Moniarvoinen logiikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 19 muokkausta .

Moniarvologiikka on logiikkaa, jossa loogiset lausekkeet voivat ottaa arvoja joukosta, joka sisältää enemmän kuin kaksi elementtiä. Joitakin näistä arvoista pidetään kuitenkin todellisina . Näissä ominaisuuksissa moniarvoinen logiikka eroaa Aristoteleen klassisesta logiikasta , jossa loogiset lausekkeet voivat ottaa vain yhden kahdesta mahdollisesta arvosta - "tosi" tai "epätosi". Klassinen kaksiarvoinen logiikka voidaan kuitenkin laajentaa n-arvoiseen logiikkaan, jossa n > 2. Kirjallisuudessa suosituimpia ovat kolmiarvologiikka (esim . Jan Lukasiewiczin ja Stephen Kleenen logiikka , joka ottaa arvot "tosi", "epätosi" ja "tuntematon"), äärellisarvoinen (voi olla enemmän kuin kolme arvoa) ja äärettömän arvoinen logiikka (tämä sisältää todennäköisyyslogiikan jatkuvalla totuusarvojen asteikolla alkaen 0-1, samoin kuin sumea logiikka ).

Historia

Ensimmäinen tunnettu tiedemies, joka ei täysin hyväksynyt poissuljetun keskikohdan lakia ja luottanut siihen, oli Aristoteles (jota on ironista kyllä pidetty "klassisen logiikan isänä"). Aristoteles ymmärsi sen tosiasian, että hänen lakejaan ei aina voitu soveltaa tuleviin tapahtumiin, mutta hän ei yleistänyt kaksiarvoista logiikkaa n-ulotteiseen tapaukseen epätarkkuuksien poistamiseksi.

1800-luvun loppuun asti matemaatikot noudattivat aristotelilaisen logiikan lakeja , jotka perustuivat poissuljetun keskikohdan lakiin . 1900-luvulla kiinnostus moniarvoista logiikkaa kohtaan alkoi kuitenkin kasvaa. Joten esimerkiksi puolalainen matemaatikko ja filosofi Jan Lukasiewicz alkoi kehittää ensimmäistä moniarvoisen logiikan järjestelmää käyttämällä kolmatta merkitystä - "neutraalia" voittaakseen Aristoteleen muotoileman meritaistelun paradoksin . Sillä välin amerikkalainen matemaatikko Emil Post esitteli paperin, jossa kuvattiin mahdollisuutta ottaa käyttöön lisätotuusarvoja . Hieman myöhemmin Lukasiewicz pystyi yhteistyössä Alfred Tarskin kanssa toistamaan Postin menestyksen muotoilemalla n-arvoisen logiikan perusperiaatteet . Vuonna 1932 Hans Reichenbach tiivisti nämä periaatteet julkaisussa . $n>2$ $n>2$ $n\rightarrow \infty$

Vuonna 1932 Kurt Gödel osoitti, että intuitionistinen laskenta ei ole äärellisulotteinen ja esitteli oman järjestelmänsä (Gödel calculus, eng. Gödel logic ) välilinkkinä klassisen logiikan ja intuitionistisen välillä. Gödelin laskenta tuli myöhemmin tunnetuksi "välilogiikkana" (eng. intermediate logic ).

Perustiedot

Pääartikkelit: Kolmiarvoinen logiikka , Neliarvoinen logiikka , Yhdeksänarvoinen logiikka

