Pythagoraan järjestelmä

Pythagoraan järjestelmä on musiikkijärjestelmä , jonka teoria liittyy Pythagoraan huuliharppukouluun . Myöhäisantiikista lähtien merkittävät musiikkiteoreetikot ( Nikomachus , Iamblichus , Boethius ja muut) pitivät sen suoraan Pythagoraksen ansioksi .

Abstrakti matemaattinen ajatus Pythagoras-järjestelmästä (kventsien ketjuna) kehittyi Länsi-Euroopan barokin aikakaudella .

Joissakin tieteellisissä artikkeleissa sitä kutsutaan myös "Pytagoraan järjestelmäksi". .

Se esitetään tavallisesti kvintien (tai kvartsien) sekvenssinä, esimerkiksi näin (6 kvintin ketju äänestä fa ):

F - C - G - D - A - E - H

tai diatonisena asteikkona:

C D E F G A H C
yksi 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
Koko sävy Koko sävy Limma Koko sävy Koko sävy Koko sävy Limma
8 : 9 8 : 9 243 : 256 8 : 9 8 : 9 8 : 9 243 : 256
203,91 c 203,91 c 90,22 c 203,91 c 203,91 c 203,91 c 90,22 c

Länsimaisessa musiikissa Pythagoraan asteikko ei ole pelkästään antiikin monodian , vaan myös keskiajan moniäänisen musiikin perusta. Musiikkiteoreetikot jatkavat edelleen intervallien kuvaamista Pythagoraan virityksen perusteella. , vaikka laulu ja sitten instrumentaalinen moniääninen sävelmusiikki alkoivat hallita puhdasta viritystä viimeistään 1500-luvulla . Viimeksi mainittuun verrattuna Pythagorean on puhtaan oktaavin (1:2) ja puhtaan kvintin (2:3) luonnollisilla väleillä generoitu oktaavi-ff-asteikko [ 1 ] . Kaikille Pythagoraan lukujärjestelmän intervallisuhteisiin osallistuville tekijöiden jakaminen perustuu alkulukuihin, joiden arvo on enintään 3. Tästä syystä lähinnä englanninkielisessä ympäristössä Pythagoraan järjestelmää kutsutaan myös limitiksi . viritys 3 ( eng.  3-limit tuning ).

Pythagoraan intervallitaulukko

Seuraavassa taulukossa esitetään Pythagoran intervallit oktaaviin asti ja jotka saadaan enintään 18 viidesosalla. Diatoniset intervallit (eli ne, jotka esiintyvät Pythagoraan 7-vaiheisessa diatoniassa ja jotka saadaan enintään 6 viidennessä vaiheessa) on lihavoitu. Kromaattiset intervallit on merkitty säännöllisellä kirjasintyypillä (joka syntyy diatonisten intervallien ohella 12-portaisella Pythagoraan oktaaviasteikolla ja saadaan 7-11 viidesasteikolla). Loput, "dikromaattiset" (tai "enharmoniset") intervallit, jotka saadaan 12-18 viidennellä askeleella, on kursivoitu. Nämä jälkimmäiset (lukuun ottamatta Pythagoraan pilkkua, joka vastaa lisättyä seitsemää ilman oktaavia, ja pienennetty ei mitään) vastaavat kahdesti lisättyjä ja pienennettyjä diatonisia välejä.

Lyhenteet: "m." - pieni; "b." - iso; "mieli." - alennettu; "uv." -suurennettu.

Taulukon sarakkeet Q ja O osoittavat vastaavasti kvintien ja oktaavien lukumäärän, joiden lykkääminen johtaa tiettyyn aikaväliin (tässä tapauksessa positiiviset luvut vastaavat lykkäystä ylöspäin ja negatiiviset luvut alaspäin). Esimerkiksi arvot Q = −9 ja O = 6 vastaavat pelkistettyä seitsemäsosaa, eli vähennetty seitsemäs saadaan siirtämällä 9 kvinttiä alaspäin ja 6 oktaavia ylöspäin annetusta äänestä (korkeus); joten sen äänitaajuussuhde on yhtä suuri kuin

Samanaikaisesti luku O (oktaavia pienemmillä aikaväleillä) määräytyy yksiselitteisesti luvulla Q, joka on siitä toiminnallisesti riippuvainen ja määräytyy kaavalla:

missä on luvun kokonaislukuosa [2] .

Lisäksi kukin taulukossa esitetyistä intervalleista esitetään yksilöllisesti T kokonaisen äänen (luettelo sarakkeessa T ), L limmin (sarake L ) ja K Pythagoraan viestin ( sarake K ) summana rajoitusten mukaisesti.

.

Kuten taulukosta voidaan nähdä, diatonisille intervalleille tapahtuu yksi kolmesta yhtälöparista: ja , tai ja , tai ja (eli diatoninen intervalli on aina yhtä suuri kuin joko kokonaisluku ääniä tai kokonaisluku sävyjä, joihin on lisätty limma, tai pienempi kuin kokonaisluku sävyjä Pythagoraan komm). Kromaattisissa väleissä lisäksi suhteet ja , tai ja , ja "dikromaattinen" (kursiivilla) - myös ja , tai ja .

Nimi K O T L K Asenne Arvo
sentteinä _
Astu
osoitteesta c
Muita
esimerkkejä
yksimielinen, prima 0 0 0 0 0 1:1 0,00 c
Pythagoraan pilkku
(lisätty seitsemänneksi ilman oktaavia) [3]
12 -7 0 0 yksi 531441:524288 23.46 Hänen des-cis, fes-e, a-gisis
kahdesti mielessä. kolmas -17 kymmenen 0 yksi -yksi 134217728:129140163 66,76 eseses [4] cis-eses, eis-ges
limma , m. sekunti,
molli (diatoninen) puolisävel
-5 3 0 yksi 0 256:243 90,22 des e-f, cis-d, des-eses
apotoma , uv. prima,
duuri (kromaattinen) puolisävel
7 - neljä 0 yksi yksi 2187:2048 113,69 IVY cis-cisis, des-d,
eses-es
mieleen. kolmas -kymmenen 6 yksi 0 -yksi 65536:59049 180,45 eses cis-es, e-ges
koko sävy b. toinen 2 -yksi yksi 0 0 9:8 203.91 d d-e, e-fis, B-c,
des-es, cis-dis
kahdesti uv. prima neljätoista -kahdeksan yksi 0 yksi 4782969:4194304 227,37 cisis ces-cis, deses-d
kahdesti mielessä. quart -viisitoista 9 yksi yksi -yksi 16777216:14348907 270,67 palkkiot cis-fes, fis-b, cisis-f
puoli ditoni, m kolmas -3 2 yksi yksi 0 32:27 294,13 es d-f, es-ges
uv. toinen 9 -5 yksi yksi yksi 19683: 16384 317,60 dis des-e, es-fis
mieleen. quart -kahdeksan 5 2 0 -yksi 8192:6561 384,36 fes cis-f, fis-b, dis-ges
deaton, b. kolmas neljä -2 2 0 0 81:64 407,82 e d-fis, eis-gisis
kahdesti uv. toinen 16 -9 2 0 yksi 43046721:33554432 431,28 Tämä on ces-dis, es-fisis
kahdesti mielessä. kvint -13 kahdeksan 2 yksi -yksi 2097152:1594323 474,58 geses cis-ges, disis-a
quart -yksi yksi 2 yksi 0 4:3 498.04 f d-g, ces-fes
uv. kolmas yksitoista -6 2 yksi yksi 177147:131072 521,51 eis des-fis, deses-f
kahdesti mielessä. kuudes -kahdeksantoista yksitoista 3 0 -2 536870912:387420489 564,81 aasit [4] cisis-as, cis-ases
mieleen. viides
(komaattinen triääni [5] )
-6 neljä 3 0 -yksi 1024:729 588,27 ges cis-g, H-f, e-b
triton, uv. quart 6 -3 3 0 0 729:512 611,73 fis f-b, des-g
kahdesti uv. kolmas kahdeksantoista -kymmenen 3 0 yksi 387420489:268435456 635,19 eisis des-fisis, eses-gis
mieleen. kuudes
( susi viides Pythagoraan järjestelmässä)
-yksitoista 7 3 yksi -yksi 262144:177147 678,49 ases cis-as, Gis-es
kvint yksi 0 3 yksi 0 3:2 701,96 g d-a, dis-ais
kahdesti uv. quart 13 -7 3 yksi yksi 1594323:1048576 725,42 fisis des-gis, deses-a
kahdesti mielessä. seitsemäs -16 kymmenen neljä 0 -2 67108864:43046721 768,72 heses [4] cis-heses, cisis-b
m. kuudes - neljä 3 neljä 0 -yksi 128:81 792,18 kuten d-b, dis-h
uv. viides (tetratoni) kahdeksan - neljä neljä 0 0 6561:4096 815,64 gis des-a, eses-b
mieleen. seitsemäs -9 6 neljä yksi -yksi 32768:19683 882,40 heses cis-b, Gis-f
b. kuudes 3 -yksi neljä yksi 0 27:16 905,87 a d-h, Es-c
kahdesti uv. kvint viisitoista -kahdeksan neljä yksi yksi 14348907:8388608 929,33 gisis des-ais, deses-a
kahdesti mielessä. oktaavi -neljätoista 9 5 0 -2 8388608:4782969 972,63 päättyy 1 Dis-des, Disis-d
m. septima -2 2 5 0 -yksi 16:9 996.09 b G-f, Des-ces
uv. kuudes (pentaton) kymmenen -5 5 0 0 59049:32768 1019,55 ais des-h, deses-b
mieleen. oktaavi -7 5 5 yksi -yksi 4096:2187 1086,31 ces 1 cis-c, des-deses
b. seitsemäs 5 -2 5 yksi 0 243:128 1109,78 h cis-hänen
kahdesti uv. kuudes 17 -9 5 yksi yksi 129140163:67108864 1133,24 aisis ces-ais, eses-cis
mieleen. nona -12 kahdeksan 6 0 -2 1048576:531441 1176,54 deses 1 Dis-es, Eis-f
oktaavi 0 yksi 6 0 -yksi 2:1 1200,00 c 1

Katso myös

Linkit

Muistiinpanot

  1. Luonnolliset intervallit tai luonnollisen asteikon intervallit 1. ja 2., 2. ja 3. ylisävelten välillä ilmaistaan ​​suhteilla 1:2 ja 2:3.
  2. Tämä kaava saadaan ottamalla epäyhtälön logaritmi , joka määrittää yksiselitteisesti suuren O riippuvuuden suuresta Q.
  3. Pythagoraan asteikon lisätty seitsemäsosa (esimerkiksi c - his ) on leveämpi kuin Pythagoraan kommillaan oktaavi ( c - c 1 ).
  4. 1 2 3 C :stä tietyllä välillä (kaksi kertaa pienennetty kolmas, kuudes tai seitsemäs) erotetun asteen kirjainmerkin kirjoittaminen edellyttää "kolminkertaisen tasaisen" ( -eseses ) merkintää, joka tarkoittaa vastaavan diatonisen asteen pienenemistä ( tässä tapauksessa vastaavasti e , a ja h ) kolmeen kromaattiseen puolisäveleen; Katso esimerkkejä samoista etäisyyksistä muiden vaiheiden välillä, jotka eivät vaadi "kolminkertaista onnettomuutta", katso Lisäesimerkkejä -sarake.
  5. Eli tritoni, joka on vähennetty (pytagoralaisella) pilkulla.