Sharyginin kolmio

Sharyginin kolmio on kolmio , joka ei ole tasakylkinen ja jonka puolittajien kanta muodostaa tasakylkisen kolmion [1] .

Igor Fedorovich Sharygin käsitteli sitä ensimmäisen kerran vuonna 1982 kirjassaan Problems in Geometry. Planimetry” [2] [3] .

Sharyginin kolmiot ovat kiinnostavia, koska niitä on olemassa, toisin kuin samanlaiset kolmiot, joiden määrittelyssä käytetään esimerkiksi mediaaneja tai korkeuksia puolittajien sijasta [4] .

Sharyginin kolmioiden olemassaolo

Kaikille kulmille sellainen, että On olemassa, samankaltaisuuteen asti, täsmälleen yksi Sharygin-kolmio, jonka yksi kulmista on yhtä suuri , ja mille tahansa Sharygin-kolmiolle yhden sen kulmista kosini sijaitsee ilmoitetussa välissä . $\alpha$ $-{\frac {1}{4}}<\cos(\alpha )<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}$ $\alpha$

Itse kulma asteina täyttää likimääräisen kaksois-epäyhtälön [1] [3] . $\alpha$ $102{,}663^{\circ }\lesssim \alpha \lesssim 104{,}478^{\circ }$

Todiste

Antaa olla Sharyginin kolmio, Ja olla sen sivut (katso kuva), Ja olla sen bisectors, ja . $\vartriangle ABC$ $a$ $b$ $c$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Oletetaan , että on kohtisuorassa puolittaja segmenttiin . Silloin kulmat ja ovat yhtä suuret, ja kulmat ja ovat myös yhtä suuret, koska viiva on kulman puolittaja , joten kolmion kulmien summaa koskevan lauseen mukaan kolmiot , kulmat ja ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että kulmat ja ovat myös yhtä suuret , josta seuraa, että kolmio on tasakylkinen, niin ei ole Sharygin-kolmio määritelmän mukaan. $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\angle AIB$ $\angle AIC$ $\angle IAC$ $\angle IAB$ $AI$ $\angle CAB$ $\vartriangle ACI$ $\vartriangle ABI$ $\angle ACI$ $\angle ABI$ $\angle ACB=2\angle ACI$ $\angle ABC=2\angle ABI$ $\vartriangle ABC$

Joten, ei ole kohtisuorassa bisector segmenttiin . Tällöin piste on kulman puolittajan ja janan kohtisuoran puolittajan leikkauspiste , joka sijaitsee kolmion rajatulla ympyrällä sisäänkirjoitetun kulmalauseen seurauksena . Sitten nelikulmio on merkitty , Siksi , Mikä tarkoittaa, että kulmien summa ja , Kuten vierekkäin kulmat ja Vastaavasti, on myös yhtä suuri . $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $A_{1}$ $\angle B_{1}AC_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\vartriangle AB_{1}C_{1}$ ${\displaystyle AB_{1}A_{1}C_{1))$ $\angle AB_{1}A_{1}+\angle AC_{1}A_{1}=180^{\circ }$ ${\displaystyle \angle CB_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle BC_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle AB_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle AC_{1}A_{1))$ $180^{\circ }$

Kiinnitetään kolmiot toisiinsa ja samalle sivulle ja vastaavasti. Saamme kolmion kaltaisen kolmion kolmioiden samankaltaisuuden ensimmäisen merkin mukaan . On helppo nähdä, että sen sivut ovat yhtä suuret ja . Sitten samankaltaisuudesta saamme sen, mitä muotoon voidaan kirjoittaa uudelleen ${\displaystyle \vartriangle CA_{1}B_{1))$ $\vartriangle BA_{1}C_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}C_{1}$ $\vartriangle ABC$ ${\frac {ac}{b+c}}$ ${\frac {ab}{b+c}}$ ${\frac {ac}{a+b}}+{\frac {ab}{a+c}}$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {{\frac {ac}{a+b}}+{\frac { ab}{a+c}}}{a}}={\frac {CB_{1}+C_{1}B}{CB}}={\frac {CA_{1}+A_{1}B}{ CA+AB}}={\frac {a}{b+c}},$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0.$

Merkitään kulman kosini . _ Silloin kosinilauseen mukaan ja siksi yhtäläisyys on tosi , joka kolmion epäyhtälö huomioon ottaen antaa rajoituksia $\kulma BAC$ $x$ $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=$ ${\näyttötyyli (b^{2}+c^{2}-a^{2})(a+b+c)+abc=}$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0,$ $2x(a+b+c)+a=0$ $0<a<b+c$ $-{\frac {1}{4}}<x<0.$

$2x(a+b+c)+a=0\Rightarrow a=-{\frac {2x(b+c)}{2x+1)).$ Korvaamalla tämän arvon yhtälöllä ja jakamalla se : lla , saadaan ensimmäiselle ja kolmannelle termille toisen asteen yhtälö , joka on pienempi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että keskitermin on oltava suurempi kuin nolla. , siis . Tuloksena olevalla yhtälöllä on ratkaisuja silloin ja vain, jos sen diskriminantti on vähintään nolla, ja vain yksi näistä ratkaisuista on positiivinen. Tapaus, jossa diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, ei täytä ehtoa , joten sen tiukka positiivisuus vaaditaan. $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $c^{2}$ ${\frac {b}{c}}:$
$(4x+1){\Big (}{\frac {b}{c}}{\Big )}^{2}-(8x^{3}+16x^{2}+2x){\ Iso (}{\frac {b}{c}}{\Big )}+(4x+1).$ ${\frac {b}{c}}>0$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0$ ${\frac {1}{4}}((8x^{3}+16x^{2}+2x)^{2}-(4x+1)^{2})=$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1),$ $b\neq c$

Siksi Sharyginin kolmio c on olemassa, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät: lisäksi tietylle kolmio on aina ainutlaatuinen. Nämä kolme ehtoa vastaavat rajoituksia $\cos(\angle BAC)=x$ $-{\frac {1}{4}}<x<0,$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0,$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1)>0,$ $x$ $-{\frac {1}{4}}<x<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}.$

Sharyginin kuutio

Sharyginin kuutiota kutsutaan yllä olevassa todistuksessa saaduksi kuutioksi (jolla on yksinkertaisempi, mutta ei täytä kuution muodollista määritelmää, merkintä: ), joka asettaa välttämättömän ja riittävän ehdon sille, että kolmio, jolla on sivut, on Sharygin-kolmio tasaiset sivut (katso kuva). $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {a}{b+c}}$ $a,b,c$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Erityisiä esimerkkejä

Säännöllisissä polygoneissa

Vuoden 2017 aikaan tunnetaan vain yksi esimerkki Sharygin-kolmiosta, jonka kärjet voivat olla joitain säännöllisen monikulmion pisteitä [4] . Tässä esimerkissä kolmion kärjet ovat säännöllisen seitsekulmion ensimmäinen, toinen ja neljäs kärki [1] .

Todiste

Olkoon säännöllisen -gon pisteet ja kolmiomme , jonka kärjet ovat myös säännöllisen -gon kärjet . Merkitään kolmion kärjet, jotka muodostuvat puolittajien kannan kautta (katso kuva). Todistakaamme se . ${\displaystyle U_{0},U_{1},\dots ,U_{13))$ $neljätoista$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $7$ ${\displaystyle U_{0},U_{2},\dots ,U_{12))$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $A, B, C$ $BC=BA$

Kun omaisuus puolittaja on sisäänkirjoitettu kulma , Bisectors kulkevat kohtien läpi, vastaavasti. Piste sijaitsee lävistäjillä tetradecagon ja , jotka ovat symmetrisiä suhteessa diagonaaliin , joten piste sijaitsee myös lävistäjällä . Merkitse diagonaalien leikkauskohtaa ja kautta . Piste on leikkauspiste diagonaalit ja , Ja lävistäjät ja ovat symmetrisiä toistensa suhteen diagonaalin , ja diagonaali on symmetrinen itselleen suhteessa saman diagonaalin. Siksi pisteet ja ovat symmetrisiä toisilleen diagonaalin suhteen . Kuten jo tiedämme, piste sijaitsee tällä diagonaalilla, joten segmentit ja ovat symmetrisiä sen suhteen, eli ne ovat yhtä suuret. $U_{0}A,\;U_{2}B,\;U_{6}C$ ${\displaystyle U_{4},U_{10},U_{1))$ $B$ $U_{0}U_{6}$ $U_{2}U_{10}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $B$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{10}$ $C_{1}$ $C$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{10}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $U_{0}U_{2}$ $C$ $C_{1}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $B$ $eKr$ $eKr_{1}$

Todistakaamme nyt se . Suora ja symmetrinen suhteessa . Kulmat ja perustuvat yhtä suuriin kaareihin, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuret sisäänkirjoitetun kulmalauseen seurauksen mukaan . Siksi linjat ja ovat myös symmetrisiä suhteessa . Siten pisteet ja ovat symmetrisiä suorien c ja c leikkauspisteiden suhteen , vastaavasti. Tässä tapauksessa piste sijaitsee segmentissä . Siksi segmentit ja ovat symmetrisiä suhteessa , Eli ja ovat yhtä suuret. $BC_{1}=BA$ $U_{2}U_{6}$ ${\displaystyle U_{2}U_{0))$ $U_{2}U_{10}$ $\angle U_{10}U_{1}U_{2}$ $\angle U_{10}U_{3}U_{2}$ $U_{10}U_{1}$ ${\displaystyle U_{10}U_{3))$ $U_{2}U_{10}$ $A$ $C_{1}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{2}U_{6}$ ${\displaystyle U_{10}U_{3))$ ${\displaystyle U_{2}U_{0))$ $U_{10}U_{1}$ $B$ $U_{2}U_{10}$ $BA$ $eKr_{1}$ $U_{2}U_{10}$

Joten, ja , mikä tarkoittaa, että on tasakylkinen kolmio. $BC=BC_{1}$ $BC_{1}=BA$ $BC=BA$ $ABC$

Sivujen kokonaispituuksilla

Erilaisia kokonaislukuisia Sharygin-kolmioita on ääretön määrä , mikä todistettiin käyttämällä elliptisten käyrien teoriaa [4] (erityisesti tarkasteltiin Sharygin-kuution määrittelemää elliptistä käyrää). Esimerkissä, jossa yksi sivuista on pienin mahdollinen, on seuraava joukko sivuja [1]

1\,481\,089,\qquad 18\,800\,081,\qquad 19\,214\,131.

Tämän esimerkin minimaalisuus varmistettiin kattavalla haulla [4] .

Muunnelmia

Tarkastellaan myös samanlaisia kolmioita, joissa tasakylkinen kolmio ei ole se, jonka muodostavat sisäkulmien puolittajien kantat, vaan kolmio, jonka muodostavat sisäkulman puolittajan yksi kanta ja kaksi ulkopuolisten puolittajien kantaa. kaksi muuta kulmaa. [5]

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Igor Netai, Aleksei Savvateev "Sharyginin kolmiot ja elliptiset käyrät" . Haettu 7. heinäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2020. (määrätön)
↑ I.F. Sharyginin artikkeli "Around the bisector" lehdessä Kvant . Haettu 7. heinäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. kesäkuuta 2020. (määrätön)
↑ 1 2 I.F. Sharygin "Geometrian ongelmat. Planimetry" s.157 . Haettu 7. heinäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. kesäkuuta 2020. (määrätön)
↑ 1 2 3 4 Igor Netayn luento youtubessa . Haettu 7. heinäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 31. heinäkuuta 2020. (määrätön)
↑ Artikkeli Oliver Nashin verkkosivuilla . Haettu 7. heinäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 8. heinäkuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Igor Netai, Aleksei Savvateev "Sharyginin kolmiot ja elliptiset käyrät"

Linkit

Igor Netayn luento youtubessa