Moniarvoisten lauselogiikkojen kuvaamiseen käytetään ns. loogisia matriiseja [1] [2] , eli algebralliset järjestelmät muodossa , jossa on universumi, ovat funktionaalisia symboleja, on yksipaikkainen predikaattisymboli. Universumin elementit vastaavat loogisia arvoja ja funktionaaliset symbolit loogisia konnektiiveja (operaatioita), joten allekirjoitustermit ovat loogisia kaavoja. Jos looginen kaava on sellainen, että , sitä kutsutaan annetun loogisen matriisin päteväksi tai tautologiaksi, kun taas predikaatti määrittelee loogisten arvojen osajoukon, joita käsitellään tosiina. Siten propositionaalisen logiikan matriisiesitykset rakennetaan - tautologioiden joukkoja kielessä, joka koostuu muuttujien nimistä ja konnektiivista. ${\mathfrak {M}}=(V,f_{1},f_{2},...,f_{l},{\mathcal {D}})$ $V$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{l))$ $\mathcal{D}$ $\sigma ({\mathfrak {M}})$ $A(x_{1},x_{2},...,x_{k})$ ${\mathfrak {M}}\models \forall {x_{1}}\forall {x_{2}}{..}\forall {x_{k}}{\mathcal {D}}(A( x_{1},x_{2},...,x_{k}))$ $\mathcal{D}$

Mikä tahansa funktio , mukaan lukien moniarvoisella logiikalla ilmaistu funktio, jossa , voidaan esittää moniarvoisen logiikan täydellisenä disjunktiivisena normaalimuotona (PDNF) seuraavasti [2] : $f:E_{n+1}^{k}\rightarrow E_{n+1}$ ${\displaystyle E_{n+1}=\{0,1,2,...,n\))$

f(x_{1},x_{2},..,x_{k})=\bigvee _{(a_{1},a_{2},..,a_{k})\in E_ {n+1}^{k}}f(a_{1},a_{2},..,a_{k})\wedge \left(\bigwedge _{m=1,..,k}J_{ a_{m}}(x_{m})\oikea)

missä on konjunktioperaatio : ${\näyttötyyli \kiila }$

x\wedge y=min(x,y),

symboli tarkoittaa disjunktiotoimintoa : $\vee$

x\vee y=max(x,y),

ja Rosser-Turquette-operaattorit: $J_{i}(x)$

J_{i}(x)={\begin{cases}n,&x=i,\\0,&x\neq i.\end{cases))

K 3 Kleene -logiikka ja P 3 Priest -logiikka

Kleenen määrittelemättömyyden logiikka (joskus merkitään ) ja Priestin "paradoksilogiikka" tuovat I:lle kolmannen "epämääräisen" tai "välitason" merkityksen. Totuustaulukot negaatiolle (¬), konjunktiolle (˄), disjunktiolle ( ˅), implikaatio (→) ja vastineet (↔), näyttävät tältä: $K_{3}$ $K_{3}^{S}$

¬
T	F
minä	minä
F	T

∧	T	minä	F
T	T	minä	F
minä	minä	minä	F
F	F	F	F

∨	T	minä	F
T	T	T	T
minä	T	minä	minä
F	T	minä	F

→K	T	minä	F
T	T	minä	F
minä	T	minä	minä
F	T	T	T

↔K	T	minä	F
T	T	minä	F
minä	minä	minä	minä
F	F	minä	T

Ero näiden kahden logiikan välillä on lauseiden algebran tautologian erilaisessa määrittelyssä (tautologia on identtisesti totta, joka on muuttumaton komponenttiensa arvojen suhteen). B :ssä vain T määritellään tosiksi, kun taas sekä T että I määritellään tosiksi. Kleenen logiikassa I on "määrittelemätön" suure, joka ei ole "tosi" tai "epätosi"; Priestin logiikassa minä on "uudelleenmääritelty" suure, joka on sekä "tosi" että "epätosi". ei sisällä tautologioita, mutta sisältää samat tautologiat kuin klassinen kaksiarvoinen logiikka. $K_{3}$ $P_{3}$ $K_{3}$ $P_{3}$

Bochvarin sisäinen kolmiarvoinen logiikka

Toinen esimerkki on Bochvarin "sisäinen" kolmiarvoinen logiikka, jonka Dmitri Anatoljevitš Bochvar hankki vuonna 1938. Sitä kutsutaan myös heikoksi kolmiarvoiseksi Kleene-logiikaksi. Negaation ja ekvivalenssin totuustaulukot pysyvät samoina, mutta kolmelle muulle operaatiolle ne ovat muodoltaan: $B_{3}^{I}$

∧+	T	minä	F
T	T	minä	F
minä	minä	minä	minä
F	F	minä	F

∨+	T	minä	F
T	T	minä	T
minä	minä	minä	minä
F	T	minä	F

→+	T	minä	F
T	T	minä	F
minä	minä	minä	minä
F	T	minä	T

Bochvarin sisäisessä logiikassa minua voidaan kuvata "itsenäiseksi", koska sen arvo ei riipu T:n ja F:n arvoista.

Belnapin logiikka B 4

Nuel Belnapin ehdottama logiikka yhdistää ja . "Ylimääritetty" arvo on merkitty B:llä ja "alimääritetty" arvo N:llä. $K_{3}$ $P_{3}$

f ¬
T	F
B	B
N	N
F	T

f ∧	T	B	N	F
T	T	B	N	F
B	B	B	F	F
N	N	F	N	F
F	F	F	F	F

f ∨	T	B	N	F
T	T	T	T	T
B	T	B	T	B
N	T	T	N	N
F	T	B	N	F

Gödelin logiikka G k ja G ∞

Vuonna 1932 Gödel määritteli moniarvoisen logiikan perheen rajallisilla arvoilla: $G_{k}$ $0,{\frac {1}{k-1)),{\frac {2}{k-1)),...,{\frac {k-2}{k-1)), yksi$

Esimerkiksi arvot ovat $G_{3}$ $0,{\frac {1}{2)),1$

Arvo saa muotoa : ${\displaystyle G_{4))$ $0,{\frac {1}{3)),{\frac {2}{3)),1$

Vastaavasti Gödel määritteli logiikan äärettömällä määrällä arvoja . Kaikki arvot ovat reaalilukuja , jotka kuuluvat väliin [0, 1]. Totuus tässä logiikassa on 1. ${\displaystyle G_{\infty ))$ ${\displaystyle G_{\infty ))$

Konjunktio (˄) ja disjunktio (˅) määritellään seuraavien lausekkeiden minimi-/maksimiarvoksi :

{\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned))

Negaatio (¬) ja implikaatio (→) määritellään seuraavasti:

{\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u> 0\end{cases}}\\u{\xrightarrow[{G}]{}}v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\ teksti{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

Gödelin logiikka on täysin aksiomatisoitavissa, joten on mahdollista määritellä looginen laskenta, jossa kaikki tautologiat voidaan todistaa.

Lukasiewiczin logiikka L v ja L ∞

Łukasiewicz määritteli implikaation (→) ja negation (¬) seuraavilla funktioilla:

{\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u{\xrightarrow[{L}]{}}v&:=\min\{1,1 -u+v\}\end{tasattu}}

Lukasiewicz käytti näitä määritelmiä ensimmäisen kerran vuonna 1920 kuvaillessaan logiikkaa arvojen kanssa . $L_{3}$ $0,{\frac {1}{2)),1$

Vuonna 1922 hän kuvaili äärettömän arvon logiikkaa , jonka kaikki arvot olivat välillä [0, 1] ja olivat reaalilukuja . Molemmissa tapauksissa 1 oli totta. $L_{{\infty ))$

Kuvaamalla arvoja Gödelin tapaan, nimittäin: voidaan luoda äärellisarvoinen logiikkaperhe sekä logiikka , jossa arvot esitetään myös rationaalisilla luvuilla ja ovat välissä [0, 1 ]. Monet tautologiat ja ovat identtisiä. $0,{\frac {1}{v-1)),{\frac {2}{v-1)),...,{\frac {v-2}{v-1)), yksi$ $L_{v}$ $L_{N_{0))$ $L_{{\infty ))$ $L_{N_{0))$

