Octahedral numero

Oktaedriluku on eräänlainen monitahoinen kihara luku . Koska oktaedria voidaan katsoa kahtena kannastaan yhteen liimatuna neliömäisenä pyramidina (katso kuva), oktaedriluku määritellään kahden peräkkäisen neliömäisen pyramidiluvun summana [1] :

{\displaystyle O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)))

Oktaedrisen luvun yleinen kaava [2] on : $n$ $Päällä}$

O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}

Ensimmäinen oktaedriluku (sekvenssi A005900 OEIS : ssä ):

{\näyttötyyli 1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\pisteet }

Toistuva kaava [1] :

O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1

Sekvenssin luontitoiminto [1] :

{\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^ {n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1

Suhde muuntyyppisiin kuviollisiin lukuihin

Yllä annettu määritelmä yhdisti oktaedriluvut neliöpyramidilukuihin . Yhteys tetraedrilukuihin : $\mathbb {T} _{n}$

{\displaystyle O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1))

Geometrisesti tämä kaava tarkoittaa, että jos kiinnität tetraedrin oktaedrin neljälle ei vierekkäiselle pinnalle , saat kaksi kertaa suuremman tetraedrin.

Toinen yhteystyyppi [1] :

{\displaystyle O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2))

Tämä kaava seuraa määritelmästä ja siitä tosiasiasta, että neliöpyramidiluku on kahden tetraedrisen luvun summa. Toinen tulkinta siitä: oktaedri voidaan jakaa neljään tetraedriin, joista jokaisella on kaksi alun perin vierekkäistä pintaa.

Yhteys tetraedri- ja kuutiolukuihin :

{\displaystyle O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3))

Kahden peräkkäisen oktaedriluvun ero on keskitetty neliönumero [1] :

{\displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2))

Pollockin hypoteesi

Vuonna 1850 brittiläinen amatöörimatemaatikko, Royal Societyn jäsen Sir Jonathan Frederick Pollock . ehdotti [3] , että jokainen luonnollinen luku on enintään seitsemän oktaedrisen luvun summa. Pollockin hypoteesia ei ole vielä todistettu tai kumottu. Tietokoneen tarkistus osoitti, että todennäköisimmin:

309 on suurin luku, joka vaatii tarkalleen seitsemän termiä;
11 579 on viimeinen kuusi termiä vaativa luku;
65 285 683 on viimeinen numero, joka vaatii viisi termiä.

Jos Pollockin olettamus on oikea, niin on todistettu, että on oltava mielivaltaisen suuria lukuja, jotka tarvitsevat neljä termiä [4] [5] .

Sovellus

Kemiassa oktaedrilukuja voidaan käyttää kuvaamaan atomien lukumäärää oktaedrisissä klusteissa (katso " maagiset klusterit ") [6] [7] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , s. 82-85.
↑ Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , Springer-Verlag, s. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .
↑ Frederick Pollock. Fermat'n lauseen periaatteen laajentamisesta monikulmiolukujen lopullisille sarjoille, joiden erot ovat vakioita. Ehdotetulla uudella lauseella, joka soveltuu kaikkiin tilauksiin // London Royal Societylle toimitettujen papereiden tiivistelmät : lehti. - 1850. - Voi. 5 . - s. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 239.
↑ Dickson, L.E. (2005), Diophantine Analysis , voi. 2, History of the Theory of Numbers , New York: Dover, s. 22–23 , < https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22 > Arkistoitu 21. marraskuuta 2021 Wayback Machinessa .
↑ Teo, Boon K. & Sloane, NJA (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters , Inorganic Chemistry osa 24 (26): 4545–4558, doi : 10.1021/ ic00220a025 , , > Arkistoitu 13. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa .
↑ Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metallin nanohiukkaset: synteesi, karakterisointi ja sovellukset , CRC Press, s. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3 , < https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76 > Arkistoitu 27. kesäkuuta 2014 Wayback Machinessa .

Kirjallisuus

Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Octahedral Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare