Ascoli-Arzela lause

Arzelan lause on lause, joka on kriteeri joukon esitiiviydelle täydellisessä metriavaruudessa siinä erikoistapauksessa, jossa tarkasteltavana oleva avaruus on jatkuvien funktioiden avaruus todellisen suoran segmentillä . Nimetty kirjailijan Cesare Arcelan mukaan .

Arzela-Ascoli-lause (tai Ascoli-Artzela) on yleistys Arzela-lauseesta tapaukseen, jossa tarkastellaan metristen kompaktien joukkojen kuvausperheitä ( yleistetty Arzela-lause ).

Arzela-lauseen soveltaminen liittyy tarkasteltavien perheiden erityisominaisuuksiin, nimittäin: tasaiseen rajoittumiseen ja tasajatkuvuuteen .

Johdanto

Matemaattisessa analyysissä (ja myöhemmin funktionaalisessa analyysissä ) tarkastellaan kaikkia mahdollisia jatkuvien funktioiden perheitä, jotka on annettu erityisjoukoissa ( metriset compacta ), ja tutkitaan kysymystä tällaisten perheiden "täydellisyydestä". Erityisesti herää kysymys rajan olemassaolosta esimerkiksi jatkuvien numeeristen funktioiden sarjalle , joka on annettu välillä , sekä tämän rajan ominaisuuksista. Cauchyn kriteerin mukaan jatkuvien funktioiden yhtenäinen raja on myös jatkuva funktio, eli avaruus on täydellinen . Olennaista tässä on, että funktioiden määrittelyalue on todellisen suoran (segmentin) kompakti osajoukko ja funktiot ottavat arvoja täydellisessä metriavaruudessa. Saamme samanlaisen tuloksen, jos otamme mielivaltaisen metrisen kompaktin joukon jatkuvien kuvausten luokan täydelliseen metriavaruuteen. $[a,b]$ $Ohjaamo]$

Luokan täydellisyys sallii minkä tahansa jatkuvan funktion approksimoinnin sarjoilla approksimaatioita, joista jokainen on tietyssä mielessä "yksinkertaisempi" kuin alkuperäinen funktio. Tämän todistaa Weierstrassin lause : jokainen jatkuva funktio välissä voidaan approksimoida mielivaltaisesti tarkasti polynomeilla. $Ohjaamo]$

Arzelan lause viittaa tapaukseen, jossa tarkastellaan tiettyä jatkuvien funktioiden perhettä , jossa on metrinen kompakti joukko ja täydellinen metriavaruus, ja tutkitaan, onko tästä perheestä mahdollista erottaa konvergentti osajono . . Koska avaruus on täydellinen, rajapisteen olemassaolo tarkoittaa olennaisesti sitä, että perhe on esitiivis . Siksi lause voidaan muotoilla yleisessä muodossa, puhuen erityisesti esitiiviydestä. $F\alajoukko C(K,Y)$ $K$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Siten Arzelan lause on kriteeri kompaktissa joukossa määritellyn jatkuvien funktioiden perheen esitiiviydelle, joka vaikuttaa täydelliseen metriseen avaruuteen.

Nykyinen kriteeri joukon esitiiviydelle täydellisessä avaruudessa edellyttää sen tarkistamista , että annettu joukko on täysin rajoitettu . Käytännössä tämä kriteeri ei ole tehokas. Siksi näyttää tarkoituksenmukaiselta hyödyntää jollakin tavalla perheeseen kuuluvien funktioiden ominaisuuksia käytännön sovellukseen sopivan esitiiviyskriteerin saamiseksi.

Tutkimuksen aikana kävi ilmi, että tällaiset ominaisuudet ovat tarkasteltavan perheen tasaisen rajallisuuden ja tasajatkuvuuden ominaisuuksia.

Giulio Ascoli (1883-1884) [1] ja Cesare Arcela (1882-1883) [2] mainitsivat saman etäisyyden jatkuvuudesta samanaikaisesti . Lauseen heikon muodon todisti Ascoli vuosina 1883–1884 [1] , joka loi riittävät edellytykset tiiviydelle, ja Arcela vuonna 1895 [3] , joka antoi tarvittavan ehdon ja antoi tuloksesta ensimmäisen selkeän tulkinnan. Lauseen lisäyleistyksen osoitti Fréchet (1906) [4] avaruuksille, joissa rajan käsite on järkevä, kuten metrinen avaruus tai Hausdorffin avaruus Dunford, Schwartz (1958) [5] . Lauseen nykyaikaiset formulaatiot sallivat domainin ja alueen olevan metrisia avaruuksia. Lauseen yleisin muotoilu antaa välttämättömän ja riittävän edellytyksen sille, että funktioperhe kompaktista Hausdorffin avaruudesta Uniform-avaruuteen on kompakti Bourbakin yhtenäisessä konvergenssitopologiassa (1998, § 2.5) [6] .

Määritelmät

Tarkastellaan välille määriteltyjen jatkuvien funktioiden avaruutta yhdessä tasaisen konvergenssin metriikan kanssa. Tämä on täydellinen metriavaruus. On tiedossa, että: $Ohjaamo]$ $[a,b]$

Jotta jokin täydellisen metrisen avaruuden osajoukko olisi esitiivis, on välttämätöntä ja riittävää, että se on täysin rajoitettu.

Avaruuden tapauksessa voidaan kuitenkin käyttää tehokkaampaa esitiiviyskriteeriä, mutta tätä varten on otettava käyttöön seuraavat kaksi käsitettä. $Ohjaamo]$

Oletetaan, että se on jokin segmentille määritelty jatkuvien funktioiden perhe . $F$ $[a,b]$

Uniform Boundedness

Perhettä kutsutaan tasaisesti rajatuksi, jos kaikille perheen elementeille on vakio yhteinen , mikä rajoittaa kaikkia perheen toimintoja: $F$ $K$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Equicontinuity

Perhettä kutsutaan tasajatkuvaksi , jos jollekin on olemassa sellainen, että mille tahansa elementille ja mille tahansa pisteelle ja sellainen , että tiukka epäyhtälö pätee . $F$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $f\in F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Sanamuoto

Lause.

Toimiva perhe on esitiivis täydellisessä metriavaruudessa, jos ja vain jos tämä perhe on $F$ $Ohjaamo]$

tasaisesti rajattu
yhtä jatkuvaa.

Todiste

Itse asiassa on tarpeen osoittaa, että nämä molemmat funktioperheen ominaisuudet vastaavat tämän perheen täydellistä rajallisuutta.

välttämättömyys

Joten olkoon perhe täysin sidottu . $F$

Korjaamme ja rakennamme äärellisen -verkon muotoa: . $\varepsilon > 0$ $(\varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Koska tämän järjestelmän jokainen funktio on jatkuva ja siksi rajoitettu, niin jokaiselle tällaiselle funktiolle on oma vakionsa , niin että mille tahansa . $K_{i}$ $|\varphi _{i}(x)|<K_{i}$ $x\in[a,b]$

Koska tällaisia toimintoja on rajallinen joukko, voimme ottaa . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Jos nyt otamme mielivaltaisen funktion , niin tälle funktiolle on -verkkoelementti sellainen, että mille tahansa . Ilmeisesti tässä tapauksessa funktio rajoittuu vakioon . $f\in F$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\in[a,b]$ $f$ $K$

Tämä osoittaa, että perhe on tasaisesti sidottu . $F$

Jälleen verkon kunkin elementin jatkuvuudesta johtuen tämä elementti osoittautuu myös tasaisesti jatkuvaksi ja siksi voidaan valita sellainen , että mille tahansa pisteelle sellainen, että . $(\varepsilon /3)$ $(\varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

Anna . $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Jos nyt tarkastellaan mielivaltaista funktiota , niin annetulle funktiolle tulee olemaan tiukka epäyhtälö jokaiselle sellaiselle pisteelle , että . $f\in F$ $\varepsilon > 0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

Todellakin, , missä on sopiva -verkon elementti. $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$

Tämä osoittaa, että perhe on tasa- ikäinen . $F$

Toisin sanoen täysin rajoittuneisuus merkitsee tasaista rajallisuutta ja tasajatkuvuutta.

Riittävyys

Nyt on tarpeen todistaa, että perheen tasainen rajallisuus ja tasajatkuvuus merkitsee äärellisen verkon olemassaoloa mille tahansa äärelliselle . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$

Korjaamme . $\varepsilon > 0$

Olkoon vakio, joka esiintyy yhtenäisen rajallisuuden määritelmässä. $K$

Valitaan sellainen , joka esiintyy tasaisen jatkuvuuden määritelmässä ja vastaa arvoa . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Tarkastellaan suorakulmiota ja jaetaan se pysty- ja vaakasuorilla viivoilla suorakaiteen muotoisiksi soluiksi, jotka ovat pienempiä kuin vaaka- ja pystysuorat. Olkoon , , , tämän hilan solmut ( x- akselia pitkin ). $[a,b]\kertaa [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\pisteet$ $x_{N}$

Jos nyt tarkastellaan mielivaltaista funktiota , niin jokaiselle hilan solmulle täytyy olla sellainen hilapiste, että . Jos nyt tarkastellaan katkoviivafunktiota , joka solmuissa ottaa vastaavat arvot poikkeavat funktiosta korkeintaan , niin koska itse funktio poikkeaa kullakin segmentillä enintään , katkoviiva poikkeaa enintään jokaisessa tällaisessa segmentissä . $f\in F$ $x_{i}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Koska janan jokainen piste on jollakin näistä segmenteistä, esimerkiksi , käy ilmi, että funktion poikkeama tällä tavalla muodostetusta katkoviivasta ei ylitä : $x$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Siten osoitetaan, että rajallinen (!) ilmaistun tyyppinen rikkoutuneiden funktioiden järjestelmä on -net tietylle . $\varepsilon$ $\varepsilon > 0$

Sovellukset

Arzelan lause löytää sovelluksensa differentiaaliyhtälöiden teoriassa .

Peanon teoreemassa (ratkaisun olemassaolosta Cauchyn ongelmaan ) rakennetaan funktiojärjestelmä, jota differentiaaliyhtälöiden teoriassa kutsutaan Eulerin katkoviivoiksi . Tämä järjestelmä osoittautuu tasaisesti rajatuksi ja tasajatkuvaksi funktioperheeksi, josta Arzelan lauseen mukaan voidaan erottaa tasaisesti konvergentti funktiosarja, jonka rajana tulee Cauchyn ongelman haluttu ratkaisu.

Katso myös

Artselan Lemma
Montelin lause kompaktista funktioperheestä on seurausta Arzela-lauseesta.

Kirjallisuus

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - toim. kolmas, tarkistettu. - M .: Nauka , 1972 . — 496 s.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. sci. Fis. Matto. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. sci. Ist. Bologna Cl. sci. Fis. Matto. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circ. Matto. Palermo 22:1-74, doi: 10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineaariset operaattorit, osa 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Yleinen topologia. Luvut 5-10, Elements of Mathematics, Berliini, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .