Itsekosketuspiste

Klassisessa geometriassa itsekosketuspiste ( englanniksi  tacnode ) tai kaksoispiste [1]  on eräänlainen singulaaripiste [2] . Määritetään pisteeksi, jossa kaksi (tai useampia) vierekkäistä kaarevaa ympyrää koskettavat tässä pisteessä . Tämä tarkoittaa, että käyrän kahdella haaralla on sama tangentti kaksoispisteessä [1] .

Kanoninen esimerkki on käyrä

Toinen esimerkki itsekosketuspisteestä on kuvassa näkyvä käyrä, jossa on yhtälö

Muutamia yleistyksiä

Tarkastellaan tasaista , reaaliarvoista kahden muuttujan funktiota, esimerkiksi f ( x ,  y ), missä x ja y  ovat reaalilukuja . Joten f kuvaa tason suoraksi. Taso- ja viivadiffeomorfismien ryhmä vaikuttaa kaikkien tällaisten tasaisten funktioiden avaruuteen , eli diffeomorfismit muuttavat koordinaatteja sekä määritelmä- että arvojen alueella . Tämä toiminto jakaa koko funktioiden tilan ekvivalenssiluokkiin eli ryhmätoiminnon kiertoradoihin .

Yksi tällainen ekvivalenssiluokkien perhe on merkitty A k ± , jossa k  on ei-negatiivinen kokonaisluku. Nimityksen esitteli V. I. Arnold [3] . Funktiolla f sanotaan olevan tyypin A k ± singulaarisuus, jos se on kiertoradalla x 2  ±  y k +1 , eli määritelmäalueella ja alueella on diffeomorfinen koordinaattimuunnos. arvot, jotka saavat f johonkin näistä muodoista . Näiden yksinkertaisten muotojen x 2  ±  y k +1 sanotaan määrittelevän normaalimuodot tyypin A k ± singulariteteille .

Käyrällä, jonka yhtälö on f = 0, on itsekosketuspiste origossa, jos ja vain jos f :n singulaarisuus on tyyppiä A 3 − origossa.

Huomaa, että käyrän itseleikkauspiste ( x 2  −  y 2 = 0) vastaa A 1 − -singulaarisuutta. Itsekosketuspiste vastaa A 3 − -singulaarisuutta. Itse asiassa mikä tahansa tyypin A 2 n +1 − singulariteetti , jossa n ≥ 0 on kokonaisluku, vastaa itsensä leikkaavaa käyrää. Arvon kasvaessa itsensä leikkaamisen järjestys kasvaa – poikkileikkaus, yksinkertainen tangentti ja niin edelleen.

Tyypin A 2 n +1 + singulariteetit reaaliluvuille eivät kiinnosta - ne kaikki vastaavat eristettyjä pisteitä. Kompleksiluvuissa singulariteetit A 2 n +1 + ja A 2 n +1 − ovat ekvivalentteja — ( x , y ) → ( x , iy ) antaa vaaditun normaalimuotojen diffeomorfismin.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 12 Steven Schwartzman . Matematiikan sanat: englanninkielisten matemaattisten termien etymologinen sanakirja . - Mathematical Association of America , 1994. - S. 217 . — ISBN 9780883855119 .
  2. ↑ Shikin, Frank-Kamentsky, 1997 .
  3. ↑ V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade. Differentioituvien kuvausten singulariteetit. - M .: Nauka, 1982. - S. 143-144.

Kirjallisuus

Linkit