Fourier-muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Fourier-muunnos

Lyhyt nimi/titteli	FT
Nimetty	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [yksi]
Nimitys kaavassa	${\mathcal {F}}f$ , , ja $f$ $\omega$ $\mathrm {e}$
takaisin	käänteinen Fourier-muunnos [d]
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Fourier-muunnos ( symboli ℱ ) on operaatio, joka kuvaa reaalimuuttujan yhden funktion reaalimuuttujan toiseen funktioon. Tämä uusi funktio kuvaa kertoimia ("amplitudeja") kun alkuperäinen funktio jaetaan alkeiskomponenteiksi - harmonisiksi värähtelyiksi eri taajuuksilla

Reaalimuuttujan funktion Fourier-muunnos on integraali ja se saadaan seuraavalla kaavalla: $f$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Eri lähteet voivat antaa edellä mainituista poikkeavia määritelmiä valitsemalla tekijän integraalin eteen (ns. normalisointitekijä , joka viittaa Fourier-muunnoksen normalisointikysymykseen ) sekä eksponentin "−"-merkki. . Mutta riippumatta tällaisista vaihteluista, kaikki ominaisuudet pysyvät voimassa, vaikka joidenkin kaavojen muoto saattaa muuttua.

Yleinen kaava kaikille Fourier-muunnoksen määritelmän muunnelmille parametreillä ja näyttää siltä $a$ $b$

{\hat {f))(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))))\int \limits _ {-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.

Käänteinen muunnos määritellään seuraavasti

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

Kun ja /tai kaavoista tulee erityisen yksinkertaisia, normalisointitekijät häviävät niissä ja kaavat eroavat vain asteen etumerkistä, minkä seurauksena suurin osa alla olevista kaavoista yksinkertaistuu vakiovakioksi. $a = 0$ $b=2\pi$ $b=-2\pi$

Lisäksi tästä käsitteestä on olemassa erilaisia yleistyksiä (katso alla).

Ominaisuudet

Vaikka Fourier-muunnoksen määrittävällä kaavalla on selkeä merkitys vain luokan $L_{1}(\mathbb{R} )$ funktioille , Fourier-muunnos voidaan määritellä laajemmalle funktioluokalle ja jopa yleistetyille funktioille . Tämä on mahdollista Fourier-muunnoksen useiden ominaisuuksien vuoksi:

Fourier-muunnos on lineaarinen operaattori :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

Parsevalin yhtälö on totta : jos , niin Fourier-muunnos säilyttää -normin: $f\in L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{ \hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Tämä ominaisuus mahdollistaa Fourier-muunnoksen määritelmän laajentamisen koko avaruuteen jatkuvuuden avulla . Parsevalin tasa-arvo on silloin voimassa kaikille . $L_{2}(\mathbb{R})$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Hoitokaava :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega ) e^{ix\omega }\,d\omega

on voimassa, jos oikean puolen integraali on järkevä. Tämä pätee erityisesti, jos toiminto on riittävän tasainen. Jos , niin kaava on myös totta, sillä Parsevalin yhtäläisyys mahdollistaa oikean puolen integraalin ymmärtämisen rajaan siirtymällä. $f$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Tämä kaava selittää Fourier-muunnoksen fyysisen merkityksen: oikea puoli on harmonisten värähtelyjen (ääretön) summa taajuuksilla , amplitudeilla ja vaihesiirroilla . $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Konvoluutiolause : jos sitten $f,\;g\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, missä

(f\ast g)(t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Tämä kaava voidaan laajentaa koskemaan myös yleistettyjä funktioita.

Fourier-muunnos ja differentiaatio . Jos , niin $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

Tästä kaavasta on helppo päätellä -:nnen derivaatan kaava: $n$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Kaavat pätevät myös yleistettyjen funktioiden tapauksessa.

Fourier-muunnos ja siirto .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).

Tämä ja edellinen kaava ovat konvoluutiolauseen erikoistapauksia, koska siirto argumentin mukaan on konvoluutio siirretyn deltafunktion kanssa ja differentiaatio on konvoluutio deltafunktion derivaatan kanssa. $\delta (x-x_{0})$

Fourier-muunnos ja venytys .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Poissonin summauskaava :

\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)

Yleistettyjen funktioiden Fourier-muunnos . Fourier-muunnos voidaan määritellä laajalle yleistettyjen funktioiden luokalle. Määritellään ensin tasaisten nopeasti pienenevien funktioiden avaruus ( Schwartzin avaruus ):

S({\mathbb R}):=\left\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xnuoli oikealle {x\to \infty }}0\oikea\}.

Tämän avaruuden tärkein ominaisuus on, että se on invariantti aliavaruus Fourier-muunnoksen suhteen.

Nyt määritellään sen kaksoisavaruus . Tämä on jokin aliavaruus kaikkien yleistettyjen funktioiden - niin sanottujen hitaan kasvun yleistettyjen funktioiden - avaruudessa. Nyt funktiolle sen Fourier-muunnos on yleistetty funktio , joka vaikuttaa pääfunktioihin säännön mukaan $S^{*}(\mathbb{R} )$ $f\in S^{*}(\mathbb{R} )$ ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb{R} )$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

Lasketaan esimerkiksi deltafunktion Fourier-muunnos :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hattu {\varphi ))\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Siten deltafunktion Fourier-muunnos on vakio . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Epävarmuusperiaate

Yleisesti ottaen mitä suurempi konsentraatio f ( x ) , sitä laajempi sen Fourier-muunnoksen f̂ ( ω ) on oltava . Erityisesti Fourier-muunnoksen skaalausominaisuus voidaan esittää seuraavasti: jos funktio puristetaan x kertaa, niin sen Fourier-muunnos venytetään ω kertaa. On mahdotonta mielivaltaisesti keskittää sekä funktiota että sen Fourier-muunnosta.

Kompromissi funktion tiheyden ja sen Fourier-muunnoksen välillä voidaan formalisoida epävarmuusperiaatteeksi , kun funktio ja sen Fourier-muunnos pidetään konjugoituina muuttujina aika-taajuus- symplektisen muodon suhteen : lineaarisen näkökulmasta. kanoninen muunnos , Fourier-muunnos on 90° kierto aika-taajuus-alueella ja säilyttää symplektisen muodon.

Oletetaan, että f ( x ) on integroitava ja neliöintegroitava funktio. Sitten normi ilmaistaan muodossa

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.

Plancherelin lauseesta seuraa, että f̂ ( ω ) on myös normalisoitu.

Hajautus odotusarvon ympärillä voidaan mitata varianssilla , joka määritellään muodossa $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty } (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

Todennäköisyydellä mitattuna tämä on funktion keskeinen toinen momentti . ${\displaystyle |f(x)|^{2))$

Epävarmuusperiaate sanoo, että jos f ( x ) on ehdottoman jatkuva ja funktiot x f ( x ) ja f ′( x ) ovat neliöintegroitavia, niin

{\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)))^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

missä normalisointikerroin ennen Fourier-muunnosta on , kun normalisointikerroin on yhtä suuri, oikeanpuoleisesta lausekkeesta tulee . Poimimalla juuret molemmista lausekkeista oikeanpuoleisesta lausekkeesta tulee ja vastaavasti , joka määrittää puolet ikkunan leveydestä ( keskihajonta ). $yksi$ ${\frac {1}{2\pi ))$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {1}{4\pi }}$ ${\frac {1}{2))$ $\Delta$

Tasa-arvo saavutetaan vain, jos

{\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2)){\sigma ^{2))))\\\ siksi {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}

jossa σ > 0 on mielivaltainen ja niin että f on L 2 -normalisoitu. Toisin sanoen missä f on (normalisoitu) Gaussin funktio , jonka varianssi on σ 2 ja jonka keskipiste on nolla, ja sen Fourier-muunnos on Gaussin funktio, jonka varianssi on σ -2 . ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)){\sqrt {\sigma ))))$

Itse asiassa tämä eriarvoisuus tarkoittaa, että:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\oikea|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

mille tahansa x 0 : lle ω 0 ∈ R.

Kvanttimekaniikassa aaltofunktion liikemäärä ja sijainti ovat Fourier -muunnospareja Planckin vakioon asti . Kun tämä vakio otetaan asianmukaisesti huomioon, yllä olevasta epätasa-arvosta tulee Heisenbergin epävarmuusperiaatteen lausunto .

Vahvempi epävarmuusperiaate on Hirschmanin epävarmuusperiaate , joka ilmaistaan seuraavasti:

H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f))\right|^{2}\oikea)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)

jossa H ( p ) on todennäköisyystiheysfunktion p ( x ) differentiaalinen entropia :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

jossa logaritmit voivat olla missä tahansa peräkkäisessä kannassa. Tasa-arvo saavutetaan Gaussin funktiolle kuten edellisessä tapauksessa.

Sovellukset

Fourier-muunnosta käytetään monilla tieteen aloilla - fysiikassa , lukuteoriassa , kombinatoriikassa , signaalinkäsittelyssä , todennäköisyysteoriassa , tilastoissa , kryptografiassa , akustiikassa , valtameritutkimuksessa , optiikassa , geometriassa ja monilla muilla. Signaalinkäsittelyssä ja siihen liittyvissä kentissä Fourier-muunnos nähdään yleensä signaalin hajoamisena taajuuksiksi ja amplitudeiksi , toisin sanoen käännettävänä siirtymänä aika - avaruudesta taajuusavaruuteen . Runsaat sovellusmahdollisuudet perustuvat useisiin hyödyllisiin muunnosominaisuuksiin:

Muunnokset ovat lineaarisia operaattoreita ja sopivalla normalisoinnilla unitaarisia (ominaisuus, joka tunnetaan nimellä Parsevalin lause tai yleisemmin Plancherelin lause tai yleisemmin Pontryaginin dualismi ).
Muunnokset ovat palautuvia, ja käänteismuunnos on lähes samassa muodossa kuin suora muunnos.
Sinimuotoiset kantafunktiot (tai pikemminkin kompleksiset eksponentiaalit) ovat differentiaatioiden ominaisfunktioita , mikä tarkoittaa, että annettu esitys muuttaa lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimisiksi tavallisiksi algebrallisiksi. (Esimerkiksi lineaarisessa stationaarisessa järjestelmässä taajuus on konservatiivinen arvo , joten käyttäytyminen kullakin taajuudella voidaan ratkaista itsenäisesti).
Konvoluutiolauseen mukaan Fourier-muunnos muuttaa monimutkaisen konvoluutiooperaation yksinkertaiseksi kertolaskuksi , mikä tarkoittaa, että ne tarjoavat tehokkaan tavan laskea konvoluutiopohjaisia operaatioita, kuten polynomien kertolaskua ja suurten lukujen kertomista .
Fourier-muunnoksen erillinen versio voidaan laskea nopeasti tietokoneilla Fast Fourier Transform (FFT) -algoritmilla.

Lajikkeet

Moniulotteinen muunnos

Avaruudessa annettujen funktioiden Fourier-muunnos määritellään kaavalla $\mathbb {R} ^{n}$

{\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Täällä ja ovat avaruusvektorit , on heidän skalaaritulonsa . Käänteinen muunnos saadaan tässä tapauksessa kaavalla $\omega$ $x$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Tämä kaava voidaan tulkita laajentavan funktiota lineaariseksi yhdistelmäksi ( superpositioksi ) muodossa " tasoaalto " amplitudeilla , taajuuksilla ja vaihesiirroilla , vastaavasti. Kuten aiemminkin, moniulotteisen Fourier-muunnoksen määritelmät voivat eri lähteissä poiketa integraalin edessä olevan vakion valinnassa. $f$ $e^{{ix\cdot \omega }}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Huomio Fourier-muunnoksen määrittelyalueesta ja sen pääominaisuuksista pysyy voimassa myös moniulotteisessa tapauksessa seuraavin selvennuksin:

Osittaisten derivaattojen ottaminen Fourier-muunnoksen vaikutuksesta muuttuu kertolaskuksi samannimisellä koordinaatilla:

\widehat {{\frac {\partial f}{\partial x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

Konvoluutiolauseen vakio muuttuu:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Fourier-muunnos ja koordinaattipakkaus:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Yleisemmin, jos on käännettävä lineaarinen kartta , niin ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1}\omega ).

Fourier-sarja

Jatkuva muunnos itsessään on itse asiassa yleistys aiemmasta Fourier-sarjan ideasta , joka on määritelty -jaksollisille funktioille ja edustaa tällaisten funktioiden laajenemista (äärettömäksi) lineaariseksi harmonisten värähtelyjen yhdistelmäksi kokonaislukutaajuuksilla : $2\pi$

f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^({\infty }}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

Fourier-sarjan laajennus soveltuu myös rajoitetuille aikaväleille määritellyille funktioille, koska sellaisia funktioita voidaan jaksoittain laajentaa koko riville.

Fourier-sarja on Fourier-muunnoksen erikoistapaus, jos jälkimmäinen ymmärretään yleistettyjen funktioiden merkityksessä . Kaikille jaksollisille toiminnoillemme $2\pi$

{\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega -n).

Toisin sanoen jaksollisen funktion Fourier-muunnos on kokonaislukupisteiden pistekuormien summa ja on nolla niiden ulkopuolella.

Diskreetti muunnos

Diskreetti Fourier-muunnos on (kompleksisten) lukujen äärellisten sekvenssien muunnos, joka, kuten jatkuvassa tapauksessa, muuttaa konvoluution pisteittäiseksi kertolaskuksi. Käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja muissa tilanteissa, joissa sinun on suoritettava nopeasti konvoluutio, kuten kerrottaessa suuria lukuja.

Antaa olla sarja kompleksilukuja. Tarkastellaan polynomia . Valitaan joitain pisteitä monimutkaiselta tasolta . Nyt voimme liittää uuden joukon lukuja polynomiin: . Huomaa, että tämä muunnos on palautuva: mille tahansa lukujoukolle on olemassa ainutlaatuinen astepolynomi, jolla on vastaavasti vastaavat arvot (katso interpolointi ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $n$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$ $f(t)$ $n$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{{n-1}}$ $f(t)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$

Joukkoa ja kutsutaan alkuperäisen joukon diskreetiksi Fourier-muunnokseksi . Yhtenäisyyden juuret valitaan yleensä pisteiksi : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $n$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Tämän valinnan sanelee se, että tässä tapauksessa käänteismuunnos saa yksinkertaisen muodon, ja myös se, että Fourier-muunnoksen laskenta voidaan suorittaa erityisen nopeasti . Joten vaikka kahden pituisen sekvenssin konvoluution laskeminen vaatii suoraan operaatioiden järjestyksen, niiden Fourier-muunnokseen siirtyminen ja takaisin nopealla algoritmilla voidaan suorittaa operaatioissa. Fourier-muunnoksilla konvoluutio vastaa komponenttikohtaista kertolaskua, joka edellyttää vain operaatioiden järjestystä. $n$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $n$

Ikkunaus

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

missä antaa alkuperäisen signaalin osan taajuusjakauman (yleensä hieman vääristyneen) ajan läheisyydessä . $F(t,\;\omega )$ $f(t)$ $t$

Klassinen Fourier-muunnos käsittelee signaalin spektriä , joka kattaa muuttujan olemassaolon koko alueen. Usein vain paikallinen taajuusjakauma kiinnostaa, kun taas alkuperäinen muuttuja (yleensä aika) on säilytettävä. Tässä tapauksessa käytetään Fourier-muunnoksen yleistystä - ns. ikkunoitua Fourier-muunnosta . Aluksi on valittava jokin ikkunatoiminto , ja tällä funktiolla on oltava hyvin lokalisoitu spektri. $W$

Käytännössä diskreetti spektrianalyysi on toteutettu nykyaikaisissa digitaalisissa oskilloskoopeissa ja spektrianalysaattoreissa . Sitä käytetään yleensä ikkunan valintaan 3-10 tyypistä. Ikkunoiden käyttö on periaatteessa välttämätöntä, koska todellisissa laitteissa tutkitaan aina tietty leikkaus tutkittavasta signaalista. Tässä tapauksessa lovesta johtuvat signaalin epäjatkuvuudet vääristävät jyrkästi spektriä johtuen hyppyspektrien superpositiosta signaalispektrissä.

Jotkut spektrianalysaattorit käyttävät nopeaa (tai lyhytaikaista) ikkunointia. Sen avulla tietyn keston signaali jaetaan useisiin aikaväleihin käyttämällä yhden tai toisen tyyppistä liukuikkunaa. Tämä mahdollistaa dynaamisten spektrien hankkimisen, tutkimisen ja rakentamisen spektrogrammien muodossa ja niiden käyttäytymisen analysoinnin ajassa. Spektrogrammi on rakennettu kolmeen koordinaattiin - taajuus, aika ja amplitudi. Tässä tapauksessa amplitudi asetetaan spektrogrammin jokaisen suorakulmion värin tai värin sävyn mukaan. Tällaisia spektrianalysaattoreita kutsutaan reaaliaikaisiksi spektrianalysaattoreiksi . Niiden päävalmistaja on Keysight Technologies Corporation ( USA ), Rohde & Schwarz (Saksa), Tektronix (USA). Tällaiset analysaattorit ilmestyivät viime vuosisadan lopulla ja kehittyvät nyt nopeasti. Heidän tutkimiensa signaalien taajuusalue ulottuu satoihin gigahertseihin.

Näitä spektrianalyysimenetelmiä on toteutettu myös tietokonematematiikan järjestelmissä, esimerkiksi Mathcad , Mathematica , Maple ja MATLAB .

Muut vaihtoehdot

Diskreetti Fourier-muunnos on erikoistapaus (ja joskus sitä käytetään likimääräisenä) diskreetissä ajassa Fourier-muunnoksessa (DTFT), joka määritellään diskreetillä, mutta äärettömällä alueella, ja siten spektri on jatkuva ja jaksollinen. Aikadiskreetti Fourier-muunnos on oleellisesti Fourier-sarjan käänteinen. $x_k$

Nämä Fourier-muunnoksen muunnokset voidaan yleistää mielivaltaisten paikallisesti kompaktien Abelin topologisten ryhmien Fourier-muunnoksiksi , joita tutkitaan harmonisessa analyysissä; he muuttavat ryhmän sen kaksoisryhmäksi . Tämän tulkinnan avulla voimme myös muotoilla konvoluutiolauseen , joka muodostaa yhteyden Fourier-muunnosten ja konvoluutioiden välille . Katso myös Pontryaginin dualismi .

Tulkinta ajan ja taajuuden suhteen

Signaalinkäsittelyn kannalta muunnos ottaa signaalifunktion aikasarjaesityksen ja kartoittaa sen taajuusspektriin , jossa on kulmataajuus . Eli se muuttaa ajan funktion taajuuden funktioksi ; se on funktion hajoamista harmonisiksi komponenteiksi eri taajuuksilla. $\omega$

Kun funktio on ajan funktio ja edustaa fyysistä signaalia , muunnolla on standarditulkinta signaalin spektrinä . Tuloksena olevan kompleksifunktion itseisarvo edustaa vastaavien taajuuksien amplitudeja ( ), kun taas vaihesiirrot saadaan tämän kompleksisen funktion argumenttina . $f$ $F$ $\omega$

Fourier-muunnokset eivät kuitenkaan rajoitu ajan ja ajallisten taajuuksien funktioihin. Niitä voidaan soveltaa yhtä hyvin tilataajuuksien analysointiin kuin melkein mihin tahansa muuhun toimintoon.

Tärkeitä kaavoja

Seuraava taulukko sisältää luettelon tärkeistä kaavoista Fourier-muunnokselle. ja merkitsevät funktioiden ja vastaavasti Fourier-komponentteja. ja niiden on oltava integroitavia tai yleisiä toimintoja . $F(\omega)$ $G(\omega)$ $f(t)$ $g(t)$ $f$ $g$

Tämän taulukon suhteet ja erityisesti tekijät, kuten , riippuvat sopimuksesta, mitä Fourier-muunnoksen määritelmää on käytetty aiemmin (vaikka yleisesti suhteet ovat tietysti oikein). ${\sqrt {2\pi }}$

	Toiminto	Kuva	Huomautuksia
yksi	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Lineaarisuus
2	$f(ta)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Viive
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	taajuuden muutos
neljä	$f(at)$	$\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\oikea)$	Jos se on suuri, se keskittyy lähelle nollaa ja muuttuu litteäksi $a$ $f(at)$ $\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\oikea)$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n))))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	: nnen derivaatan Fourier-muunnoksen ominaisuus $n$
6	$t^{n}f(t)$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n))))$	Tämä on säännön 5 käänteinen
7	${\näyttötyyli (f*g)(t)}$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Record tarkoittaa konvoluutiota ja . Tämä sääntö on konvoluutiolause. $f*g$ $f$ $g$
kahdeksan	$f(t)g(t)$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi ))))$	Tämä valitus 7
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\delta (t)$ tarkoittaa Dirac - delta-funktiota
kymmenen	$yksi$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	Valitus 9.
yksitoista	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	Tässä on luonnollinen luku , joka on Diracin deltafunktion yleistetty johdannainen. Sääntöjen 6 ja 10 seuraus. Käyttämällä sitä yhdessä säännön 1 kanssa voit tehdä muunnoksia kaikista polynomeista $n$ $\delta ^{{(n)}}(\omega )$ $n$
12	$e^{iat}$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	Seuraus 3 ja 10
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Seuraus 1 ja 12 Eulerin kaavalla $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
neljätoista	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	Myös alkaen 1 ja 12
viisitoista	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Osoittaa, että Gaussin funktio vastaa sen kuvaa $\exp(-t^{2}/2)$
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	Suorakaiteen muotoinen toiminto on ihanteellinen alipäästösuodatin ja sinc (x) -funktio on sen ajallinen vastine
17	${\frac {1}{t))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operaattorin nimi {sgn}(\omega )$	Tässä on sgn - toiminto . Tämä sääntö on yhdenmukainen kohtien 6 ja 10 kanssa $\operaattorin nimi {sgn}(\omega )$
kahdeksantoista	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n))))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operaattorinimi {sgn }(\omega )$	Yleistys 17
19	${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sgn}(t)}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Valitus 17
kaksikymmentä	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Tässä on Heaviside-toiminto . Seuraa säännöistä 1 ja 19 $\theta (t)$

Katso myös

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 s.
Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digitaalinen spektri, signaali- ja logiikka-analysaattorit / Toim. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . — ISBN 978-5-913-59049-7 .
Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Signaalinkäsittely ja suodatinsuunnittelu. - M. : SOLON-Press, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
Sergienko AB Digitaalinen signaalinkäsittely. - 2. painos - Pietari. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
M. A. Pavleino, V. M. Romadanov. Spektrimuunnokset MatLabissa. - Pietari. , 2007. - s. 160. - ISBN 978-5-983-40121-1 .

Linkit

Integral Transforms Arkistoitu 11. heinäkuuta 2007 Wayback Machine EqWorldissa: Matemaattisten yhtälöiden maailma
Muunnoksen tai käänteismuunnoksen online-laskenta
"Fourier Transform" Arkistoitu 4. heinäkuuta 2015 Wayback Machinessa - Interaktiivinen opas Fourier-muunnokseen | BetterExplained Arkistoitu 4. heinäkuuta 2015 Wayback Machinessa
Ronald N. Bracewell . Fourier-muunnos. Tieteellinen amerikkalainen. Tieteen maailmassa. No. 8, 1989, s. 48-56 Arkistoitu 24. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa

Integraalit muunnokset
Abel muunnos Bessel muuntuu Bushmanin muunnos Gegenbauerin muunnos Hilbertin muunnos Kontorovich-Lebedev muunnos Laplace-muunnos Meyerin muunnos Mehler-Fockin muunnos Mellinin muunnos Nerain muunnos Radonin muutos Stieltjes muunnos Fourier-muunnos Hankelin muunnos Hartley muunnos

Puristusmenetelmät _

Teoria

Tiedot	Oma Keskinäinen Haje Ehdollinen entropia Monimutkaisuus Redundanssi
Yksiköt	Bitti Nat Napostella Hartley Hartleyn kaava

Häviötön

Entropian pakkaus	Epäsymmetriset lukujärjestelmät Huffmanin algoritmi Mukautuva Huffman-algoritmi Shannon-Fano-algoritmi Shannonin algoritmi Aritmeettinen koodaus ( intervalli ) Golomb koodit Delta Universaali koodi Elias fibonacci
Sanakirjamenetelmät	RLE Tyhjennä LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandardi )
muu	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Audio

Teoria	Convolution PCM Aliasing Näytteenotto Kotelnikovin lause
menetelmät	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Laki μ-laki ADPCM MDCT Fourier-muunnos Psykoakustinen malli
muu	Äänen kompressori Puheen pakkaus Band koodaus

Kuvat

Ehdot	väriavaruutta Pikseli Saturaatio-alinäytteenotto Pakkausesineitä
menetelmät	RLE DPCM fraktaali aallokko EZW SPIHT LP PrEP PCL
muu	Bittinopeus Normaali testikuva PSNR Kvantisointi

Video

Ehdot	Videon ominaisuudet Kehys Kehystyypit Videon laatu
menetelmät	Liikekompensointi PrEP Kvantisointi aallokko
muu	Videokoodekki Nopeuden vääristymisteoria CBR ABR VBR

Johdannaisia latinalaisesta kirjaimesta F, f
Kirjaimet	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ Ff F̀f̀ F̄f̄ F̧f̧ ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
Symbolit	ƒ ₣ ℉ ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019 Määrät ja yksiköt - Osa 2: Matematiikka - 2 - ISO , 2019. - 36 s.