Tuloksena oleva logiikka Π

Tuloksena olevassa logiikassa meillä on arvot, jotka kuuluvat väliin [0,1], joille konjunktio (ʘ) ja implikaatio (→) määritellään seuraavasti:

{\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }} u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

Väärä arvo tässä logiikassa on 0. Sen avulla on mahdollista määritellä negatiivisen (¬) ja konjunktion operaatiot summauksella (˄):

{\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}{\overline {0}}\\u{\underset {\Pi }{\wedge }}v&:=u\odot (u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}v)\end{aligned}}

Viestin logiikka P m

Vuonna 1921 Post määritteli logiikkaperheen , jolla on merkityksiä: ${\displaystyle P_{m))$

$0,{\frac {1}{m-1)),{\frac {2}{m-1)),...,{\frac {m-2}{m-1)), yksi$ . (samanlainen kuin logiikka ja ). Negaatio (¬), konjunktio (˄) ja disjunktio (˅) määritellään seuraavasti: $L_{v}$ $G_{k}$

{\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac { 1}{m-1)),&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\u{\underset {P}{\wedge }}v&:=\min\{u ,v\}\\u{\underset {P}{\vee }}v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

Rosen logiikka

Vuonna 1951 Alan Rose kuvasi logiikkaperheen järjestelmille, joiden arvot muodostavat hiloja .

Semantiikka

Matriisin semantiikka (loogiset matriisit)

Yhteys klassiseen logiikkaan

Logiikka on järjestelmä, jossa on joukko sääntöjä, jotka on suunniteltu säilyttämään lauseiden ominaisuudet eri muunnoksissa. Klassisessa logiikassa tämä ominaisuus on "tosi".

Moniarvologiikka on suunniteltu säilyttämään merkintäominaisuus. Koska "tosia" arvoja on enemmän kuin kaksi, päättelysääntöjä voidaan soveltaa tallentamaan lisädataa, joka ei välttämättä ole totta. Esimerkiksi kolmiarvoisella logiikalla voi olla kaksi arvoa, jotka vastaavat eri asteikkojen "tosia" (ne voivat olla esimerkiksi positiivisia kokonaislukuja), ja päättelysäännöt säilyttävät nämä arvot.

Esimerkiksi tallennettu ominaisuus voisi olla vahvistus, jolla on tärkeä rooli intuitionistisessa logiikassa . Emme ota huomioon sen totuutta tai valhetta; sen sijaan työskentelemme sellaisten käsitteiden kanssa kuin altistuminen ja erehtyvyys.

Keskeinen ero vahvistuksen ja totuuden välillä on, että poissuljetun keskikohdan laki ei päde tässä tapauksessa: väite, joka ei ole väärä, ei välttämättä vahvistu; sen sijaan on vain todistettu, ettei se ole virheellinen. Keskeinen ero on säilytetyn ominaisuuden varmuus: voidaan osoittaa, että P on validoitu, että P on väärä tai se ei ole kumpaakaan. Kelvollinen argumentti säilyttää pätevyyden muunnoksissa, joten kelvollisista väitteistä johdettu lausunto pysyy voimassa. Siitä huolimatta klassisessa logiikassa on todisteita, jotka riippuvat suoraan poissuljetun keskikohdan laista; koska tämä laki ei päde tämän järjestelmän puitteissa, on väitteitä, joita ei voida todistaa tällä tavalla.

Sushkon opinnäytetyö

Pääartikkeli: Bivalenssiperiaate

1900-lukua leimasi moniarvoisten logiikan järjestelmien nopea kehitys, jota edustaa tällä hetkellä valtava määrä tutkimuksia ja artikkeleita. Erilaisten muodollisten järjestelmien määrän lisääntyessä kuitenkin heräsi kysymys saatujen tulosten tulkinnasta. Tiedemiehet ovat äkillisesti ymmärtäneet tarpeen pelkistää (vähentää) moniarvoista logiikkaa yhdelle perustalle.

Tavallinen klassinen logiikka voi toimia yhtenä tällaisen perustan muunnelmista. Tämän lähestymistavan huomattavin edustaja on puolalainen loogikko Roman Sushko , joka ehdotti algoritmiaan moniarvoisen logiikan pelkistämiseksi klassiseen kaksiarvoiseen logiikkaan ja muotoili periaatteen, josta tuli myöhemmin "Sushkon teesi". Tämän periaatteen mukaan mille tahansa moniarvoiselle logiikalle voidaan saada kaksiarvoinen semantiikka, joka kuvaa tätä logiikkaa.

Moniarvoisen logiikan toiminnallinen täydellisyys

Funktionaalinen täydellisyys on termi, jota käytetään kuvaamaan äärellisen logiikan ja algebran erikoisominaisuuksia.

Looginen joukko on toiminnallisesti täydellinen, jos ja vain, jos tämän joukon operaatioiden joukkoa voidaan käyttää kuvaamaan kaikkia mahdollisia totuusfunktioita vastaava kaava .

Toiminnallisesti täydellinen algebra on algebra, jossa jokainen äärellinen mappaus voidaan ilmaista siihen tehtyjen operaatioiden koostumuksina.

Klassinen logiikka: on toiminnallisesti täydellinen, kun taas Lukasiewiczin logiikassa tai äärettömän arvoisessa logiikassa ei ole tätä ominaisuutta. $CL=(\{0,1\}\ \neg \ \rightarrow \land \ \lor \longleftrightarrow )$

Voimme määritellä äärellisarvoisen logiikan seuraavasti: , missä ja n kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon. Emil Post vuonna 1921 osoitti, että jos logiikka pystyy tuottamaan m:nnen kertaluvun funktion, niin siinä on operaattoreiden yhdistelmä, joka tuottaa m+1 kertaluvun funktion. $L_{n}(\{1,2,...,n\},\ f_{1},...,f_{m})$ $n\geq 2$ $L_{n}$

Äärettömän arvon logiikka

Äärettömän arvon logiikka voidaan ottaa käyttöön seuraavasti:

totuusarvo on reaalilukujen segmentissä 0-1;
negaatio määritellään seuraavasti: ¬A = 1-A;
konjunktio määritellään seuraavasti: A∧B = min(A, B);
disjunktio määritellään seuraavasti: A∨B = max(A, B).

VL Rvachevin [3] R-funktioiden järjestelmät voidaan luokitella äärettömän arvoisen logiikan muodollisiksi järjestelmiksi .

Todennäköisyysteoria ja moniarvologiikka

Saattaa vaikuttaa siltä, että todennäköisyysteoria on hyvin samankaltainen kuin äärettömän arvoinen logiikka: todennäköisyys vastaa totuusarvoa (1=tosi, 0=epätosi), todennäköisyys, että jokin tapahtuma ei tapahdu, vastaa negaatiota, todennäköisyys tapahtua. kaksi tapahtumaa samanaikaisesti vastaa konjunktiota, ja vähintään yhden kahdesta tapahtumasta todennäköisyys vastaa disjunktiota.

Moniarvologiikan ja todennäköisyysteorian välillä on kuitenkin perustavanlaatuinen ero: logiikassa minkä tahansa funktion totuusarvo määräytyy kokonaan sen argumenttien totuusarvon perusteella, kun taas todennäköisyysteoriassa yhdistelmätapahtuman todennäköisyys ei riipu vain sen komponenttitapahtumien todennäköisyydet, mutta myös niiden riippuvuus toisistaan (joka ilmaistaan niiden ehdollisina todennäköisyyksinä ).

Tämä ilmenee erityisesti siinä, että todennäköisyysteoriassa täyttyy "suljetun keskikohdan lain" ekvivalentti: todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu tai ei tapahdu, on aina yhtä suuri kuin yksi, kun taas moniarvoisessa logiikassa poissuljetun keskikohdan laki ei täyty.

