Tetraedriluku

Tetraedriluvut , joita kutsutaan myös kolmiomaisiksi pyramidiluvuiksi , ovat kuviollisia lukuja , jotka edustavat pyramidia , jonka pohjalla on säännöllinen kolmio . Järjestyksen kolmas tetraedriluku määritellään ensimmäisten kolmiolukujen summana : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\pisteet +T_{n))

Tetraederisten lukujen sarjan alku:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( OEIS - sekvenssi A000292 ).

Kaava

Tetraedrisen luvun yleinen kaava on: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

Kaava voidaan myös ilmaista binomiaalisilla kertoimilla :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Ominaisuudet

Tetraedriset numerot ovat Pascalin kolmion jokaisen rivin 4. asemassa .

Vain kolme tetraedrilukua ovat neliölukuja :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Viisi tetraedrilukua ovat kolmion muotoisia samanaikaisesti (sekvenssi A027568 OEIS : ssä ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Ainoa pyramidiluku , joka on sekä neliö että kuutio , on numero 1.

Voidaan nähdä, että:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

Käänteisten tetraedrilukujen sarja on teleskooppinen ja siksi konvergoi:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

Yksi Pollockin "oletuksista " (1850): jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään viiden tetraedrisen luvun summana. Sitä ei ole vielä todistettu, vaikka se on testattu kaikille alle 10 miljardille [1] [2] .

Moniulotteinen yleistys

Kolmiulotteiset tetraedriluvut voidaan yleistää neljään tai useampaan ulottuvuuteen, samalla tavalla kuin siirtyminen kolmioluvuista tetraedrilukuihin. Tetraedrilukujen analogi -ulotteisessa avaruudessa ovat " simplex - luvut", joita kutsutaan myös hypertetraedrisiksi [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Niiden erikoistapaukset ovat:

$S_{n}^{[2]}$ ovat kolmion muotoisia lukuja .
$S_{n}^{[3]}$ ovat tetraedrilukuja .
$S_{n}^{[4]}$ ovat pentatooppilukuja .

Muistiinpanot

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 239.
↑ Frederick Pollock. Fermat'n lauseen periaatteen laajentamisesta monikulmiolukujen lopullisille sarjoille, joiden erot ovat vakioita. Ehdotetulla uudella lauseella, joka soveltuu kaikkiin tilauksiin // London Royal Societylle toimitettujen papereiden tiivistelmät : lehti. - 1850. - Voi. 5 . - s. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.

Kirjallisuus

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Matematiikan oppikirjan sivujen takana: Aritmetiikka. Algebra. Geometria . - M . : Koulutus, 1996. - S. 30 . – 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Linkit

kiharat numerot
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project , Tetrahedral-lukukaavan geometrinen todiste .
Marco Ripà kaksoissummausten ja tetraedrilukujen suhteesta

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare