Calabi-Yaun avaruus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Calabi-Yau-avaruus ( Calabi-Yau-jakoputki ) on kompakti monimutkainen jakoputkisto , jossa on Kähler-metriikka , jolle Ricci-tensori katoaa. Supermerkkijonoteoriassa toisinaan oletetaan, että aika- avaruuden ylimääräiset ulottuvuudet ovat 6-ulotteisen Calabi-Yau-moniston muotoa, mikä johtaa ajatukseen peilisymmetriasta . Nimi keksittiin vuonna 1985 [1] Eugenio Calabin kunniaksi , joka ehdotti ensimmäisenä [2] [3] , että tällaisia ulottuvuuksia voisi olla olemassa, ja Yau Shintunalle , joka vuonna 1978 todisti [4] Calabin olettamuksen .

Monimutkainen -ulotteinen Calabi-Yau-avaruus on -ulotteinen Riemannin monisto , jossa on Ricci-tasainen metriikka ja ylimääräinen symplektinen rakenne. $n$ $2n$

Suuntautuvuus ja holomorfinen suuntautuvuus

Sileät jakotukit jaetaan suuntautuviin ja ei-suuntautuviin. Historiallisesti ensimmäinen esimerkki ei-suuntautuneesta jakoputkesta oli Möbius-nauha (ja tietyssä mielessä tämä on tärkein esimerkki: kaksiulotteinen sileä jakotukki on suuntaamaton, jos ja vain jos se sisältää Möbius-nauhan). Differentiaalimuotojen osalta suuntautuvuusehto on muotoiltu seuraavasti: jakoputkisto on suuntautuva silloin ja vain, jos se sallii korkeimman asteen differentiaalimuodon, joka ei katoa mihinkään ( tilavuusmuoto ). Geometriassa suuntaamattomat jakotukit ovat enemmänkin uteliaisuutta, koska mihin tahansa ei-suuntautuvaan jakotukkiin mahtuu kaksoiskansi , jonka kokonaistila on suuntautuva (ns. suuntauskansi). Se on kätevää rakentaa käyttämällä vektorinippujen teoriaa . Nimittäin meidän on otettava huomioon kotangenttinipun korkein ulompi aste - toisin sanoen ripustamalla jokaisen pisteen päälle todellinen viiva, joka parametroi kaikki mahdolliset tilavuuden muodot tangenttiavaruudessa tässä pisteessä, valitse jokaisesta kerroksesta skalaaritulo (for esimerkiksi käyttämällä yksikön jakoa ) ja huomioimalla siinä sitten yksikköpituisia vektoreita (eli kaksi vektoria kunkin pisteen yläpuolella). Tangenttiavaruus pisteessä , jossa p on monistomme piste ja a on nollasta poikkeava tilavuusalkio, projisoidaan isomorfisesti kohtaan , ja ottamalla siihen tilavuusalkio, joka on yhtä suuri , saadaan korkeimman asteen nollasta katoava muoto. tämän päällysteen kokonaistilasta. Samanlainen rakenne, kun jokainen piste korvataan avaruudella, joka parametroi kaikenlaisia tietyntyyppisiä rakenteita tässä kohdassa (tässä tapauksessa pistepari), ja sitten tuodaan tuloksena olevaan kuituavaruuteen jokin rakenne. monimutkaisia tapauksia kutsutaan twistorirakenteeksi . ${\näyttötyyli (p,\nu )}$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

Kaikki yllä oleva koskee vain todellisia sileitä monistoja (eli ne koostuvat kartoista, joiden väliset siirtymäfunktiot ovat äärettömästi differentioituvia). Monimutkaisessa geometriassa voidaan antaa seuraavaa

Määritelmä. Antaa olla monimutkainen monimutkainen monimutkainen ulottuvuus . Holomorfista nippua , jonka kuitu jossakin pisteessä on monimutkainen ulkovoima, kutsutaan kanoniseksi nipuksi . Jos monisto hyväksyy kanonisen nipun holomorfisen osan, jossa ei ole minnekään rappeutunutta, sitä kutsutaan Calabi-Yaun monistimeksi ja tätä osaa kutsutaan holomorfiseksi tilavuusmuodoksi . $X$ $n$ $K_{X}$ ${\näyttötyyli K_{x))$ $x\in X$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $X$