Todennäköisyysteoriassa pätee myös " ristiriitalain " vastine: todennäköisyys, että jokin tapahtuma tapahtuu ja ei tapahdu samaan aikaan, on aina 0, kun taas moniarvoisessa logiikassa ristiriidan laki ei päde.

Samanaikaisesti yllä olevan äärettömän arvon logiikan totuusarvojen ja todennäköisyysteorian todennäköisyyksien välillä on jokin yhteys, nimittäin:

jos a on jonkin tapahtuman todennäköisyys, niin tämän tapahtuman toistumisen todennäköisyys on 1 − a ;
jos a ja b ovat joidenkin kahden tapahtuman todennäköisyydet, niin näiden kahden tapahtuman yhteisesiintymisen todennäköisyys ei ylitä min( a , b );
jos a ja b ovat joidenkin kahden tapahtuman todennäköisyydet, niin ainakin yhden näistä kahdesta tapahtumasta todennäköisyys on suurempi tai yhtä suuri kuin max( a , b ).

Sovellukset

Moniarvoisen logiikan sovellukset voidaan jakaa karkeasti kahteen ryhmään.

Ensimmäinen ryhmä käyttää moniarvoista logiikkaa ratkaistakseen tehokkaasti jonkin kokonaisuuden binääriesityksen ongelman. Esimerkiksi Boolen funktion esittäminen useilla lähdöillä tarkoittaa, että sen tulosta käsitellään yhtenä muuttujana, joka riippuu useista argumenteista. Sen avulla suoritetaan lisämuunnoksia: se muunnetaan ominaisfunktioksi, jolla on yksi tulos (erityisesti indikaattorifunktio ).

Muita moniarvologiikan sovelluksia ovat Programmable Logic (PLA) -suunnittelu, tilakoneoptimointi, testaus ja validointi.

Toinen ryhmä on tarkoitettu luomaan ja suunnittelemaan elektronisia piirejä käyttämällä enemmän kuin kahta erillistä tasoa. Näitä ovat: moniarvoinen muisti, aritmeettiset logiikkayksiköt ja kenttäohjelmoitavat porttitaulukot (FPGA). Moniarvoisilla järjestelmillä on useita vakavia teoreettisia etuja verrattuna tavallisiin binäärijärjestelmiin. Joten esimerkiksi sirun ja sirun ulkopuolinen liitäntä voi olla pienempi, jos piirissä olevat signaalit voivat käsitellä neljää tasoa vain kahden sijaan. Muistin suunnittelussa kahden informaatiobitin tallentaminen yhden sijasta muistisolua kohden kaksinkertaistaa muistin tiheyden ja pitää sirun koon samana.

Aritmeettisia logiikkayksiköitä käyttävät ohjelmistosovellukset hyötyvät usein vaihtoehtojen käytöstä binäärilukujärjestelmille. Joten esimerkiksi jäännös- ja redundanttilukujärjestelmät (eng. redundant binary representation ) voivat vähentää tai eliminoida siirtojen (eng. ripple-carry ), jotka tapahtuvat tavallisessa binäärilaskussa tai -laskussa, mikä johtaa nopeisiin aritmeettisiin operaatioihin. Tällaisilla numerojärjestelmillä on luonnollinen toteutus käyttämällä moniarvoisia järjestelmiä.

Näiden mahdollisten teoreettisten etujen käytännöllisyys riippuu kuitenkin suuresti erityisten toteutusten saatavuudesta, joiden on oltava yhteensopivia ja kilpailukykyisiä nykyisten standarditekniikoiden kanssa. Sen lisäksi, että sitä käytetään elektroniikkapiirien suunnittelussa, moniarvologiikkaa käytetään laajasti piirien vikojen ja vikojen testaamiseen. Melkein kaikki tunnetut digitaalisten piirien testaamiseen käytetyt automaattisen testisekvenssin generoinnin (ATG) algoritmit vaativat simulaattorin, joka pystyy käsittelemään 5-arvoista logiikkaa (0, 1, x, D, D'). Lisäarvot - x, D ja D'- edustavat tuntematonta/alustamatonta (x-arvo), 0 1:n sijaan (D-arvo) ja 1 0:n sijaan (D'-arvo).

Kolminkertainen logiikkatietokone

Kolmiosainen tietokone "Setun" luotiin ja otettiin käyttöön Moskovan valtionyliopiston mekaniikan ja matematiikan tiedekunnassa vuonna 1958.

Toisin kuin nykyaikaisissa tietokoneissa käytetty klassinen lähestymistapa, Setun käytti kolmiosaista koodia, jossa on numerot −1, 0, 1. Tällä lähestymistavalla on useita etuja suoritettaessa aritmeettisia operaatioita ja esitettäessä lukua koneen muistissa: ei ole tarvetta epätäydelliselle numeroiden lisä-, suorat tai käänteiset koodit, pyöristys suoritetaan yksinkertaisesti leikkaamalla pois vähiten merkitsevät numerot, siirtotoiminnot ovat ainutlaatuisia, numerokoodi on yhtenäinen.

Tutkimussivustot

Kansainvälinen symposiumi moniarvologiikan sovellusten tutkimukseen liittyvistä ongelmista ja kysymyksistä (ISMVL) on järjestetty vuosittain vuodesta 1970 lähtien. Symposiumin päätyöalueita ovat erilaisten digitaalisten sovellusten ylläpito ja verifiointiongelmat.

Lisäksi on olemassa lehti, joka on omistettu moniarvoiselle logiikalle ja sen sovelluksille digitaalisessa maailmassa.

Muistiinpanot

↑ Karpenko A. S. Lukasiewiczin logiikka ja alkuluvut. Moskova: Nauka, 2000.
↑ 1 2 Kovalev S.P., "Tietokoneen aritmeettisen matemaattisen perusteet", Matem. tr., 8:1 (2005), 3-42; Siperian Adv. Math., 15:4 (2005), 34-70. Käytetty: 19.06.2021
↑ Rvachev V. L. R-funktioiden teoria ja jotkin sen sovellukset. - Kiova: Nauk. ajatus 1982.

Linkit

Kirjallisuus

Yablonsky SV Johdatus diskreettiin matematiikkaan. 2. painos M.: Nauka, 1986. 384 s. (linkki alas) (linkki alas 13.5.2013 alkaen [3454 päivää]) Luku 2.
Moniarvologiikka ja niiden sovellukset: Looginen laskenta, algebrat ja funktionaaliset ominaisuudet. Ed. Finna V.K. Volume 1. M.: URSS, 2008. 416 s.
Moniarvologiikka ja niiden sovellukset: Logiikka tekoälyjärjestelmissä. Ed. Finna V.K. Volume 2. M.: URSS, 2008. 240 s.
Karpenko A.S. Moniarvoinen logiikka. Logiikka ja tietokone. Ongelma. 4. M.: Nauka, 1997. 223 s.
Karpenko A. S. Lukasiewicz logiikka ja alkuluvut. M.: Nauka, 2000. 319s.
Kondakov N. I. Looginen sanakirja / Gorsky D. P. - M. : Nauka, 1971. - 656 s.
Moniarvologiikkaa käsitteleviä artikkeleita osoitteessa arxiv.org
Levin V.I. Ääretön logiikka kybernetiikan ongelmissa. Moskova: Radio ja viestintä, 1982. 176 s.
Rescher, N. "Many-valued Logic", Mc. Graw-Hill, New York, 1969.
Rosser, JB, Turquette, A.R. "Moniarvoinen logiikka", Pohjois-Hollanti, Amsterdam, 1952.

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista