Socle (matematiikka)

Termillä sokkeli on useita toisiinsa liittyviä merkityksiä matematiikassa .

Nauha sokkeli

Ryhmäteorian yhteydessä ryhmän G sokkeli , jota merkitään soc( G ), on ryhmän G tunnusomaisen yksinkertaisten alaryhmien muodostama aliryhmä . Saattaa käydä niin, että ryhmällä ei ole minimaalista ei-triviaalista normaalia alaryhmää (eli mikä tahansa ei-triviaali normaalialiryhmä sisältää toisen sellaisen aliryhmän), jolloin sokkeli määritellään identiteettielementin generoimaksi aliryhmäksi. Sokkeli on ominaisen yksinkertaisten ryhmien suora tulo [1] .

Esimerkkinä voidaan harkita syklistä ryhmää Z 12 generaattorilla u , jossa on kaksi miniminormaalia alaryhmää, joista toinen on generoitu elementillä u 4 (joka antaa normaalin aliryhmän, jossa on 3 elementtiä) ja toinen elementillä u 6 (joka antaa normaalin alaryhmä, jossa on 2 elementtiä). Tällöin ryhmän Z 12 sokkeli  on elementtien u 4 ja u 6 muodostama ryhmä , joka yksinkertaisesti generoidaan elementillä u 2 .

Sokkeli on tyypillinen alaryhmä ja siksi normaali alaryhmä. Se ei kuitenkaan välttämättä ole transitiivisesti normaalia .

Jos ryhmä G on äärellinen ratkaistava ryhmä , niin sokli voidaan ilmaista alkeis-abelin p-ryhmien tulona . Tässä tapauksessa se on yksinkertaisesti Z/pZ- kopioiden tulo eri p :lle , jossa jokin p voi esiintyä useammin kuin kerran.

Moduulikanta

Moduulin yli renkaan ja rengasteorian yhteydessä moduulin M sokkeli renkaan R yli määritellään moduulin M minimin nollasta poikkeavien alimoduulien summana . Se voidaan nähdä moduuliradikaalin ] duaalina . Joukkoteoriassa merkintätapa

joka vastaa

Renkaan R sokkeli voi viitata johonkin renkaan joukosta. Oletetaan, että oikea moduuli R on määritelty , soc( R R ) ja vasen moduuli, soc( R R ), on määritelty . Molemmat näistä sokkeleista ovat rengasideaaleja, ja tiedetään, että ne eivät välttämättä täsmää.

• Jos M on artinilainen moduuli , soc( M ) on itsessään M :n olennainen osamoduuli .
• Moduuli on puoliksi yksinkertainen jos ja vain jos soc( M ) =  M . Renkaat, joille soc( M ) =  M kaikille M :lle, ovat täsmälleen puoliyksinkertaisia ​​moduuleja .
• soc(soc( M )) = soc( M ).
• M on äärellisesti generoitu moduuli, jos ja vain jos soc( M ) on äärellisesti generoitu ja soc(M) on moduulin M olennainen alimoduuli
• Koska puoliyksinkertaisten moduulien summa on puoliksi yksinkertainen moduuli, moduulin sokkeli voidaan määritellä ainoaksi maksimaaliseksi puoliyksinkertaiseksi alimoduuliksi.
• Rad( R ) :n määritelmästä on helppo nähdä, että rad( R ) kumoaa soc( R ). Jos R on äärellisulotteinen yksikköalgebra ja M on äärellisesti generoitu R -moduuli, niin sokkeli koostuu tarkalleen renkaan R Johnson-radikaalin [2] annihiloimista alkioista .

Lie algebrasokli

Lie- algebroiden kontekstissa symmetrisen Lie-algebran sokkeli  on sen rakenteellisten automorfismien oikea avaruus , jotka vastaavat ominaisarvoa −1. (Symmetrinen Lie-algebra on jaettu sen sokkelin ja kosoklin suoraksi summaksi .) [3] .

Katso myös

• Injektiivinen kuori
• Moduuliradikaali
• Kosokol

Muistiinpanot

1. ↑ Robinson, 1996 , s. 87.
2. ↑ Alperin, Bell, 1995 , s. 136.
3. ↑ Postnikov, 2001 , s. 98.

Kirjallisuus

• Alperin JL, Bell RB -ryhmät ja edustustot. - Springer-Verlag , 1995. - s. 136. - ISBN 0-387-94526-1 .
• Frank Wylie Anderson, Kent R. Fuller. Sormukset ja moduulien luokat. - Springer-Verlag , 1992. - ISBN 978-0-387-97845-1 .
• Derek JS Robinson. Ryhmäteorian kurssi. - 2. - New York: Springer-Verlag , 1996. - T. 80. - S. xviii + 499. — ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 0-387-94461-3 . - doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 .
• Mihail Postnikov . Geometria VI: Riemannilainen geometria . - 2001. - ISBN 3540411089 .
  • Postnikov M. M. Luento 8, Symmetric Lie -algebrat ja ternaarit. // Riemannin geometria Lukukausi V . - Moskova: "Factorial", 1998. - (Luennot geometriasta). - ISBN 5-88688-020-8 .
• Alperin JL, Bell RB -ryhmät ja edustustot. - 1995. - V. 162. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 0-387-94526-1 .