Pythagoraan järjestelmä

Pythagoraan järjestelmä on musiikkijärjestelmä , jonka teoria liittyy Pythagoraan huuliharppukouluun . Myöhäisantiikista lähtien merkittävät musiikkiteoreetikot ( Nikomachus , Iamblichus , Boethius ja muut) pitivät sen suoraan Pythagoraksen ansioksi .

Abstrakti matemaattinen ajatus Pythagoras-järjestelmästä (kventsien ketjuna) kehittyi Länsi-Euroopan barokin aikakaudella .

Joissakin tieteellisissä artikkeleissa sitä kutsutaan myös "Pytagoraan järjestelmäksi". .

Se esitetään tavallisesti kvintien (tai kvartsien) sekvenssinä, esimerkiksi näin (6 kvintin ketju äänestä fa ):

F - C - G - D - A - E - H

tai diatonisena asteikkona:

C		D		E		F		G		A		H		C
yksi		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	Koko sävy		Koko sävy		Limma		Koko sävy		Koko sävy		Koko sävy		Limma
	8 : 9		8 : 9		243 : 256		8 : 9		8 : 9		8 : 9		243 : 256
	203,91 c		203,91 c		90,22 c		203,91 c		203,91 c		203,91 c		90,22 c

Länsimaisessa musiikissa Pythagoraan asteikko ei ole pelkästään antiikin monodian , vaan myös keskiajan moniäänisen musiikin perusta. Musiikkiteoreetikot jatkavat edelleen intervallien kuvaamista Pythagoraan virityksen perusteella. , vaikka laulu ja sitten instrumentaalinen moniääninen sävelmusiikki alkoivat hallita puhdasta viritystä viimeistään 1500-luvulla . Viimeksi mainittuun verrattuna Pythagorean on puhtaan oktaavin (1:2) ja puhtaan kvintin (2:3) luonnollisilla väleillä generoitu oktaavi-ff-asteikko [ 1 ] . Kaikille Pythagoraan lukujärjestelmän intervallisuhteisiin osallistuville tekijöiden jakaminen perustuu alkulukuihin, joiden arvo on enintään 3. Tästä syystä lähinnä englanninkielisessä ympäristössä Pythagoraan järjestelmää kutsutaan myös limitiksi . viritys 3 ( eng. 3-limit tuning ).

Pythagoraan intervallitaulukko

Seuraavassa taulukossa esitetään Pythagoran intervallit oktaaviin asti ja jotka saadaan enintään 18 viidesosalla. Diatoniset intervallit (eli ne, jotka esiintyvät Pythagoraan 7-vaiheisessa diatoniassa ja jotka saadaan enintään 6 viidennessä vaiheessa) on lihavoitu. Kromaattiset intervallit on merkitty säännöllisellä kirjasintyypillä (joka syntyy diatonisten intervallien ohella 12-portaisella Pythagoraan oktaaviasteikolla ja saadaan 7-11 viidesasteikolla). Loput, "dikromaattiset" (tai "enharmoniset") intervallit, jotka saadaan 12-18 viidennellä askeleella, on kursivoitu. Nämä jälkimmäiset (lukuun ottamatta Pythagoraan pilkkua, joka vastaa lisättyä seitsemää ilman oktaavia, ja pienennetty ei mitään) vastaavat kahdesti lisättyjä ja pienennettyjä diatonisia välejä.

Lyhenteet: "m." - pieni; "b." - iso; "mieli." - alennettu; "uv." -suurennettu.

Taulukon sarakkeet Q ja O osoittavat vastaavasti kvintien ja oktaavien lukumäärän, joiden lykkääminen johtaa tiettyyn aikaväliin (tässä tapauksessa positiiviset luvut vastaavat lykkäystä ylöspäin ja negatiiviset luvut alaspäin). Esimerkiksi arvot Q = −9 ja O = 6 vastaavat pelkistettyä seitsemäsosaa, eli vähennetty seitsemäs saadaan siirtämällä 9 kvinttiä alaspäin ja 6 oktaavia ylöspäin annetusta äänestä (korkeus); joten sen äänitaajuussuhde on yhtä suuri kuin

\left({\frac 32}\right)^{{-9}}\times \left({\frac 21}\right)^{6}=2^{{15}}\cdot 3^{{- 9))={\frac {32768}{19683}}.

Samanaikaisesti luku O (oktaavia pienemmillä aikaväleillä) määräytyy yksiselitteisesti luvulla Q, joka on siitä toiminnallisesti riippuvainen ja määräytyy kaavalla:

{\mathrm {O}}=-\lfloor {\mathrm {Q}}\times (\log _{2}{3}-1)\rfloor ,

missä on luvun kokonaislukuosa [2] . $\lfloor x\rfloor$ $x$

Lisäksi kukin taulukossa esitetyistä intervalleista esitetään yksilöllisesti T kokonaisen äänen (luettelo sarakkeessa T ), L limmin (sarake L ) ja K Pythagoraan viestin ( sarake K ) summana rajoitusten mukaisesti.

0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L\leqslant 1,\qquad -2\leqslant K\leqslant 1

Kuten taulukosta voidaan nähdä, diatonisille intervalleille tapahtuu yksi kolmesta yhtälöparista: ja , tai ja , tai ja (eli diatoninen intervalli on aina yhtä suuri kuin joko kokonaisluku ääniä tai kokonaisluku sävyjä, joihin on lisätty limma, tai pienempi kuin kokonaisluku sävyjä Pythagoraan komm). Kromaattisissa väleissä lisäksi suhteet ja , tai ja , ja "dikromaattinen" (kursiivilla) - myös ja , tai ja . $L = 0$ $K = 0$ $L = 1$ $K = 0$ $L = 0$ $K={-1}$ $L = 1$ $K = 1$ $L = 1$ $K={-1}$ $L = 0$ $K = 1$ $L = 0$ $K={-2}$

Nimi	K	O	T	L	K	Asenne	Arvo sentteinä _	Astu osoitteesta c	Muita esimerkkejä
yksimielinen, prima	0	0	0	0	0	1:1	0,00	c
Pythagoraan pilkku (lisätty seitsemänneksi ilman oktaavia) [3]	12	-7	0	0	yksi	531441:524288	23.46	Hänen	des-cis, fes-e, a-gisis
kahdesti mielessä. kolmas	-17	kymmenen	0	yksi	-yksi	134217728:129140163	66,76	eseses [4]	cis-eses, eis-ges
limma , m. sekunti, molli (diatoninen) puolisävel	-5	3	0	yksi	0	256:243	90,22	des	e-f, cis-d, des-eses
apotoma , uv. prima, duuri (kromaattinen) puolisävel	7	- neljä	0	yksi	yksi	2187:2048	113,69	IVY	cis-cisis, des-d, eses-es
mieleen. kolmas	-kymmenen	6	yksi	0	-yksi	65536:59049	180,45	eses	cis-es, e-ges
koko sävy b. toinen	2	-yksi	yksi	0	0	9:8	203.91	d	d-e, e-fis, B-c, des-es, cis-dis
kahdesti uv. prima	neljätoista	-kahdeksan	yksi	0	yksi	4782969:4194304	227,37	cisis	ces-cis, deses-d
kahdesti mielessä. quart	-viisitoista	9	yksi	yksi	-yksi	16777216:14348907	270,67	palkkiot	cis-fes, fis-b, cisis-f
puoli ditoni, m kolmas	-3	2	yksi	yksi	0	32:27	294,13	es	d-f, es-ges
uv. toinen	9	-5	yksi	yksi	yksi	19683: 16384	317,60	dis	des-e, es-fis
mieleen. quart	-kahdeksan	5	2	0	-yksi	8192:6561	384,36	fes	cis-f, fis-b, dis-ges
deaton, b. kolmas	neljä	-2	2	0	0	81:64	407,82	e	d-fis, eis-gisis
kahdesti uv. toinen	16	-9	2	0	yksi	43046721:33554432	431,28	Tämä on	ces-dis, es-fisis
kahdesti mielessä. kvint	-13	kahdeksan	2	yksi	-yksi	2097152:1594323	474,58	geses	cis-ges, disis-a
quart	-yksi	yksi	2	yksi	0	4:3	498.04	f	d-g, ces-fes
uv. kolmas	yksitoista	-6	2	yksi	yksi	177147:131072	521,51	eis	des-fis, deses-f
kahdesti mielessä. kuudes	-kahdeksantoista	yksitoista	3	0	-2	536870912:387420489	564,81	aasit [4]	cisis-as, cis-ases
mieleen. viides (komaattinen triääni [5] )	-6	neljä	3	0	-yksi	1024:729	588,27	ges	cis-g, H-f, e-b
triton, uv. quart	6	-3	3	0	0	729:512	611,73	fis	f-b, des-g
kahdesti uv. kolmas	kahdeksantoista	-kymmenen	3	0	yksi	387420489:268435456	635,19	eisis	des-fisis, eses-gis
mieleen. kuudes ( susi viides Pythagoraan järjestelmässä)	-yksitoista	7	3	yksi	-yksi	262144:177147	678,49	ases	cis-as, Gis-es
kvint	yksi	0	3	yksi	0	3:2	701,96	g	d-a, dis-ais
kahdesti uv. quart	13	-7	3	yksi	yksi	1594323:1048576	725,42	fisis	des-gis, deses-a
kahdesti mielessä. seitsemäs	-16	kymmenen	neljä	0	-2	67108864:43046721	768,72	heses [4]	cis-heses, cisis-b
m. kuudes	- neljä	3	neljä	0	-yksi	128:81	792,18	kuten	d-b, dis-h
uv. viides (tetratoni)	kahdeksan	- neljä	neljä	0	0	6561:4096	815,64	gis	des-a, eses-b
mieleen. seitsemäs	-9	6	neljä	yksi	-yksi	32768:19683	882,40	heses	cis-b, Gis-f
b. kuudes	3	-yksi	neljä	yksi	0	27:16	905,87	a	d-h, Es-c
kahdesti uv. kvint	viisitoista	-kahdeksan	neljä	yksi	yksi	14348907:8388608	929,33	gisis	des-ais, deses-a
kahdesti mielessä. oktaavi	-neljätoista	9	5	0	-2	8388608:4782969	972,63	päättyy 1	Dis-des, Disis-d
m. septima	-2	2	5	0	-yksi	16:9	996.09	b	G-f, Des-ces
uv. kuudes (pentaton)	kymmenen	-5	5	0	0	59049:32768	1019,55	ais	des-h, deses-b
mieleen. oktaavi	-7	5	5	yksi	-yksi	4096:2187	1086,31	ces 1	cis-c, des-deses
b. seitsemäs	5	-2	5	yksi	0	243:128	1109,78	h	cis-hänen
kahdesti uv. kuudes	17	-9	5	yksi	yksi	129140163:67108864	1133,24	aisis	ces-ais, eses-cis
mieleen. nona	-12	kahdeksan	6	0	-2	1048576:531441	1176,54	deses 1	Dis-es, Eis-f
oktaavi	0	yksi	6	0	-yksi	2:1	1200,00	c 1

Katso myös

Linkit

Margo Schulter . Pythagoraan viritys ja keskiaikainen polyfonia Arkistoitu 12. elokuuta 2013 Wayback Machinessa
[https://web.archive.org/web/20110920000424/http://www.kholopov.ru/rml-interv.pdf Arkistoitu 20. syyskuuta 2011 Wayback Machinen Hugo Riemann Interval Tablesissa ]

Muistiinpanot

↑ Luonnolliset intervallit tai luonnollisen asteikon intervallit 1. ja 2., 2. ja 3. ylisävelten välillä ilmaistaan suhteilla 1:2 ja 2:3.
↑ Tämä kaava saadaan ottamalla epäyhtälön logaritmi , joka määrittää yksiselitteisesti suuren O riippuvuuden suuresta Q. $1\leqslant \left({\frac 32}\right)^{{{\mathrm Q}}}\cdot 2^{{{\mathrm O}}}<2$
↑ Pythagoraan asteikon lisätty seitsemäsosa (esimerkiksi c - his ) on leveämpi kuin Pythagoraan kommillaan oktaavi ( c - c 1 ).
↑ 1 2 3 C :stä tietyllä välillä (kaksi kertaa pienennetty kolmas, kuudes tai seitsemäs) erotetun asteen kirjainmerkin kirjoittaminen edellyttää "kolminkertaisen tasaisen" ( -eseses ) merkintää, joka tarkoittaa vastaavan diatonisen asteen pienenemistä ( tässä tapauksessa vastaavasti e , a ja h ) kolmeen kromaattiseen puolisäveleen; Katso esimerkkejä samoista etäisyyksistä muiden vaiheiden välillä, jotka eivät vaadi "kolminkertaista onnettomuutta", katso Lisäesimerkkejä -sarake.
↑ Eli tritoni, joka on vähennetty (pytagoralaisella) pilkulla.

musiikillinen asteikko
Pythagoraan järjestelmä luonnollinen viritys Keskisävy Tasainen temperamentti