Yhdeksän pisteen lause kuutiokäyrällä

Kuutiokäyrän 9 pisteen lause on algebrallisen geometrian lause , joka sanoo, että

Jos 8 yhdeksästä kahden suoran kolmion leikkauspisteestä (oikealla olevassa kuvassa - sininen ja punainen) on kuutiolla (kolmannen asteen käyrä, musta) , niin yhdeksäs on myös sen päällä.

Tämä lause on perusta mahdollisuudelle määrittää ryhmän rakenne kuutiokäyrällä.

Todiste

Alla on yksinkertainen todistus, jossa käytetään vain koulun opetussuunnitelman faktoja. Se koostuu kolmesta osasta: kahdesta lemmasta ja itse lauseesta.

Lemma 1

Jos polynomi kahdessa muuttujassa äärettömässä määrässä linjan pisteitä saa nolla-arvon, niin se on jaollinen tämän suoran yhtälöllä, eli . $P\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Merkitään . Ehdossa on määritelty suora, joten joko , tai ei ole yhtä suuri kuin 0. Oletetaan, että tämä on , sitten , ja . On suora polynomi , mutta samalla se voi ottaa äärettömän määrän erilaisia arvoja, joten , ja siten . ■ $z\,:=\,ax+by+c$ $a$ $b$ $b$ $y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)$ $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x) ,\,z)+R\,(x)$ $l:\,z=0$ $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$ $x$ $R\,(x)\equiv 0$ $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c$

Lemma 2

Jos kuutiot ja leikkaavat kolmessa pisteessä linjalla , niin on olemassa luku sellainen, että . $P\,(x,\,y)$ $Q\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $t$ $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Samoin kuin Lemmassa 1 , oletetaan, että silloin yhtälö pätee suoran pisteisiin , samoin kuin . Polynomit ja ovat yhtä kuin 0 kolmessa yhteisessä pisteessä, niiden aste ei ole suurempi kuin 3, joten on olemassa sellainen luku , että kaikille tämän suoran pisteille. Soveltamalla Lemmaa 1 saamme vaaditun väitteen. ■ $b\neq 0$ $l$ $P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)$ $Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)$ $P_{1}\,(x)$ $Q_{1}\,(x)$ $t$ $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$

Lauseen todistus

Seuraavassa lyhyyden vuoksi polynomien parametrit jätetään pois. Merkitään mustan kuution yhtälö muodossa , punaiset viivat muodossa ja ja punaisen kuution yhtälö muodossa . Samoin sinisille viivoille ja kuutioille . Tässä tapauksessa katsotaan numerointi sellaiseksi, että on tarpeen todistaa, että leikkauspiste kuuluu kuutioon . $(x,\,y)$ $H$ $K_{1},K_{2}$ $K_{3}$ $K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}$ $S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Hakemalla riviä ja kuutiota ja Lemmaa 2 saadaan, että on olemassa luku , jolle . Vastaavasti on olemassa sellainen, että . Silloin kolmannen asteen polynomi on jaollinen jaolla eli . Polynomi on yhtä suuri kuin nolla kaikille viivan pisteille , viivoille ja yleiselle sijainnille, mikä tarkoittaa, että se saa arvon 0 täsmälleen yhdessä pisteessä suoraa . Siksi se on yhtä suuri kuin nolla äärettömässä määrässä suoran pisteitä , ja lemman 1 mukaan se on jaollinen yhtälöllään. Siten Mikä tarkoittaa , Jossa on polynomi, jonka aste ei ole korkeampi kuin ensimmäinen, eli suora tai nolla. $K_1$ $S$ $H$ $a$ $Ha\cdot S\,\vdots \,K_{1}$ $b$ $Hb\cdot K\,\vdots \,S_{1}$ $A=Ha\cdot Sb\cdot K$ $K_1$ $S_{1}$ $A=A_{1}\cdot K_{1}$ $A$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $A_{1}$ $S_{1}$ $A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}$ $A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K$

Oletetaan, että se on suora. Tasa-arvon vasen puoli on nolla kohdissa ja , mikä tarkoittaa, että yksi kolmesta oikean puolen tekijästä on myös nolla. Mutta viivat eivät kulje näiden pisteiden läpi, joten ne ovat kaikki samalla viivalla - . Mutta tämä on mahdotonta. $K$ $Ha\cdot Sb\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}$ $K_{3}\cap S_{2}$ $K_1$ $S_{1}$ $K$

Eli mikä tarkoittaa . Mutta kuutiot ja kulkevat pisteen läpi , ja siten kuutio kulkee myös tämän pisteen läpi. ■ $Q\equiv 0$ $H=a\cdot S+b\cdot K$ $K$ $S$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Sovellus

9 pisteen lauseen avulla yksinkertaisesti todistetaan joitain faktoja projektiivisestä geometriasta, kuten Pascalin lause :

Jos kuusikulmio on piirretty kartioleikkaukseen , niin kolmen vastakkaisen sivun parin leikkauspisteet sijaitsevat samalla suoralla.

Oikealla olevassa kuvassa mustaan paraabeliin on kaiverrettu kuusikulmio, jossa on 3 punaista ja 3 sinistä sivua . Punaiset ja siniset viivat leikkaavat 9 vihreää pistettä, joista 6 on paraabelilla ja musta viiva vedetään kahden muun läpi. Koska musta kuutio sisältää 8 vihreää pistettä, jotka muodostuvat punaisen ja sinisen kuution leikkauspisteestä, se sisältää myös yhdeksännen pisteen. Mutta tämä piste ei ole paraabelissa, mikä tarkoittaa, että se kuuluu linjaan. ■

Sitä voidaan käyttää myös osoittamaan elliptisellä käyrällä pisteiden yhteenlaskuoperaation assosiatiivisuutta [ 1] . Eli jos A , B , C , O kuuluvat kuutiokäyrään. Kolmelle riville BC , O (A + B) ja A (B + C) ; ja kolmelle suoralle AB , O (B + C) ja C (A + B) . Seuraavat kahdeksan pistettä A, B, C, A + B, -A-B, B + C, -BC, O ovat kuution päällä. Siksi yhdeksäs piste -A-(B+C)=-(A+B)-C kuuluu siihen.

Challin lause

Challin lause on yleistys tapaukselle, jossa ei oteta viivojen kolmioita, vaan mielivaltaisia kuutioita [2] :

Jos projektiivitasossa kahdella kuutiolla on 9 yhteistä pistettä, niin mikä tahansa muu kuutio, joka kulkee kuutioiden läpi, kulkee myös yhdeksännen läpi.

Muistiinpanot

↑ V. V. Ostrik, M. A. Tsfasman. Algebrallinen geometria ja lukuteoria: rationaaliset ja elliptiset käyrät . - M .: MTsNMO , 2001. - S. 20-24. – 48 s. — (Matematiikan koulutus). — ISBN 5-900916-71-5 . Arkistoitu 28. joulukuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ D. Eisenbud, M. Green, J. Harris. Cayley-Bacharachin lause ja hypoteesit . — 1996. Arkistoitu 14. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa .

Katso myös

Cayley-Bacharachin lause
Yhdeksän pisteen kartio