Galileon paradoksi on esimerkki, joka kuvaa äärettömien joukkojen ominaisuuksia . Pähkinänkuoressa: luonnollisia lukuja on yhtä monta kuin luonnollisten lukujen neliöitä , eli joukossa 1, 2, 3, 4 ... on yhtä monta alkiota kuin joukossa 1, 4, 9, 16 ...
Viimeisessä teoksessaan The Two Sciences Galileo antoi kaksi ristiriitaista arviota luonnollisista luvuista . Ensinnäkin jotkut luvut ovat tarkkoja neliöitä (eli muiden kokonaislukujen neliöitä); muilla numeroilla ei ole tätä ominaisuutta. Täydellisiä neliöitä ja tavallisia lukuja täytyy siis olla yhdessä enemmän kuin täydellisiä neliöitä. Toinen tuomio: jokaiselle luonnolliselle luvulle on sen tarkka neliö ja päinvastoin - jokaisella tarkalla neliöllä on kokonaisluvun neliöjuuri , joten tarkkoja neliöitä ja luonnollisia lukuja pitäisi olla sama määrä. Tämä on yksi ensimmäisistä, joskaan ei varhaisimmista, esimerkeistä yksi-yhteen-kartoituksen käsitteen käytöstä.äärettömien joukkojen yhteydessä.
Galileo päätteli, että on mahdollista arvioida sama määrä elementtejä vain äärellisille joukoille . 1800-luvulla Georg Cantor osoitti joukkoteoriaansa käyttäen, että oli mahdollista ottaa käyttöön "joukko elementtejä" äärettömille joukoille - niin sanottu joukon kardinaalisuus . Samaan aikaan luonnollisten lukujen joukon ja tarkkojen neliöiden joukon kardinaalit osuivat yhteen (Galileon toinen päättely osoittautui oikeaksi). Galileon paradoksi joutui ristiriitaan Eukleideen aksiooman kanssa, jonka mukaan kokonaisuus on suurempi kuin mikä tahansa sen oma osa (omalla osalla tarkoitetaan osaa, joka ei ole sama kuin kokonaisuus) [1] . On huomattavaa, missä määrin Galileo odotti myöhempää työtä äärettömien lukujen alalla. Hän osoitti, että pisteiden lukumäärä suoran lyhyellä janalla on yhtä suuri kuin pisteiden lukumäärä suuremmalla janalla, mutta hän ei tietenkään tiennyt Cantorin todistetta siitä, että sen kardinaliteetti on suurempi kuin joukon kardinaliteetti. kokonaislukuja. Galileolla oli kiireellisempiä tehtäviä. Hän käsitteli ristiriitoja Zenon paradokseissa raivaakseen tietä hänen matemaattiselle liiketeorialleen [2] .
| Galileo Galilei | ||
|---|---|---|
| Elämäkerta ja tieteelliset saavutukset | Galilean prosessi • Galilean kellon poisto • Galilean satelliitit • Galilean muunnokset • Putoavien kappaleiden tutkiminen • Termoskooppi • Celatone • Galilean paradoksi | |
| Proceedings | Määrittäjä • Vuoropuhelu maailman kahdesta pääjärjestelmästä • Sidereus Nuncius • Kahden uuden tieteen keskusteluja ja matemaattisia todisteita | |
| Perhe | Vincenzo Galilei (isä) • Michelangelo Galilei (veli) • Vincenzo Gamba (poika) • Maria Celesta (tytär) • Marina Gamba (avovaimo) | |