ilan Vardin (Ilan Vardi), Viktor Adamchikin (Victor Adamchik), Victor Mollin (Victor Moll), Eric Weissteinin ja joidenkin muiden teoksissa [8] [9] [10] [11] [12] [13] . Lisäksi väärinkäsitykset näiden kaavojen kirjoittajuudesta ovat menneet niin pitkälle, että monissa nykyaikaisissa lähteissä ensimmäistä näistä integraaleista kutsutaan Vardin integraaliksi , vaikka hän laski sen 146 vuotta myöhemmin kuin Malmsten. Malmsten sai nämä kaavat käyttämällä erilaisia melko hankalia sarjalaajennuksia, termikohtaista integrointia ja myös taitavasti soveltamalla alkeismuunnoksia. Nykyaikaiset analyysimenetelmät mahdollistavat niiden saamisen vähemmän aikaa vievillä tavoilla, kuten ääriviivojen integrointimenetelmillä [6] , Hurwitzin zeta-funktiolla [9] , polylogaritmien [10] ja Dirichlet L-sarjan [8] avulla . Samat menetelmät mahdollistavat monimutkaisempien Malmsten-integraalien [14] laskemisen , joista suuri osa on otettu huomioon V. Adamchikin [9] ja erityisesti Ya. Blagushinin [6] teoksissa (noin 80 integraalia). Tässä on esimerkkejä tällaisista integraaleista

\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x))}{1+x^{3))}\,dx=\int \limits _ {1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt 3}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\oikea)\oikea\}

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2} }}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}} \,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt 3}}{\pi }}+{\frac { \pi {\sqrt 3}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}} {\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}- 6x^{2}+1\oikea)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,{ \mathrm {G}}}{\pi }}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x)) }{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4) }-4x^{2}+1\oikea)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\ zeta(3)}{8\pi ^{2}}}

{\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{({\frac {m}{n))))- x^{{-{\frac {m}{n}}}}\oikea)^{{\!2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))-x^{{-{\frac {m}{n))))\oikea)^({\!2))\ln \ln {x)){\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{ {l=1}}^{{n-1}}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n ))\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}{\mathrm {ctg}}{\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \ pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2))\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi } }\sin {\frac {\,m\pi \,}{n))\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2))\end{array))

{\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m}{n} ))}+x^{{-{\frac {m}{n))))\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2} )^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))+x^{{-{\frac {m}{n))))\oikea)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3 }\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \ Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^ {2}\,}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\ pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n ^{2}\,}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{ 2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sek {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}

missä m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja siten, että m < n , G on katalaanivakio , ζ on Riemannin zeta-funktio , Ψ on digammafunktio , Ψ 1 on trigammafunktio; katso vastaavasti ur. (43), (47) ja (48) kohdassa [9] kolmelle ensimmäiselle integraalille ja esim. 36-a, 36-b, 11-b ja 13-b kohdassa [6] neljälle viimeiselle (kolmas integraali esiintyy molemmissa papereissa). Mielenkiintoista on, että jotkut Malmstenin integraalit johtavat kompleksisen argumentin gamma- ja polygammafunktioihin , jotka eivät ole kovin yleisiä analyysissä. Esimerkiksi,

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}{\mathrm {Im}}\!\left[\ln \Gamma \! \left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\oikea)\!\oikea ]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,)))}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi

yhtä hyvin kuin,

\int \limits _{{0}}^{{1}}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4} -2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{{1}}^({\infty }}\!{\frac {\ ,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}{\mathrm {Im}}\!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{ \frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\ oikea)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\ pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}

katso Jaroslav Blagushin [6] , ex. 7-a ja 37, vastaavasti. On myös todettu, että Malmsten-integraalit liittyvät läheisesti yleistettyihin Stieltjes-vakioihin [6] [7] [15] , jotka ovat vielä huonosti ymmärrettyjä.

Vuonna 1842 Malmsten onnistui myös laskemaan useita tärkeitä logaritmisia sarjoja, joista seuraavat kaksi erottuvat eniten:

\sum _{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{{n}}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\, {\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\oikea)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}(-1)^{{n-1}}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\, =\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}}{\Gamma \ vasen(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a< \pi .

Viimeinen tulos on erityisen tärkeä, koska se on Fourier-sarjan laajennus gammafunktion logaritmista , tulos, joka tavallisesti ja kuten kuvassa [6] esitetään virheellisesti Ernst Kummerin ansioksi , joka johti samanlaisen kaavan.

{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}} =\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\ frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,

vasta vuonna 1847 (tarkasti ottaen Kummerin tulos saadaan Malmstenin tuloksesta asettamalla a=π(2x-1)).

Malmsten antoi myös suuren panoksen zeta-funktioiden teoriaan sekä niihin liittyviin integraaleihin ja sarjoihin. Erityisesti hän todisti sen vuonna 1842

L(s)\equiv \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

M(s)\equiv {\frac {2}{{\sqrt {3}}}}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {(-1)^{{ n+1))}{n^{s))}\sin {\frac {\pi n}{3))\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{{\ sqrt {3))))\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

jossa vasemmalla ja oikealla olevat sarjat suppenevat 0<s<1. Mielenkiintoista on, että Leonhard Euler esitti ensimmäisen näistä kaavoista vuonna 1749 [16] , mutta Malmsten osoitti sen tiukasti. On aika hassua, että kaavan L(s)-sarjalle antoi myös Oskar Schlömilch vuonna 1849, lisäksi opiskelijoiden harjoitukseksi, mutta hän julkaisi todistuksensa vasta 9 vuotta myöhemmin. [6] [17] [18] [19] Huomionarvoista on L(s):n kaavan samankaltaisuus kuuluisan Riemannin heijastuskaavan kanssa

\zeta (1-s)=2\zeta (s)\Gamma (s)(2\pi )^{{-s}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\,,\qquad \qquad \qquad s\neq 0.

jonka Riemann johti vuonna 1858 ja jonka muuten myös ensimmäisen kerran, vaikkakin hieman eri muodossa, antoi Leonhard Euler vuonna 1749 [16] . Vuonna 1846 Malmsten johti myös useita muita heijastuskaavoja, jotka ovat yleisen zeta-funktion Hurwitzin heijastuskaavan erikoistapauksia.

Kun puhutaan Malmstenin panoksesta zeta-funktioiden teoriassa, ei voida jättää mainitsematta hänen aivan äskettäin löydettyä ensimmäisen yleistetyn Stieltjes-vakion heijastuskaavan kirjoittajaa.

\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}} {\biggr )}=2\pi \sum _{{l=1}}^{{n-1}}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\ biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n){\mathrm {ctg}}{\frac {m\pi }{n} }

missä m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja siten, että m < n . Tämä tasa-arvo laskettiin virheellisesti pitkään Almkvistin ja Meurmanin ansioksi, jotka saivat sen puolitoista vuosisataa myöhemmin kuin Malmsten [7] .

On huomionarvoista, että Malmstenin kirjoitukset on kirjoitettu erittäin nykyaikaisella kielellä ja niitä on helppo lukea (huolimatta siitä, että monet on kirjoitettu latinaksi, ranskaksi ja ruotsiksi). Lisäksi Malmstenin teoksissa otetut nimitykset ovat lähes täysin yhtenevät nykyaikaisten nimien kanssa, mikä myös helpottaa suuresti niiden lukemista.

Linkit

↑ 1 2 Carl J Malmsten (Ruotsi) - 1917.
↑ 1 2 Malmsten i Mariestad, Carl J // Tvåkammar-riksdagen 1867–1970 (Ruotsi) - V. 4. - S. 340.
↑ Skara domkyrkoförsamlings arkiv (tom 1933 Skara stadsförsamling), Födelse-och dopböcker, SE/GLA/13472/C/4 (1777-1816), bildid: C0052328_00091,0
↑ Mittag-Leffler ja Acta (downlink) .
↑ "Om definita integraler mellan imaginära gränsor" (1865).
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Iaroslav V. Blagouchine Malmstenin integraalien uudelleenlöytö, niiden arviointi ääriviivaintegrointimenetelmillä ja joitakin niihin liittyviä tuloksia. The Ramanujan Journal, voi. 35, ei. 1, s. 21-110, 2014. Arkistoitu 12. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa PDF Arkistoitu 7. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 Iaroslav V. Blagouchine Lause ensimmäisen yleistetyn Stieltjes-vakion suljetun muodon arvioimiseksi rationaalisilla argumenteilla ja joitain siihen liittyviä summauksia Journal of Number Theory (Elsevier), voi. 148, s. 537-592, 2015. Arkistoitu 24. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa arXiv PDF Arkistoitu 14. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ 1 2 I. Vardi -integraalit, johdatus analyyttiseen lukuteoriaan. American Mathematical Monthly, voi. 95, s. 308-315, 1988.
↑ 1 2 3 4 V. Adamchik Logaritmisten integraalien luokka. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ss. 1-8, 1997.
↑ 1 2 L. A. Medina ja V H Moll Logaritmisen integraalien luokka. The Ramanujan Journal, voi. 20, ei. 1, s. 91-126, 2009.
↑ VH Moll Joitakin kysymyksiä määriteltyjen integraalien arvioinnissa. MAA Short Course, San Antonio, TX. tammikuu 2006.
↑ Eric W. Weisstein Vardin integraali . MathWorld-A Wolfram Web Resourcesta. . Käyttöpäivä: 29. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 24. maaliskuuta 2014. (määrätön)
↑ NJA Sloane Sequence A115252 julkaisussa The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . . Haettu 29. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 5. joulukuuta 2014. (määrätön)
↑ Tämän tyyppisiä integraaleja on oikeampi kutsua Malmsten -integraaleiksi Vardyn integraaleiden sijaan.
↑ Math StackExchange: tietyn integraalin arviointi (luotu: 8. maaliskuuta 2014) . Käyttöpäivä: 9. heinäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)
↑ 1 2 L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, osa 17, s. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [luettu vuonna 1749]
↑ GH Hardy Divergent -sarja. Oxford Clarendan lehdistössä, 1949.
↑ H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [2 osassa] Berliini, 1922-1923.
↑ J. Dutka Eräiden Eulerin ja Zeta-funktioiden erilaisten sarjojen summauksesta. Tarkkojen tieteiden historian arkisto, osa 50, numero 2, s. 187-200, Tarkkojen tieteiden historian arkisto, 27.VIII.1996. . Haettu 3. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 16. kesäkuuta 2018. (määrätön)

Temaattiset sivustot

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Ruotsalainen elämäkerta

Bibliografisissa luetteloissa
GND : 123188113 ISNI : 0000 0000 8362 9883 LCCN : no2010133410 LIBRIS : 31fjmfgm1n015sm VIAF : 20582701 WorldCat VIAF : 20582701