Esimerkiksi kun on kompleksikäyrä tai Riemannin pinta , kanoninen nippu on vain holomorfinen kotangenttikimppu. Sen osat ovat holomorfisia 1-muotoja tai Abelin differentiaaleja . Ainoa Riemannin pinta, joka sallii Abelin differentiaalin ilman nollia, on torus, eli elliptinen käyrä . $X$

Samaan aikaan terminologiassa on hämmennystä (joka selitetään alla): joskus Calabi-Yau-lajikkeita vaaditaan hävittämään (tai ainakin rajallistamaan) perusryhmä. Jotkut kirjoittajat menevät vielä pidemmälle ja viittaavat "Calabi-Yaun" määritelmään vain niihin monisteisiin, joiden Hodge-luvut ovat kaikki yhtä suuria kuin nolla (heikomman sopimuksen kannattajat kutsuvat tällaisia monistoja "tiukkaksi Calabi-Yauksi"). Melkein kaikki kirjoittajat vaativat Kählerin ehdon , joka ei a priori liity holomorfisen tilavuusmuodon olemassaoloon. Lopuksi matemaatikoille, ellei toisin mainita, Calabi-Yau-jakoputket oletetaan olevan kompakteja, mutta myös ei-kompaktit Calabi-Yau-jakoputket ovat tärkeitä sovelluksissa: sellaisissa tapauksissa on tapana sisällyttää määritelmään ehto asymptoottisesta. holomorfisen tilavuusmuodon käyttäytyminen äärettömyydessä. Määritelmässä on muitakin muunnelmia, jotka liittyvät Calabi-Yaun jakotukien differentiaaligeometrisiin ominaisuuksiin. Kaiken tämän yhteydessä edellä olevan määritelmän mukaisia monistoja kutsutaan joskus ammattikielessä "holomorfisesti suuntautuneiksi" . Tästä eteenpäin termillä "Calabi-Yau" tarkoitamme kompaktia Kähleriä, holomorfisesti suuntautuvaa jakoputkistoa. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Yleisestä monimutkaisesta jakoputkistosta, joka ei ole holomorfisesti orientoitavissa, on mahdotonta saada Calabi-Yau-jakoputkistoa millään yksinkertaisella rakenteella, kuten orientoivalla päällysteellä. Itse asiassa monimutkaisen nipun tyypillinen luokka on ensimmäinen Chern-luokka . Jotta saataisiin holomorfinen tilavuusmuoto (eli trivialisaatio ), tämä luokka on mitätöitävä. Vertailun vuoksi, todellisten linjanipujen tunnusomaiset luokat, Stiefel-Whitney-luokat , saavat arvon , kohomologiaryhmä, jonka kertoimet jäännösrenkaassa modulo kaksi, ja, ei ole yllättävää, katoavat sopivan kaksoispeitteen jälkeen. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricci-tasainen metriikka

Kählerin moninkertaisuuksissa Riccin kaarevalla on merkittävä ominaisuus: jos on monimutkaisen rakenteen operaattori, niin 2-muoto on suljettu ja kuuluu kanonisen nipun kohomologialuokkaan , Chern-luokkaan. Tämä voidaan varmistaa esimerkiksi eksplisiittisellä koordinaattilaskelmalla kanonisen nipun kaarevuudesta Kähler-jakoputkessa ja todistaa käyttämällä Chern-Weilin teoriaa . Muotoa kutsutaan Ricci-muodoksi . $minä$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Calabin hypoteesin (1954, 1957) hän ratkaisi käytännössä - vain äärimmäisen hienovarainen analyyttinen momentti, jolla ei ollut suoraa yhteyttä geometriaan, ei antanut hänelle periksi. Sen jälkeen kun Yau (1977, 1978) todisti tämän analyyttisen väitteen, sitä kutsutaan oikeutetusti Calabi-Yau -lauseeksi (tai Yaun ratkaisuksi Calabi -oletuksiin ).

Lause. Olkoon kompakti Kähler-jakotukki, sen Kähler-muoto ja jokin muoto, joka edustaa ensimmäistä Chern-luokkaa. Sitten on olemassa Kähler-metriikka siten, että sen Kähler-muoto kuuluu samaan kohomologialuokkaan kuin (eli muoto on tarkka), ja metriikan Ricci-muoto on . ${\näyttötyyli (X,g)}$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $X$ ${\tilde {g))$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g))$ $R$

Calabi-Yaun monistolle, jossa on , lausetta voidaan soveltaa muotoon ja saada ei-triviaali $c_{1}(K_{X})=0$ $R = 0$

Seuraus. Calabi-Yaun jakoputkessa jokainen Kahler-luokka hyväksyy Ricci-tasaisen mittarin.

Samaan aikaan Kähler-nipun Ricci-kaarevuuden katoaminen ei vielä tarkoita kanonisen nipun triviaalisuutta (ja vastaavasti holomorfisen tilavuusmuodon olemassaoloa ): tietysti Ricci - muodon luokka de Rham-kohomologia on nolla, mutta tämä ei sulje pois sitä tosiasiaa, että integraali Chern-luokka on nollasta poikkeava luokka vääntöalaryhmässä . Joskus tällaiset lajikkeet sisältyvät myös Calabi-Yau-lajikkeiden määritelmään. $[\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Ricci-tasaisen Kahlerian metriikan Levi-Civita-yhteys säilyttää paitsi hermiittisen rakenteen tangenttiavaruudessa (eli sen holonomia ei ole vain ryhmässä $\mathrm {U} (n)$ ), kuten tapahtuu missä tahansa Kahlerian monistossa, vaan myös holomorfisen tilavuusmuodon ( eli holonomia on ryhmässä ${\mathrm {SU}}(n)$ ) . Tämä on yksi Berger-taulukon ryhmistä , ja tämä muodostaa Calabi-Yaun jakoputkien differentiaaligeometrisen määritelmän. Differentiaaligeometrit kieltäytyvät rutiininomaisesti nimestä "Calabi-Yau" jakoputkista, joihin Levi-Civita-liitoksen holonomiaryhmä tiukasti sisältyy (kuten esimerkiksi toruksen litteän metriikan tapauksessa), eikä se ole täsmälleen sama kuin tämä ryhmä. . ${\mathrm {SU}}(n)$

Esimerkkejä ja luokittelu

Yksiulotteisessa tapauksessa mikä tahansa Calabi-Yau-avaruus on torus , jota käsitellään elliptisenä käyränä . Yleensä minkä tahansa ulottuvuuden monimutkainen torus on Calabi-Yaun monisto. Ricci-tasainen metriikka on tässä tapauksessa yksinkertaisesti tasainen metriikka, ja tämä on ainoa tunnettu tapaus, jossa se voidaan kirjoittaa sulavaan kaavaan. $\mathbf {T} ^{2}$

Kaikki kaksiulotteiset Calabi-Yau-avaruudet ovat tori- ja ns. K3-pintoja . Luokittelu korkeampiin ulottuvuuksiin ei ole täydellinen, myös tärkeässä kolmiulotteisessa tapauksessa. Esimerkki -ulotteisesta Calabi-Yau-jakoputkesta on B-asteen sileä hyperpinta ( tai yleensä sileä antikanoninen jakaja – toisin sanoen nipun osuuden nollataso, joka on kaksinkertainen kanonisen kanssa – missä tahansa jakoputkessa, jossa antikanoninen nippu sallii osia). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4))$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Bogomolovin hajoamislause

Calabi- Yaun monistojen teorian tärkeä rakenteellinen tulos on Bogomolovin (joskus Beauville -Bogomolov) hajotuslause .

Lause. Mikä tahansa kompakti Kähler-jakotukki , jolla on holomorfinen tilavuusmuoto (ja vastaavasti Ricci-tasainen metriikka), sallii äärellisen päällysteen , joka hajoaa kohtisuoraan tuloon , jossa: $X$ $X'\to X$ ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j))$

$T$ on monimutkainen torus, jolla on litteä metriikka,
$Y_{i}$ ovat tiukkoja Calabi-Yau-jakoputkia, eli sellaisia, että for ja , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i))$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
$Z_{j}$ ovat redusoitumattomasti holomorfisesti symplektisiä monistoja , eli sellaisia, että ja . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Tässä Hodge - numerot . Holomorfisesti symplektiset jakoputket tunnetaan differentiaaligeometriassa myös hyperkähler-jakoputkina (nimikkeistö tässä tapauksessa, kuten Calabi-Yaun monistojen tapauksessa, on hieman hämmentävää). $h^{p,q}$

Aikaisempi Calabi-teoreema, joka todistettiin hänen nimensä hypoteesin perusteella, totesi samanlaisen tosiasian, mutta eroamatta tiukkojen Calabi-Yaun ja redusoitumattomien holomorfisesti symplektisten monistojen välillä. [5] Lauseen todisti (ilman huomautusta suluissa, ei vielä tuolloin vahvistettu) vuonna 1974 Bogomolov kirjassaan On the decomposition of Kählerian monimutkainen triviaali kanoninen luokka . [6] Vuonna 1978 Bogomolov käytti tätä tulosta osoittaakseen, että holomorfisesti symplektisten monistojen luokka on käytetty loppuun K3-pinnoilla . Tämä todiste osoittautui virheelliseksi: vuonna 1983 Beauville antoi esimerkkejä holomorfisesti symplektisistä monista ( K3-pinnan Hilbertin pistekaavio tai Abelin pinnan Hilbertin pistekaavio , joka summaa nollalla, ns. yleistetty Kummer jakoputki ). Samalla hän antoi toisen, differentiaaligeometrisen todisteen Bogomolovin lauseesta, joka perustuu Yaun ratkaisuun Calabi-oletuksiin. [7] $n$ $n+1$

Käytä merkkijonoteoriassa

Merkkijonoteoria käyttää kolmiulotteisia (reaaliulotteinen ulottuvuus 6) Calabi-Yaun monistoja tila -ajan tiivistyskerroksena , jolloin jokainen piste neliulotteisessa aika-avaruudessa vastaa Calabi-Yau-avaruutta.

Yli 470 miljoonan 3D Calabi-Yau -avaruuden [8] tiedetään täyttävän merkkijonoteorian lisämittausvaatimukset.

Yksi merkkijonoteorian pääongelmista (kun otetaan huomioon nykyinen kehitystaso) on sellainen näyte ilmoitetusta tyydyttävästä kolmiulotteisten Calabi-Yau-avaruuksien osajoukosta, joka antaisi sopivimman perustelun perheiden lukumäärälle ja koostumukselle. tunnetut hiukkaset. Calabi-Yau-tilojen vapaan valinnan ilmiö ja tässä yhteydessä valtavan määrän väärien tyhjiöiden syntyminen jousiteoriassa tunnetaan jousiteorian maisemaongelmana . Samaan aikaan, jos tämän alueen teoreettinen kehitys johtaa yhden Calabi-Yau-avaruuden valintaan, joka täyttää kaikki lisäulottuvuuksien vaatimukset, tästä tulee erittäin painava argumentti merkkijonoteorian totuuden puolesta [9] .

Muistiinpanot

↑ Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew & Witten, Edward (1985), Vacuum configurations for superstrings , Nuclear Physics B Vol. 258: 46–74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), Kähler-metriikan avaruus, Proc. Internat. Kongressin matematiikka. Amsterdam , s. 206-207
↑ Calabi, Eugenio (1957), Kähler-jakoputket, joissa on katoava kanoninen luokka, Algebrallinen geometria ja topologia. Symposium S. Lefschetzin kunniaksi , Princeton University Press , s. 78-89 , MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), Kompaktin Kähler-jakoputken Ricci-kaarevasta ja monimutkaisesta Monge-Ampère-yhtälöstä. I , Communications on Pure and Applied Mathematics , osa 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. Kähler-jakotukissa, joissa on katoava kanoninen luokka , algebrallinen geometria ja topologia. Symposium S. Lefschetzin kunniaksi, s. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Kählerin jakoputkien hajoamisesta triviaalin kanonisen luokan kanssa Arkistoitu 27. heinäkuuta 2013 Wayback Machine Matissa. la , 1974, osa 93(135), numero 4, sivut 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arkistoitu 21. joulukuuta 2019, Wayback Machine , J. Differential Geom., Volume 18, Number 4 (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Kieleteoria ja maailmankaikkeuden piilotetut ulottuvuudet. - Pietari. : Piter Publishing House, 2016. - 400 s. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Green Elegant Universe. Superstrings, Hidden Dimensions ja Quest for the Ultimate Theory . Per. englannista, kenraali toim. V. O. Malyshenko, - M . : PääkirjoitusURSS, 2004. - 288 s. — ISBN 5-354-00161-7 .

Kirjallisuus

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Täydelliset Kähler-jakoputket, joissa ei ole Ricci-kaarevuutta, I , Amer. Matematiikka. soc. Vol. 3 (3): 579–609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Täydelliset Kähler-jakoputket, joissa on nolla Ricci-kaarevuus, II , Invent. Matematiikka. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902