Approksimointi käyrien avulla

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Käyrän approksimaatio [1] [2]  on prosessi, jossa muodostetaan käyrä tai matemaattinen funktio , joka parhaiten approkimoi tiettyjä pisteitä [3] käyrän mahdollisten rajoitusten kanssa [4] . Tällaisen approksimoinnin rakentamiseksi joko interpolointi [5] , jossa vaaditaan käyrän tarkka kulku pisteiden läpi, tai tasoitus [6] [7] , kun "tasoitus"-funktio kulkee pisteiden läpi likimääräisesti. Tähän liittyvä osa on regressioanalyysi [8] [9] , joka keskittyy pääasiassa tilastollisiin päätelmiin liittyviin kysymyksiin , kuten siihen, kuinka paljon epävarmuutta sisältää käyrä, joka approksimoi dataa joissakin satunnaisissa virheissä. Rakennettuja käyriä voidaan käyttää tietojen visualisointiin [10] [11] , funktioarvojen laskemiseen pisteissä, joissa arvoa ei ole asetettu [12] ja kahden tai useamman muuttujan välisen suhteen määrittämiseen [13] . Ekstrapolointi tarkoittaa saadun käyrän käyttämistä havainnosta saadun datan ulkopuolella [14] ja tuottaa jonkin verran epävarmuutta [15] , koska se voi riippua käyrän sovitusmenetelmästä.

Erilaisia ​​approksimaatioita käyrien avulla

Annettujen pisteiden likimäärä funktioiden mukaan

Yleisimmin haettu approksimaatio on muodossa y = f ( x ) .

Annettujen pisteiden approksimointi lineaarisilla ja polynomifunktioilla

Aloitetaan approksimaatiot ensimmäisen asteen polynomilla :

Tämä on suora viiva, jonka kaltevuus on . Suora voidaan vetää minkä tahansa kahden pisteen läpi siten, että ensimmäisen asteen polynomi kulkee minkä tahansa kahden pisteen läpi, joilla on eri abskissat .

Jos yhtälön järjestys kasvaa toisen asteen polynomeihin, saadaan:

Tämä funktio kuvaa paraabelia . Paraabeli voidaan vetää minkä tahansa kolmen pisteen läpi.

Jos lisäämme polynomin järjestystä kolmanteen asteeseen, saamme:

Tällainen käyrä voidaan muodostaa mille tahansa neljälle pisteelle. Lisäksi yleensä on mahdollista muodostaa tällainen käyrä, jos annetaan täsmälleen neljä rajoitusta. Jokainen rajoitus voi olla piste, kulma tai kaarevuus (joka on kosketusympyrän säteen käänteisluku ). Kulma- ja kaarevuusrajoitukset lisätään yleisimmin käyrän päihin, ja tällaisia ​​rajoituksia kutsutaan usein reunaehdoksi . Samoja rajaehtoja käytetään usein varmistamaan sujuva siirtyminen polynomikäyrien välillä splinin sisällä . Voidaan myös määrittää korkeamman asteen rajoituksia, kuten kaarevuuden muutosnopeus. Tätä voidaan käyttää esimerkiksi moottoritien risteyksien rakentamisessa laskettaessa autoon vaikuttavien voimien muutosnopeutta (katso nykiminen ) risteyksen aikana ja laskettaessa suurin sallittu nopeus.

Ensimmäisen asteen polynomi voidaan rakentaa myös, jos yksi piste ja kulma on annettu, kun taas kolmannen asteen polynomi voidaan rakentaa kahdelle pisteelle, tietylle kulmakertoimelle ja tietylle kaarevuus. Muut rajoitusten yhdistelmät ovat mahdollisia näille ja polynomin korkeammille asteille.

Jos ehtoja on enemmän kuin n + 1 (missä n  on polynomin aste), voit silti yrittää rakentaa polynomikäyrän, joka täyttää nämä ehdot. Yleisessä tapauksessa tällaista käyrää ei kuitenkaan voida rakentaa (esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomi kolmen pisteen yli voidaan muodostaa vain, jos nämä pisteet ovat kollineaarisia ). Siksi tarvitaan joitain menetelmiä approksimoinnin toteuttamiseksi. Pienimmän neliösumman menetelmä on yksi niistä.

On useita syitä saada likimääräinen ratkaisu, kun pelkkä polynomin asteen lisääminen antaisi tarkan läpimenon pisteiden läpi:

  • Vaikka tarkka ratkaisu olisi olemassa, se ei tarkoita, että se olisi helppo löytää. Joissakin algoritmeissa voimme saada divergentin sekvenssin ja tarkka ratkaisu ei välttämättä ole laskettavissa, toisissa tapauksissa tarkan ratkaisun löytäminen voi viedä liian paljon tietokoneaikaa. Näissä tilanteissa likimääräinen ratkaisu voi olla hyväksyttävämpi.
  • Otoksen epäluotettavien tietojen keskiarvon laskemisen vaikutus saattaa olla parempi kuin näytepisteiden tarkka seuraaminen, mikä voi aiheuttaa käyrän nurjahduksen.
  • Runge-ilmiö : kun interpoloidaan korkean asteen polynomeilla, voi esiintyä ei-toivottuja värähtelyjä. Jos käyrä kulkee pisteiden A ja B kautta , käyrän odotetaan kulkevan jossain lähellä janan AB keskikohtaa . Tämä ei välttämättä pidä paikkaansa korkean asteen polynomien tapauksessa - poikkeama voi olla hyvin suuri. Pienen asteen polynomeilla käyrä kulkee todennäköisimmin lähellä janan keskikohtaa (ja ensimmäisen asteen polynomin tapauksessa se kulkee varmasti keskeltä).
  • Matalan asteen polynomit ovat yleensä "sileitä", kun taas korkean asteen polynomit ovat yleensä "aaltoilevia". Tarkemmin sanottuna polynomikäyrän käännepisteiden enimmäismäärä on n-2 , missä n  on polynomin järjestys. Käännepiste on piste, jossa käyrän kaarevuus muuttaa etumerkkiä. Huomaa, että korkean asteen polynomit eivät välttämättä ole "aaltoilevia", ne voivat myös olla "sileitä", mutta "tasaisuudesta" ei ole takeita, toisin kuin matalan asteen polynomit. Kymmenennen asteen polynomilla voi olla enintään kahdeksan käännepistettä, mutta sillä voi olla vähemmän tai ei ollenkaan.

Korkeampi polynomiaste kuin mitä tarvitaan, jotta käyrä kulkee täsmälleen pisteiden läpi, ei ole toivottavaa kaikista edellä mainituista syistä, mutta johtaa lisäksi äärettömään määrään ratkaisuja. Esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomi (suora), jossa on rajoitus yhteen pisteeseen tavallisen kahden sijaan, johtaa äärettömään määrään ratkaisuja. Tämä herättää ongelman, kuinka vertailla ja valita vain yksi ratkaisu, ja tämä voi olla ongelma sekä ohjelmille että ihmisille. Tästä syystä paras valinta on mahdollisimman pieni teho täyttääkseen kaikki rajoitukset tarkasti, ja ehkä jopa pienempi teho, jos likimääräinen ratkaisu on mahdollinen.

Annettujen pisteiden likiarvo muilla funktioilla

Joissakin tapauksissa voidaan käyttää myös muun tyyppisiä käyriä, kuten trigonometrisiä funktioita (esim. sini ja kosini).

Spektroskopiassa tiedot voidaan approksimoida normaalijakauman , Cauchyn jakauman , Voigt-muodon ja niihin liittyvien funktioiden avulla .

Algebrallinen approksimaatio ja geometrinen approksimaatio käyrien avulla

Algebrallisessa data-analyysissä "approksimaatio" tarkoittaa yleensä sellaisen käyrän löytämistä, joka minimoi pisteen pystysuoran ( y -akselin suuntaisen ) poikkeaman käyrästä (esimerkiksi pienimmän neliösumman menetelmä ). Grafiikka- ja kuvantamissovelluksissa geometrinen approksimaatio etsii parasta visuaalista approksimaatiota, mikä tarkoittaa yleensä pyrkimystä minimoida etäisyys käyrään (esim. vähiten täydet neliöt ) tai minimoida poikkeamat molemmissa koordinaateissa. Geometrinen approksimaatio on epäsuosittu, koska se sisältää yleensä epälineaarisia ja/tai toistuvia laskelmia, vaikka se antaakin esteettisesti hyväksyttävämmän ja geometrisesti tarkemman tuloksen [16] [17] [18] .

Annettujen pisteiden approksimaatio tasokäyrillä

Jos funktiota ei voida antaa muodossa , voit yrittää approksimointia käyttämällä tasaista käyrää .

Joissakin tapauksissa voidaan käyttää muun tyyppisiä käyriä, kuten kartioleikkauksia (ympyräkaaret, ellipsit, paraabelit ja hyperbolit) tai trigonometrisiä funktioita (kuten sini ja kosini). Esimerkiksi painovoiman vaikutuksen alaisena olevien esineiden liikeradat ovat paraboleja (jos ilmanvastusta ei oteta huomioon). Joten (kokeellisten) liikeratapisteiden sitominen paraboliseen käyrään olisi järkevää. Vuorovedet noudattavat sinimuotoista kuviota, joten vuorovesitietoja tulee verrata siniin tai kahden eri ajanjakson sinin summaan ottaen huomioon sekä kuun että auringon vaikutus.

Parametrisen käyrän tapauksessa on tehokasta pitää jokaista koordinaattia erillisenä käyrän pituuden funktiona . Jos lähdetiedot ovat tilattavissa, voit käyttää soinnun pituutta [19] .

Annettujen pisteiden geometrinen approksimaatio ympyrällä

Koop [20] yritti ratkaista ongelman löytää paras visuaalinen approksimaatio tason pisteympyrän avulla. Menetelmä muuttaa elegantisti epälineaarisen ongelman lineaariseksi, joka voidaan jo ratkaista ilman rekursiivisia menetelmiä, ja siksi tulos saadaan nopeammin kuin aikaisemmilla lähestymistavoilla.

Geometrinen approksimaatio ellipsillä

Yllä olevaa tekniikkaa on laajennettu yleisiin ellipseihin [21] lisäämällä epälineaarinen askel, mikä on johtanut nopeaan menetelmään, joka löytää kuitenkin visuaalisesti houkuttelevia ellipsejä, joilla on mielivaltainen suuntaus ja sijainti.

Levitys pinnoille

Huomaa, että vaikka keskustelu on tähän mennessä ollut tasokäyristä, suurin osa tuloksista ulottuu kolmiulotteisen avaruuden pintoihin , joista jokainen on määritelty kahdessa parametrisessa suunnassa olevien käyrien ruudukolla. Pinta voi koostua yhdestä tai useammasta kappaleesta molempiin suuntiin.

Ohjelmat

Monet tilastotietojen käsittelypaketit , kuten R , ja numeeriset analyysipaketit , kuten GNU Scientific Library , MLAB , DataMelt , Maple , MATLAB , SciPy ja OpenOpt sisältävät menetelmiä käyrän sovittamiseen erilaisissa skenaarioissa. On myös ohjelmia, jotka on kirjoitettu erityisesti käyrän sovitukseen. Ne löytyvät artikkeleista " Tilastolliset tietojenkäsittelypaketit " ja " Numeeriset analyysipaketit ".

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Arlinghaus, 1994 .
  2. ↑ Kolb, 1984 .
  3. ↑ Halli, Rao, 1992 , s. 165.
  4. ↑ Hopea, 2012 .
  5. ↑ Kiusalaas, 2005 , s. 21.
  6. ↑ Vieras, 2012 , s. 349.
  7. ↑ Katso myös: Tasoitusoperaattori
  8. ↑ Kampanja Prism -paketti Dokumentaatio: "Mallien sovittaminen biologiseen dataan käyttämällä lineaarista ja epälineaarista regressiota" (Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos).
  9. ↑ Freund, Wilson, Sa, 2006 , s. 269.
  10. ↑ Daud, Sagayan, Yahya, Najwati, 2009 , s. 689.
  11. ↑ Hauser, 2009 , s. 227.
  12. ↑ Williams, 1976 , s. 150.
  13. ↑ Salkind, 2010 , s. 266.
  14. ↑ Klosterman, 1990 , s. yksi.
  15. ↑ Yoe, 1996 , s. 69.
  16. ↑ Ahn, 2008 .
  17. ↑ Chernov, Ma, 2011 , s. 285–302.
  18. ↑ Liu, Wang, 2008 , s. 384-397.
  19. ↑ Ahlberg, Nilson, Walsh, 1967 , s. 51.
  20. ↑ Coope, 1993 , s. 381.
  21. ↑ Sheer, 1997 .

Kirjallisuus

  • Sandra Lach Arlinghaus. Käytännön käyräsovituksen käsikirja. - CRC Press, 1994. - ISBN 0849301434 .
  • William M. Kolb. Käyräsovitus ohjelmoitaville laskimille. - 3. - Syntec, Incorporated, 1984. - ISBN 0943494028 .
  • John R. Hauser. Numeeriset menetelmät epälineaarisille suunnittelumalleille. - Springer, 2009. - ISBN 978-1-4020-9919-9 .
  • ID Coop. Ympyräsovitus lineaarisilla ja epälineaarisilla pienimmän neliösumman  avulla // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1993. - T. 76 , no. 2 . - S. 381 . - doi : 10.1007/BF00939613 .
  • Encyclopedia of Research Design / Neil J. Salkind. - SAGE Publications, 2010. - Vol. 1. - ISBN 978-1-4129-6127-1 .
  • Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Regressioanalyysi / vastausmuuttujan tilastollinen mallinnus. - 2. - Elsevier, 2006. - ISBN 0-12-088597-2 .
  • Jaan Kiusalaas . Numeeriset menetelmät suunnittelussa MATLAB®:n kanssa. - Cambridge University Press, 2005. - ISBN 0-521-85288-9 .
  • Richard E. Klosterman. Yhteisöanalyysi- ja suunnittelutekniikat . - Rowman & Littlefield Pub Inc, 1990. - ISBN 084767651X .
  • Hanita Daud, Vijanth Sagayan, Noorhana Yahya, Wan Najwati. Visuaalinen informatiikka: yhdistävä tutkimus ja käytäntö (IVIC 2009) / Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder, Timothy K. Shih. - Berliini, Heidelberg, New York: Sprintger, 2009. - T. 5857. - (Luentomuistiinpanot tietojenkäsittelytieteestä). — ISBN 3-642-05035-2 .
  • Johdatus riskiin ja epävarmuuteen ympäristöinvestointien arvioinnissa / Charles E. Yoe. - West Chester, Pensylvania: The Greeley-Polhemus Group, Inc., 1996.
  • PG vieras. Numeeriset käyrän sovituksen menetelmät. - Cambridge Academ, 2012. - ISBN 978-1-107646-5-7 .
  • SS Halli, KV Rao. Kehittyneet väestöanalyysin tekniikat. - 1992. - S. 165. - ISBN 0306439972 .
  • Sung Joon Ahn. Parametristen käyrien ja pintojen geometrinen sovitus  // Journal of Information Processing Systems. - 2008. - Joulukuu (nide 4 ( numero 4 ). - doi : 10.3745/JIPS.2008.4.4.153 . Arkistoitu 13. maaliskuuta 2014.
  • JH Ahlberg, EN Nilson, JL Walsh. Splainien teoria ja niiden sovellukset . - New York, Lontoo: Academic Press, 1967.
  • N. Chernov, H. Ma. Computer Vision / Sota R. Yoshida. - Nova Science Publishers, 2011. - S. 285-302. — ISBN 9781612093994 .
  • Nate Silver. Signaali ja melu: Miksi niin monet ennusteet epäonnistuvat, mutta jotkut eivät . - Penguin Group, 2012. - ISBN 978-1-59-420411-1 .
  • Dudley Williams. Spektroskopia / Claire Marton .. - Academic Press, 1976. - V. 13, osa 1. - (Methods of Experimental Physics). — ISBN 0124759130 .
  • Yang Liu, Wenping Wang. Geometrisen mallinnuksen ja käsittelyn edistysaskel / F. Chen, B. Juttler. - 2008. - T. 4975 . — S. 384–397 . — ISBN 978-3-540-79245-1 . - doi : 10.1007/978-3-540-79246-8_29 .
  • P. Sheer. Ohjelmistoavustaja manuaaliseen stereofotometriaan. — Witwater-srandin yliopisto, 1997.

Lue lisää lukemista varten

  • N. Chernov (2010), Circular and lineaar regression: Fitting circles and lines by small squares , Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 s.). [1] Arkistoitu 22. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa