Muuttujan erotusmenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.3.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Muuttujien erottelumenetelmä on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi , joka perustuu alkuperäisen yhtälön algebralliseen muuntamiseen kahden lausekkeen yhtäläisyyteen riippuen eri muuttujista , joista osa on toisten funktioita.

Osittaisiin differentiaaliyhtälöihin sovellettaessa muuttujien erotusmalli johtaa ratkaisun löytämiseen Fourier -sarjan tai integraalin muodossa . Tässä tapauksessa menetelmää kutsutaan myös Fourier-menetelmäksi ( Jean Baptiste Fourierin kunniaksi , joka rakensi lämpöyhtälön ratkaisut trigonometristen sarjojen [1] muodossa ) ja seisovien aaltojen menetelmäksi [2] [3] .

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Tarkastellaan tavallista differentiaaliyhtälöä , jonka oikea puoli on funktion tulo vain funktiosta vain funktiosta (tässä tapauksessa funktio on funktion funktio ). [4] : $x$ $y$ $y$ $x$

$\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)$

Tässä tapauksessa tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $h(y) \ne 0$

$\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx$ .

Olkoon jokin yhtälön (1) ratkaisu. Differentiaalien yhtäläisyydestä seuraa, että niiden määrittelemättömät integraalit eroavat vain mielivaltaisessa vakiotermissä : $y(x)$

$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C$ .

Integraalit laskemalla saadaan yhtälön (1) yleinen integraali.

Jos yhtälö annetaan muodossa [5] :

$M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,$

silloin muuttujien erottamiseksi ei tarvitse pelkistää sitä muotoon (1). Riittää, kun jaat molemmat osat : $N(y) P(x)$

$\frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0,$

mistä yleinen integraali tulee

$\int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C.$

Esimerkki

Päästää

$x dy - y dx = 0$ [6] .

Erottelemalla muuttujat, saamme

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.$

Integroimme molemmat osat viimeisestä tasa-arvosta

$\ln|y| = \ln|x| + \ln C_1,$

missä on positiivinen vakio. Täältä $C_{1}$

$|y| = C_1 |x|$

tai

$y=Cx,$

missä on mielivaltainen vakio, joka voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. $C = \pm C_1$

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat myös funktiot ja . Viimeinen ratkaisu saadaan yleisestä ratkaisusta . $x=0$ $y = 0$ $y = C x$ $C = 0$

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Muuttujien erotusmenetelmää käytetään ratkaisemaan raja-arvoongelmia toisen kertaluvun hyperbolisten , parabolisten ja elliptisten tyyppien lineaarisille yhtälöille sekä joidenkin epälineaaristen yhtälöiden ja korkeamman kertaluvun yhtälöiden luokille [7] .

Homogeeninen yhtälö

Otetaan kaavio menetelmästä päihin kiinnitetyn merkkijonon värähtelyongelmaan [8] :

$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad(2)$

$u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3)$

$u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4)$

Etsimme yhtälön (2) ratkaisuja, jotka ovat identtisesti nollasta poikkeavia ja täyttävät reunaehdot (3) tuotteen muodossa

$u(x, t) = X(x) T(t). \quad(5)$

Korvaa odotettu ratkaisutyyppi yhtälössä (2) ja jaa : $a^2 X(x) T(t)$

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6)$

Tasa-arvon (6) vasen puoli on vain muuttujan funktio , oikea puoli vain muuttujan funktio . Siksi molemmat osat eivät ole riippuvaisia tai siitä, ja ne ovat yhtä suuret kuin jokin vakio . Saamme tavalliset differentiaaliyhtälöt funktioiden määrittämiseksi ja : $x$ $t$ $x$ $t$ $-\lambda$ $X(x)$ $T(t)$

$X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \not \equiv 0, \qquad (7)$

$T''(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \not \equiv 0, \qquad (8)$

Korvaamalla (5) reunaehtoihin (3) saadaan

$X(0) = X(l) = 0. \qquad (9)$

Saavumme Sturm-Liouvillen ongelmaan (7),(9). Tällä ongelmalla on ei-triviaaleja ratkaisuja (ominaisfunktioita)

$X_n(x) = \sin \frac{\pi n }{l} x,$

määrätty mielivaltaiseen kertoimeen asti vain arvoille, jotka ovat yhtä suuria kuin ominaisarvot $\lambda$

$\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\oikea)^2, \quad n = 1, 2, 3, \pisteet$

Yhtälön (8) ratkaisut vastaavat samoja arvoja $\lambda_n$

$T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l}at + B_n \sin \frac{\pi n}{l}at,$

missä ja ovat mielivaltaisia vakioita. $A_n$ $B_n$

Toiminnot siis

$u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)$

ovat yhtälön (2) erityisiä ratkaisuja, jotka täyttävät ehdot (3). Tehtävän (2)-(4) ratkaisu saadaan tiettyjen ratkaisujen äärettömänä summana

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n }{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l}at \right) \sin \frac{\pi n }{l} x,$

jossa vakiot ja löytyvät alkuehdoista (4) funktioiden Fourier-kertoimina ja : $A_{n}$ $B_{n}$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$

$A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad B_n = \frac{2}{\pi na} \int_0 ^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx.$

Muuttujien erottelumenetelmä soveltuu myös yleismuotoisen merkkijonon värähtelyyhtälöön

$\frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2},$

jossa , ja ovat jatkuvia positiivisia funktioita välillä [9] . Tässä tapauksessa ratkaisu konstruoidaan sarjana Sturm-Liouvillen ongelman ominaisfunktioita $k$ $q$ $\rho$ $0<x<l$

$\frac{d}{dx} \left[ k(x) \frac{d X}{dx} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0 ) = X(l) = 0. \qquad (10)$

Perusteos Fourier-menetelmän perustelemisesta kuuluu V. A. Stekloville [10] . Steklovin lause sanoo, että tietyissä olosuhteissa mikä tahansa funktio voidaan yksiselitteisesti laajentaa Fourier-sarjaksi raja-arvotehtävän (10) ominaisfunktioiden suhteen.

Epähomogeeninen yhtälö

Epähomogeenisten yhtälöiden muuttujien erotusmenetelmää kutsutaan joskus Krylov-menetelmäksi A. N. Krylovin kunniaksi [2] . Ratkaistaessa raja-arvotehtävää merkkijonovärähtelyjen epähomogeenisen yhtälön yhtälöön

$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad(11)$

funktioita ja ne laajennetaan Fourier-sarjoiksi Sturm-Liouvillen ongelman ominaisfunktiojärjestelmän mukaisesti vastaavalle homogeeniselle yhtälölle (2): $u$ $f$

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x,$

$f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x.$

Korvaamalla saadut sarjat yhtälöllä (11) ottaen huomioon järjestelmän ortogonaalisuuden , saadaan yhtälö : $\left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \}$ $T_n(t)$

$T''_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12)$

Funktiot löytyvät ratkaisuina Cauchyn tehtäviin yhtälöille (12) alkuehdoilla, jotka on saatu alkuperäisen raja-arvotehtävän alkuehdoista. $T_n(t)$

Ohjelmisto

Xcas : [11] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Klein F. Luentoja matematiikan kehityksestä 1800-luvulla. - M. - L .: GONTI, 1937. - T. I. - S. 103.
↑ 1 2 Yurko V. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 2004 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 , s. 88.
↑ Smirnov V.I. Korkeamman matematiikan kurssi, 1974 , osa 2, s. neljätoista.
↑ Stepanov V.V. Differentiaaliyhtälöiden kurssi, 1950 , s. 24.
↑ Demidovich B.P., Modenov V.P. Differentiaaliyhtälöt, 2008 , s. 19.
↑ Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Muuttujien erotusmenetelmä matemaattisessa fysiikassa, 2009 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 , s. 82.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 , s. 113.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1999 , s. 119.
↑ [Symbolinen algebra ja matematiikka Xcasilla http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (määrätön)

Kirjallisuus

Smirnov V.I. Korkeamman matematiikan kurssi. – 21. painos. - Nauka, 1974. - T. 2.
Stepanov VV Differentiaaliyhtälöiden kurssi. - Toim. 6. – 1950.
Demidovich B.P. , Modenov V.P. Differentiaaliyhtälöt: opetusohjelma. - 3. painos .. poistettu .. - Pietari. : Lan, 2008. - 288 s.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Menetelmä muuttujien erottamiseksi matemaattisessa fysiikassa. - Pietari. , 2009. - 92 s. - ISBN 978-5-94777-211-1.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt: Oppikirja .. - 6. painos, Rev. ja muita .. - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .
Yurko V. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt: oppikirja. käsikirja mekaniikan ja matematiikan ja fysiikan opiskelijoille. - Saratov: Sarat Publishing House. un-ta, 2004. - 118 s. — ISBN 5-292-03022-8 .