Poincaren olettamus

Poincarén arvelu on todistettu matemaattinen olettamus , jonka mukaan mikä tahansa yksinkertaisesti yhdistetty kompakti 3 - monitori ilman rajaa on homeomorfinen 3 -pallon kanssa . Matemaatikko Henri Poincaren vuonna 1904 esittämä olettamus todisti Grigory Perelmanin artikkelisarjassa vuosina 2002-2003 . Sen jälkeen kun matemaattinen yhteisö vahvisti todistuksen vuonna 2006, Poincaren olettamuksesta tuli vuosituhannen ensimmäinen ja toistaiseksi ainoa (2022) ratkaistu ongelma .

Yleistetty Poincarén arvelu on väite, että mikä tahansa -ulotteinen monisto vastaa homotooppisesti -ulotteista palloa, jos ja vain jos se on sille homeomorfinen . Pääasiallinen Poincaren arvelu on yleistetyn arvelun erikoistapaus . 1900-luvun loppuun mennessä tämä tapaus jäi ainoaksi todistamatta. Siten Perelmanin todistus täydentää myös yleistetyn Poincarén arvelun todisteen. $n$ $n$ $n = 3$

Todistuskaavio

Ricci-virtaus on määrätty osittaisdifferentiaaliyhtälö , samanlainen kuin lämpöyhtälö . Sen avulla voit muuttaa Riemanni-metriikkaa jakoputkessa, mutta muodonmuutosprosessissa "singulaariteettien" muodostuminen on mahdollista - pisteitä, joissa kaarevuus pyrkii äärettömyyteen, eikä muodonmuutosta voida jatkaa. Todistuksen tärkein vaihe on luokitella tällaiset singulaaruudet kolmiulotteiseen orientoituneeseen tapaukseen. Kun lähestytään singulaariteettia, virtaus pysäytetään ja tehdään " leikkaus " - pieni yhdistetty komponentti heitetään ulos tai "kaula" leikataan pois (eli avoin alue, joka on diffeomorfinen suoraan tuotteeseen nähden ), ja tuloksena on kaksi reikää. tiivistetään kahdella pallolla niin, että tuloksena olevan jakoputken metriikka tulee riittävän tasaiseksi - minkä jälkeen jatka muodonmuutosta Ricci-virtausta pitkin. $(0,1)\kertaa S^{2}$

Yllä kuvattua prosessia kutsutaan "Ricci-virtaukseksi leikkauksella". Singulariteettien luokittelu mahdollistaa sen johtopäätöksen, että jokainen "heitetty pala" on diffeomorfinen pallomaiseen avaruusmuotoon .

Todistettaessa Poincarén olettamusta aloitetaan mielivaltaisella Riemanni-metriikalla yksinkertaisesti yhdistetyllä 3-jakajalla ja sovelletaan Ricci-virtausta siihen leikkauksella. Tärkeä askel on todistaa, että tällaisen prosessin seurauksena kaikki "heitetään pois". Tämä tarkoittaa, että alkuperäinen jakotukki voidaan esittää joukkona pallomaisia tilamuotoja, jotka on liitetty toisiinsa putkilla . Perusryhmän laskelma osoittaa, että diffeomorfisesti tilamuotojen joukon yhdistettyyn summaan ja lisäksi kaikki ovat triviaaleja. Siten on pallojoukon yhdistetty summa, eli pallo. $M$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $[0,1]\kertaa S^{2}$ $M$ $S^{3}/\Gamma _{i}$ $\Gamma _{i}$ $M$

Historia

Vuonna 1900 Henri Poincaré arveli, että 3-monikerta, jossa on kaikki homologiaryhmät, kuten pallo, on homeomorfinen pallolle. Vuonna 1904 hän löysi myös vastaesimerkin, jota nykyään kutsutaan Poincarén palloksi , ja muotoili olettamuksestaan lopullisen version. Yritykset todistaa Poincarén oletus johtivat lukuisiin edistysaskeliin monistojen topologiassa.

Poincarén hypoteesi ei kiinnittänyt tutkijoiden huomiota pitkään aikaan. 1930-luvulla John Whitehead herätti kiinnostuksensa olettamukseen ilmoittamalla todisteen, mutta hylkäsi sen. Etsiessään hän löysi mielenkiintoisia esimerkkejä yksinkertaisesti yhdistetyistä ei-kompakteista 3-jaostoista, ei-homeomorfisista , joiden käänteinen kuva tunnetaan nimellä Whitehead-monisto . $\mathbb {R} ^{3}$

Todisteet yleistetystä Poincaren oletuksesta sai 1960- ja 1970-luvun alussa lähes samanaikaisesti Smale , itsenäisesti ja muilla menetelmillä Stallings (sillä Zeeman laajensi hänen todisteensa tapauksiin ). Todisteen paljon vaikeammasta tapauksesta Friedman sai vasta vuonna 1982 . Novikovin teoreemasta Pontrjaginin tunnusluokkien topologisesta invarianssista seuraa , että on olemassa homotooppisesti ekvivalentteja, mutta ei homeomorfisia monimuotoisia suuria ulottuvuuksia. $n\geqslant 5$ $n\geqslant 5$ $n = 5,6$ $n = 4$

Todisteen alkuperäisestä Poincaren oletuksesta (ja yleisemmästä Thurston-arvauksesta ) löysi Grigory Perelman , ja hän julkaisi sen kolmessa artikkelissa arXiv -verkkosivustolla vuosina 2002-2003. Myöhemmin vuonna 2006 ainakin kolme tutkijaryhmää vahvisti ja esitti Perelmanin todisteen laajennetussa muodossa [1] . Todistuksessa käytetään muunnelmaa Ricci-virtausta (ns. Ricci-virtausta kirurgisesti ) ja se noudattaa pitkälti R. S. Hamiltonin hahmottelemaa suunnitelmaa , joka myös ensimmäisenä käytti Ricci-virtausta.

Tunnustus ja arvosanat

Vuonna 1986 Michael Friedmanista tuli Fields-mitalisti .
Vuonna 2006 Grigory Perelmanista tuli Fields Laureate (hylätty).
Vuonna 2010 Clay Institute of Mathematics myönsi [2] Perelmanille Millennium-palkinnon (hylätty).

Heijastus mediassa

Vuonna 2006 Science -lehti kutsui Perelmanin todistetta Poincaren olettamuksesta tieteelliseksi " Vuoden läpimurtoksi " [3] . Tämä on ensimmäinen matematiikan teos, joka ansaitsi tällaisen otsikon [4] .
Vuonna 2006 Sylvia Nazar julkaisi sensaatiomaisen [5] artikkelin " Many Destiny ", joka kertoo tarinan Poincarén arvelun todisteesta [6] .

Muistiinpanot

↑ I. Ivanov Kolme riippumatonta matemaatikoiden ryhmää on jo esittänyt täydellisen todisteen Poincarén oletuksesta. Arkistoitu 7. tammikuuta 2007 Wayback Machine -sovellukseen 03/08/06, elementy.ru
↑ Poincarén arvelun ratkaisupalkinto myönnettiin Dr. Grigoriy Perelman Arkistoitu 8. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa . Lehdistötiedote Clay Institute of Mathematics -instituutista.
↑ Dana Mackenzie. VUODEN LÄPPY: Poincarén arvelu – todistettu (englanniksi) // Science : Journal. - 2006. - Voi. 314 , nro. 5807 . - P. 1848-1849 . - doi : 10.1126/tiede.314.5807.1848 . (Englanti)
↑ Keith Devlin. Vuoden suurin tieteen läpimurto . Amerikan matemaattinen yhdistys . 2006.
↑ Erityisesti "Manifold Destiny" sisällytettiin kirjaan " The Best American Science Writing " vuonna 2007.
↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: Legendaarinen ongelma ja taistelu siitä, kuka ratkaisi sen // The New Yorker : -lehti. - Condé Nast , 2006. - Ei. elokuun 21 . Arkistoitu alkuperäisestä 3. syyskuuta 2012. Venäjän käännös: " Multiple Destiny: The Legendary Challenge and Battle for Priority Arkistoitu 16. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa ."

Kirjallisuus

Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Bessieres L., Besson J., Boileau M. Poincarén arvelun todiste (perustuu G. Perelmanin töihin) Arkistoitu 4. elokuuta 2020 Wayback Machinessa // Mathematical Education . 2019, ser. 3. Ongelma. 24, s. 53-69.

Linkit

Perelman G. Entropiakaava Ricci-virtaukselle ja sen geometrisille sovelluksille (englanniksi) - 2002. - arXiv:math/0211159
Perelman G. Ricci -virtaus leikkauksella kolmessa jakoputkessa (englanniksi) // ArXiv.org - 2003. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0303109
Perelman G. Rajallinen ekstinktioaika Ricci-virtauksen ratkaisuille tietyissä kolmijoukkoissa (englanniksi) - 2003. - arXiv:math/0307245
Milnor J. Poincarén arvelu 99 vuotta myöhemmin: edistymisraportti
S. Nikolenko. Ongelmia 2000: Poincarén arvelu // Computerra. - 2006. - Nro 1-2 . Arkistoitu alkuperäisestä 18. kesäkuuta 2017.
Morgan J. , Tian G. Ricci Flow ja Poincaren arvelu (englanniksi) // ArXiv.org - 2006. - ISSN 2331-8422 - arXiv:math/0607607
B. Kleiner, J. Lott . Huomautuksia Perelmanin papereista
Terence Tao'' . Perelmanin todiste Poincarén oletukselle: epälineaarinen PDE - perspektiivi

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007559245005171 LCCN : sh2007003945 NDL : 01115553